Mi spridning

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 15 augusti 2020; kontroller kräver 10 redigeringar .

Spridning av ljus av en sfärisk partikel (Mie-spridning) är ett klassiskt elektrodynamikproblem , löst 1908 av Gustav Mie för en sfärisk partikel av godtycklig storlek [1] .

Problemet beaktar spridningen av en elektromagnetisk våg med en elektrisk fältstyrka

\mathbf {E} =\mathbf {E} _{0}e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -i\omega t},

där ω är frekvensen , k är vågvektorn och E 0 är amplituden för vågen, på en sfärisk partikel med radie R och permittivitet ε .

Lösningen på problemet hittas genom att sönderdela det elektromagnetiska fältet till vektorsfäriska övertoner .

Kvalitativa resultat

Spridningen beror på förhållandet mellan partikelstorlek och ljusvåglängd i partikelmaterialet. Rayleigh-spridning är ett specialfall av Mie-spridning för fallet när partikeln är mycket mindre än våglängden. I detta fall polariserar en extern elektromagnetisk våg partikeln och exciterar ett variabelt dipolmoment i den . Dipolmomentet, som svänger i takt med den externa vågens frekvens, återutstrålar ljus med ett riktdiagram som är karakteristiskt för dipolmomentet. Om partikelpermittivitetens frekvensberoende kan försummas beror spridningsintensiteten på frekvensen till fjärde potensen, vilket resulterar i stark kortvågsspridning . Diffuserat vitt ljus domineras av en blå nyans, medan ospridda ljus domineras av rött.

Om partikelstorleken är nära ljusets våglängd blir spridningsmönstret komplext. Interferensen av vågor som reflekteras från olika delar av partikelytan uppträder . Intensiteten av ljus som sprids i en viss vinkel beror på hur många gånger vågen passar på partikelns diameter, så det beror starkt på partikelns storlek. När flera våglängder passar in i partikelstorleken blir växlingen av maxima och minima i strålningsmönstret så frekvent att när vitt ljus faller på till exempel en kolloidal lösning kommer observatören att se spritt vitt ljus. Som ett resultat blir ett ämne med ett stort antal sådana partiklar ogenomskinligt. Detta är anledningen till den vita färgen på moln på himlen, den vita färgen på mjölk etc. En lösning av kolloidala partiklar kan färgas när partiklarnas substans selektivt absorberar ljus inom ett visst spektralområde.

Om sfärens dimensioner är mycket större än ljusets våglängd, kommer sfärens yta att bete sig som en plan yta. Det finns en brytning och reflektion av ljus, som beskrivs av Fresnel-formlerna .

Spridning av en plan våg av en sfärisk partikel

Problemet med spridning av en sfärisk nanopartikel löses exakt oavsett partikelstorlek. Låt oss betrakta spridningen av en plan våg som utbreder sig längs z - axeln polariserad längs x . Partikelns permittivitet och permeabilitet är och , medan mediet är respektive . För att lösa spridningsproblemet [2] skriver vi först ut lösningarna av Helmholtz vektorekvation i sfäriska koordinater , eftersom fälten innanför och utanför partikeln måste uppfylla den. Helmholtz ekvation: $\varepsilon_{1}$ $\mu_{1}$ $\varepsilon$ $\mu$

\nabla ^{2}\mathbf {E} +{k}^{2}\mathbf {E} =0,\ \ \ \ \nabla ^{2}\mathbf {H} +{k}^ {2}\mathbf {H} =0

Utöver Helmholtz-ekvationen måste fälten även uppfylla villkoren och , . Alla nödvändiga egenskaper innehas av vektorsfäriska övertoner , introducerade enligt följande: $\nabla \cdot \mathbf {E} =\nabla \cdot \mathbf {H} =0$ $\nabla \times \mathbf {E} =i\omega \mu \mathbf {H}$ $\nabla \times \mathbf {H} =-i\omega \varepsilon \mathbf {E}$

\mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}=\nabla \times \left(\mathbf {r} \psi _{^{e}_{o}mn}\right)

— magnetiska övertoner

\mathbf {N} _{^{e}_{o}mn}={\frac {\nabla \times \mathbf {M} _{^{e}_{o}mn)){\mathbf {k} }}

- elektriska övertoner

var

{\displaystyle {\psi _{emn}=\cos m\varphi P_{n}^{m}(\cos \vartheta )z_{n}({k}r)))

{\displaystyle {\psi _{omn}=\sin m\varphi P_{n}^{m}(\cos \vartheta )z_{n}({k}r)))

och är de associerade Legendre-polynomen , och är någon av de sfäriska Bessel-funktionerna . $P_{n}^{m}(\cos \theta )$ $z_{n}({k}r)$

Därefter är det nödvändigt att expandera den infallande planvågen i termer av vektorsfäriska övertoner .

\mathbf {E} _{inc}=E_{0}e^{ikr\cos \theta }\mathbf {e} _{x}=E_{0}\sum _{n=1}^{ \infty }i^{n}{\frac {2n+1}{n(n+1)}}\left(\mathbf {M} _{o1n}^{(1)}(k,\mathbf {r } )-i\mathbf {N} _{e1n}^{(1)}(k,\mathbf {r} )\right)

\mathbf {H} _{inc}={\frac {-k}{\omega \mu }}E_{0}\sum _{n=1}^{\infty }i^{n}{ \frac {2n+1}{n(n+1)}}\left(\mathbf {M} _{e1n}^{(1)}(k,\mathbf {r} )+i\mathbf {N} _{o1n}^{(1)}(k,\mathbf {r} )\right)

här betyder det upphöjda att i den radiella delen av funktionerna finns sfäriska Bessel-funktioner. $(ett)$ $\psi _{^{e}_{o}mn}$

Expansionskoefficienterna erhålls genom att ta integraler av formen

{\frac {\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }\mathbf {E} _{inc}\cdot \mathbf {M} _{^{ e}_{o}mn}^{(1)}\sin \theta d\theta d\varphi }{\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }| \mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}^{(1)}|^{2}\sin \theta d\theta d\varphi }}

i detta fall sätts alla koefficienter vid till noll, eftersom integralen över vinkeln i täljaren är noll. $m\neq 1$ $\varphi$

Sedan överlagrat

1) gränsförhållanden vid gränsen mellan bollen och omgivningen (som gör det möjligt att relatera expansionskoefficienterna för incidenten, interna och spridda fält),

2) villkoret för avgränsning av lösningen vid ursprunget (därför väljs sfäriska Bessel-funktioner i den radiella delen av genereringsfunktionerna för det inre fältet), $\psi _{^{e}_{o}mn}$

3) för det spridda fältet motsvarar asymptotiken i oändligheten en divergerande sfärisk våg (i detta avseende, för det spridda fältet i den radiella delen av genereringsfunktionerna , väljs sfäriska Hankel-funktioner av det första slaget). $\psi _{^{e}_{o}mn}$

De spridda fälten skrivs som en expansion i vektorövertoner som

\mathbf {E} _{s}=\sum _{n=1}^{\infty }E_{n}\left(ia_{n}\mathbf {N} _{e1n}^{(3 )}(k,\mathbf {r} )-b_{n}\mathbf {M} _{o1n}^{(3)}(k,\mathbf {r} )\right)

\mathbf {H} _{s}={\frac {k}{\omega \mu }}\sum _{n=1}^{\infty }E_{n}\left(a_{n} \mathbf {M} _{e1n}^{(3)}(k,\mathbf {r} )+ib_{n}\mathbf {N} _{o1n}^{(3)}(k,\mathbf { r} )\right)

här betyder det upphöjda att i den radiella delen av funktionerna finns sfäriska Hankel-funktioner, och , $(3)$ $\psi _{^{e}_{o}mn}$ $E_{n}={\frac {i^{n}E_{0}(2n+1)}{n(n+1)))$

och internt:

\mathbf {E} _{1}=\sum _{n=1}^{\infty }E_{n}\left(-id_{n}\mathbf {N} _{e1n}^{( 1)}(k_{1},\mathbf {r} )+c_{n}\mathbf {M} _{o1n}^{(1)}(k_{1},\mathbf {r} )\right)

\mathbf {H} _{1}={\frac {-k_{1}}{\omega \mu _{1}}}\sum _{n=1}^{\infty }E_{n }\left(d_{n}\mathbf {M} _{e1n}^{(1)}(k_{1},\mathbf {r} )+ic_{n}\mathbf {N} _{o1n}^ {(1)}(k_{1},\mathbf {r} )\right)

$k={\frac {\omega }{c}}n$ är vågvektorn utanför partikeln, är vågvektorn i partikelmaterialets medium och är brytningsindexen för mediet och partikeln. Efter tillämpning av randvillkoren erhålls uttryck för koefficienterna: $k_{1}={\frac {\omega }{c}}{n_{1}}$ $n$ $n_{1}$

c_{n}(\omega )={\frac {\mu _{1}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho )-\mu _{1}\left[\rho j_{n}(\rho )\right]'h_{n}(\rho )}{\mu _{1}\left[\rho h_{n}(\rho ) \right]'j_{n}(\rho _{1})-\mu \left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\ rho )}}

d_{n}(\omega )={\frac {\mu _{1}n_{1}n\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\ rho )-\mu _{1}n_{1}n\left[\rho j_{n}(\rho )\right]'h_{n}(\rho )}{\mu n_{1}^{2 }\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-\mu _{1}n^{2}\left[\rho _{1 }j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}},

b_{n}(\omega )={\frac {\mu _{1}\left[\rho j_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1} )-\mu \left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'j_{n}(\rho )}{\mu _{1}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-\mu \left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right ]'h_{n}(\rho )}}

a_{n}(\omega )={\frac {\mu n_{1}^{2}\left[\rho j_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-\mu _{1}n^{2}\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'j_{n}(\rho) }{\mu n_{1}^{2}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-\mu _{1}n^ {2}\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}},

Här , , var är nanopartikelns radie, och är de sfäriska Bessel- respektive Hankelfunktionerna av det första slaget. $\rho =ka$ $\rho _{1}=k_{1}a$ $a$ $j_n$ $h_{n}$

Spridnings- och utsläckningstvärsnitt

Spridnings- och utsläckningstvärsnitten kan erhållas genom att integrera motsvarande funktioner hos de elektriska och magnetiska fälten över en yttre sfär med stor radie. [2] På grund av ortogonalitetsegenskaperna hos vektorns sfäriska övertoner erhålls ett enkelt förhållande mellan Mie-koefficienterna och tvärsnitten. Spridningstvärsnitt:

C_{sca}={\frac {2\pi }{k^{2))}\sum _{n=1}^{\infty }(2n+1)(|a_{n}|^ {2}+|b_{n}|^{2})

utsläckningstvärsnitt:

C_{ext}={\frac {2\pi }{k^{2))}\sum _{n=1}^{\infty }(2n+1)\Re (a_{n}+ b_{n})

Applikation på subvåglängdspartiklar

Om flera våglängder passar i spridningskulans material, så har de spridda fälten vissa egenheter. Vidare kommer vi att prata om formen av det elektriska fältet, eftersom magnetfältet erhålls från det genom att ta rotorn.

Alla Mie-koefficienter beror på frekvens och har maxima när nämnaren är nära noll (exakt noll uppnås för komplexa frekvenser). I detta fall är situationer möjliga när bidraget från en specifik övertons dominerar signifikant i spridningen. Sedan, på stora avstånd från partikeln , kommer riktningsmönstret för det spridda fältet att likna det motsvarande riktningsmönstret för den vinkelformiga delen av vektorns sfäriska övertoner. Övertoner motsvarar elektriska dipoler (om bidraget från denna överton dominerar i expansionen av det elektriska fältet, så liknar fältet fältet för en elektrisk dipol), motsvarar det elektriska fältet för en magnetisk dipol, och är elektriska och magnetiska kvadrupoler och är octupoler och så vidare. Spridningskoefficienternas maxima (liksom förändringen i deras fas med ) kallas multipolresonanser. ${\displaystyle \mathbf {N} _{^{e}_{o}m1))$ ${\displaystyle \mathbf {M} _{^{e}_{o}m1))$ ${\displaystyle \mathbf {N} _{^{e}_{o}m2))$ ${\displaystyle \mathbf {M} _{^{e}_{o}m2))$ ${\displaystyle \mathbf {N} _{^{e}_{o}m3))$ ${\displaystyle \mathbf {M} _{^{e}_{o}m3))$ $\pi$

Formen av beroendet av spridningstvärsnittet av våglängden och bidraget av specifika resonanser beror starkt på partikelns material. Till exempel, för en guldpartikel med en radie på 100 nm, dominerar den elektriska dipolens bidrag till spridningen i det optiska området, medan det för en kiselpartikel finns uttalade magnetiska dipol- och kvadrupolresonanser. För metallpartiklar kallas toppen som ses i spridningstvärsnittet även lokaliserad plasmonresonans .

I gränsen för små partiklar eller långa våglängder domineras spridningstvärsnittet av det elektriska dipolbidraget.

Andra riktningar för den infallande planvågen

I fallet med en x -polariserad plan våg infallande längs z innehöll expansionerna av alla fält endast övertoner med m=1 , men detta är inte fallet för en godtycklig infallande våg [3] . För en roterad plan våg kan expansionskoefficienterna erhållas, till exempel genom att under rotationer transformerar vektorsfäriska övertoner genom varandra på ett visst sätt . I detta fall kommer det spridda fältet att utökas över alla möjliga övertoner:

\mathbf {E} _{s}=\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=0}^{n}E_{0}(D_{Memn}\mathbf { M} _{emn}^{(3)}(k,\mathbf {r} )+D_{Momn}\mathbf {M} _{omn}^{(3)}(k,\mathbf {r}) +D_{Nemn}\mathbf {N} _{emn}^{(3)}(k,\mathbf {r} )+D_{Nomn}\mathbf {N} _{omn}^{(3)}( k,\mathbf {r} ))

Då kommer spridningstvärsnittet att uttryckas i termer av koefficienterna enligt följande:

C_{sca}={\frac {2\pi }{\pi a^{2}k^{2}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n( n+1)}{(2n+1)}}\ gånger {\Bigl [}\summa \limits _{m=1}^{n}{\frac {(n+m)!}{(nm)! }}(|D_{Memn}|^{2}+|D_{Momn}|^{2}+|D_{Nemn}|^{2}+|D_{Nomn}|^{2})+2| D_{Me0n}|^{2}+2|D_{Ne0n}|^{2}{\Bigr ]}.

Kerker-effekten

1983 diskuterade Kerker, Wang och Giles [4] riktningen av spridning av partiklar med . I synnerhet visades det att backscattering är helt undertryckt för hypotetiska partiklar med. $\mu \neq 1$ $\mu=\varepsilon$

Dessutom uttrycks spridningstvärsnitten framåt och bakåt enkelt i termer av Mie-koefficienter [5] [6] :

C_{sca}^{bakåt}={\frac {1}{a^{2}k^{2}}}{\bigg |}\sum _{n=1}^{\infty }{ (2n+1)}(-1)^{n}(a_{n}-b_{n}){\bigg |}^{2}

C_{sca}^{framåt}={\frac {1}{a^{2}k^{2}}}{\bigg |}\sum _{n=1}^{\infty }{ (2n+1)}(a_{n}+b_{n}){\bigg |}^{2}

För vissa kombinationer av koefficienter kan uttrycken ovan minimeras. Så, till exempel, när termerna med kan försummas (dipolapproximation), motsvarar , den minsta backspridningen (de magnetiska och elektriska dipolerna är lika i absolut värde och är i fas). Detta tillstånd kallas även "Kerkers första tillstånd". och - minimal spridning framåt - "Kerkers andra villkor". För att lösa problemet exakt är det nödvändigt att ta hänsyn till bidragen från alla multipoler. Summan av de elektriska och magnetiska dipolerna bildar Huygenskällan $n>1$ $(a_{1}-b_{1})=0$ $(a_{1}+b_{1})=0$

För dielektriska partiklar observeras den maximala spridningen framåt vid våglängder som är större än våglängden för den magnetiska dipolresonansen, och bakåt - vid kortare. [7]

Det finns också en kort YouTube-video som förklarar effekten .

Dyad Greens funktion av en boll

Grönas funktion är lösningen på följande ekvation:

\nabla \times \nabla \times {\bf {\hat {G}}}(\omega ,\mathbf {r} ,\mathbf {r} ')=\left({\frac {\omega } {c}}\right)^{2}\varepsilon (\mathbf {r} ,\omega ){\bf {\hat {G}}}(\omega ,\mathbf {r} ,\mathbf {r} ' )+{\bf {\hat {1))}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} '),

var är identitetsmatrisen, för och för . Eftersom alla fält är vektorfält, är den gröna funktionen en 3 gånger 3 matris och kallas en dyad. Om polarisering induceras i systemet , så uttrycks fälten som ${\displaystyle {\hat {\bf {1))))$ $\varepsilon (\mathbf {r} ,\omega )=\varepsilon _{1}(\omega )$ $r<a$ $\varepsilon (\mathbf {r} ,\omega )=\varepsilon$ $r>a$ $\mathbf {P} (\mathbf {r} )$

\mathbf {E} ^{\omega }({\mathbf {r} })=\omega ^{2}\mu \int \int \limits _{V}dV'{\hat {\bf {G} ))({\bf {r,r')),k)\mathbf {P} ^{\omega }(\mathbf {r} ')

Liksom fält kan Greenens funktion utökas i vektorsfäriska övertoner [8] . Greens funktion av ledigt utrymme [9] :

{\hat {\bf {G))}^{0}({\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',k})={\frac {\mathbf {e_{r))\ ibland \mathbf {e_{r}} }{k^{2}}}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} ')+{\frac {ik}{4\pi }}\summa _ {n=1}^{\infty }\sum _{m=0}^{n}(2-\delta _{m,0}){\frac {2n+1}{n(n+1)} }{\frac {(nm)!}{(n+m)!}}\cdot

\left\{{\begin{array}{l}\cdot {\Bigl (}(\mathbf {M} _{emn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {M} }_{emn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ']+\mathbf {M} _{omn}^{(1)}[k,\mathbf {r } ]\otillfällen {\mathbf {M} }_{omn}^{(3)}[k,\mathbf {r} '])+({\mathbf {N} }_{emn}^{(1) [k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {N} }_{emn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ']+\mathbf {N} _{omn}^ {(1)}[k,\mathbf {r} ]\ibland {\mathbf {N} }_{omn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ']){\Bigr )}, {\text{if }}r<r'\\\cdot {\Bigl (}(\mathbf {M} _{emn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {M} }_{emn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ']+\mathbf {M} _{omn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ]\ ibland {\mathbf {M} }_{omn}^{(1)}[k,\mathbf {r} '])+({\mathbf {N} }_{emn}^{(3)}[k ,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {N} }_{emn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ']+\mathbf {N} _{omn}^{(3 )}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {N} }_{omn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ']){\Bigr )},{\text {if }}r>r'\end{array}}\right.

I närvaro av en boll utökas Greenens funktion även i vektorsfäriska övertoner. Dess utseende beror på miljön där punkterna och [10] är belägna . $\mathbf {r}$ ${\mathbf {r))'$

När båda punkterna är utanför bollen( ): $r>a,r'>a$

{\hat {\bf {G))}^{00}({\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',k,k_{1)))={\hat {\bf {G ))^{0}({\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',k})+{\frac {ik}{4\pi }}\summa _{n=1}^{\infty } \sum _{m=0}^{n}(2-\delta _{m,0}){\frac {2n+1}{n(n+1)}}{\frac {(nm)! } {(n+m)!}}\cdot

{\displaystyle \cdot {\Bigl (}a_{n}^{(0)}(\omega )(\mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k ,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {M} }_{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k,\mathbf {r} '])+b_{n} ^{(0)}(\omega )({\mathbf {N} }_{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {N} }_{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ']){\Bigr )))

där expansionskoefficienter:

a_{n}^{(0)}(\omega )={\frac {\mu /\mu _{1}\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1 })\right]'j_{n}(\rho )-\left[\rho j_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})}{\left[\ rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-\mu /\mu _{1}\left[\rho _{1}j_{n}(\ rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}},

b_{n}^{(0)}(\omega )={\frac {n^{2}\mu _{1}/\mu \left[\rho _{1}j_{n}( \rho _{1})\right]'j_{n}(\rho )-n_{1}^{2}\left[\rho j_{n}(\rho )\right]'j_{n}( \rho _{1})}{n_{1}^{2}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-n^{ 2}\mu _{1}/\mu \left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}}.

Båda punkterna inuti bollen ( ): $r<a,r'<a$

{\hat {\bf {G))}^{11}({\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',k,k_{1)))={\hat {\bf {G ))^{0}({\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',k_{1)))+{\frac {ik_{1}}{4\pi }}\summa _{n= 1 }^{\infty }\summa _{m=0}^{n}(2-\delta _{m,0}){\frac {2n+1}{n(n+1))){\ frac {(nm)!}{(n+m)!}}\cdot

\cdot {\Bigl (}c_{n}^{(1)}(\omega )(\mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k_ {1},\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {M} }_{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k_{1},\mathbf {r} '] )+d_{n}^{(1)}(\omega )({\mathbf {N} }_{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k_{1},\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {N} }_{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k_{1},\mathbf {r} ']){\Bigr )} ,

Nedbrytningskoefficienter:

c_{n}^{(1)}(\omega )={\frac {\mu _{1}/\mu \left[\rho h_{n}(\rho )\right]'h_{ n}(\rho _{1})-\left[\rho _{1}h_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}{\left[\ rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )-\mu _{1}/\mu \left[\rho h_{n}(\ rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})}},

d_{n}^{(1)}(\omega )={\frac {n_{1}^{2}\mu /\mu _{1}\left[\rho h_{n}(\ rho )\right]'h_{n}(\rho _{1})-n^{2}\left[\rho _{1}h_{n}(\rho _{1})\right]'h_ {n}(\rho )}{n^{2}\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )-n_{ 1}^{2}\mu /\mu _{1}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})}}.

Källa inuti och observation utanför ( ): $r>a,r'<a$

{\hat {\bf {G))}^{01}({\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',k,k_{1)))={\frac {ik_{1} }{4\pi }}\summa _{n=1}^{\infty }\summa _{m=0}^{n}(2-\delta _{m,0}){\frac {2n+ 1 }{n(n+1)}}{\frac {(nm)!}{(n+m)!}}\cdot

{\displaystyle \cdot {\Bigl (}a_{n}^{(1)}(\omega )(\mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k ,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {M} }_{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k_{1},\mathbf {r} '])+b_ {n}^{(1)}(\omega )({\mathbf {N} }_{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {N} }_{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k_{1},\mathbf {r} ']){\Bigr )))

expansionskoefficienter:

a_{n}^{(1)}(\omega )={\frac {\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n }(\rho _{1})-\vänster[\rho _{1}h_{n}(\rho _{1})\right]'j_{n}(\rho _{1})}{\ vänster[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )-\mu _{1}/\mu \left[\rho h_{n }(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})}},

b_{n}^{(1)}(\omega )={\frac {nn_{1}\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right] 'h_{n}(\rho _{1})-nn_{1}\vänster[\rho _{1}h_{n}(\rho _{1})\right]'j_{n}(\rho _{1})}{n^{2}\mu _{1}/\mu \left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n} (\rho )-n_{1}^{2}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})}}.

Källan är utanför och observation är inuti ( ): $r<a,r'>a$

{\hat {\bf {G))}^{10}({\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',k,k_{1)))={\frac {ik}{4 \pi }}\sum _{n=1}^{\infty }\sum _{m=0}^{n}(2-\delta _{m,0}){\frac {2n+1}{ n(n+1)}}{\frac {(nm)!}{(n+m)!}}\cdot

{\displaystyle \cdot {\Bigl (}c_{n}^{(0)}(\omega )(\mathbf {M} _{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k ,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {M} }_{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k_{1},\mathbf {r} '])+d_ {n}^{(0)}(\omega )({\mathbf {N} }_{^{e}_{o}mn}^{(1)}[k,\mathbf {r} ]\otimes {\mathbf {N} }_{^{e}_{o}mn}^{(3)}[k_{1},\mathbf {r} ']){\Bigr )))

där expansionskoefficienter:

c_{n}^{(0)}(\omega )={\frac {\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho )-\left [\rho j_{n}(\rho )\right]'h_{n}(\rho )}{\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _ {1})-\mu /\mu _{1}\left[\rho _{1}j_{n}(\rho _{1})\right]'h_{n}(\rho )}},

d_{n}^{(0)}(\omega )={\frac {nn_{1}\left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho )-nn_{1}\left[\rho j_{n}(\rho )\right]'h_{n}(\rho )}{n_{1}^{2}\mu /\mu _{1} \left[\rho h_{n}(\rho )\right]'j_{n}(\rho _{1})-n^{2}\left[\rho _{1}j_{n}(\ rho _{1})\right]'j_{n}(\rho )}}.

Externa länkar

SCATTERLIB och scattport.org Samlingar av ljusspridningskoder i FORTRAN , C++ , IDL , Pascal , Mathematica och Mathcad
Mie-spridningsräknaren online beräknar spridningstvärsnittsspektrumet och multipolexpansionen för en godtycklig flerskiktssfär, det finns en närfältsberäkning. Materialparametrarna är hämtade från sajten refractiveindex.info . Källkoden för kalkylatorn är öppen källkod och är en del av Scattnlay- projektet, en öppen källkod C++- programvara för Mie Scattering (Multilayer Sphere Near and Far Field Solution), som kan anropas från Python och JavaScript .
Spridning av en flerskiktssfär Beräkning i MatLab av spridning från en flerskiktssfär i fall där källan är en punktdipol och en plan våg. Beskrivning i OSA Continuum
JMIE (2D C++- kod för att beräkna analytiska fält från en oändlig cylinder, utvecklad av Jeffrey M. McMahon)
Scatlab . Programvara för Windows.
Mi-kalkylatorn online beräknar strålningsmönster etc. för specifika parametrar. Det finns ett Miepython- paket av samma författare i Python .
phpMie Online Mi-kalkylator i PHP .
PyMieScatt , Mi:s lösning i Python .
pyMieForAll , ett paket för att lösa Mie-problemet i C++ och ett Python- skal .
MiePlot är ett program för att beräkna olika fysiska effekter relaterade till Mie-teorier ( endast Windows )

Länkar

↑ G. Mie, "Beiträge zur Optik trüber Medien, speziell kolloidaler Metalllösungen", Leipzig, Ann. Phys. 330, 377-445 (1908). DOI: https://dx.doi.org/10.1002/andp.19083300302
↑ 1 2 Boren K., Huffman D. Absorption och spridning av ljus av små partiklar. - M .: Mir, 1986. - S. 221-222. — 660 sid.
↑ KA Fuller, spridnings- och absorptionstvärsnitt av sammansatta sfärer. I. Teori för extern aggregering, J. Opt. soc. Am. A 11, 3251-3260 (1994)
↑ M. Kerker, DS Wang och CL Giles, Electromagnetic scattering by magnetic spheres, J. Opt. soc. Am. 73, 765-767 (1983)
↑ Tzarouchis, D.; Sihvola, A. Ljusspridning av en dielektrisk sfär: Perspektiv på Mie-resonanserna. Appl. sci. 2018, 8, 184.
↑ Wei Liu och Yuri S. Kivshar, Generaliserade Kerker-effekter i nanofotonik och metaoptik [Inbjuden], Opt. Express 26, 13085-13105 (2018)
↑ Fu, Y., Kuznetsov, A., Miroshnichenko, A. et al. Riktningsvis spridning av synligt ljus av kiselnanopartiklar . Nat Commun 4, 1527 (2013) doi:10.1038/ncomms2538
↑ L.-W. Li, P.-S. Kooi, M.-S. Leong och T.-S. Yee. Elektromagnetisk dyadisk gröns funktion i sfäriskt flerskiktsmedia . IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques, 42(12):2302-2310, dec 1994.
↑ CT Tai, Dyadic Greens funktioner i elektromagnetisk teori. Scranton, PA: Intext Educational, 1971.
↑ Mason, V. Bradford, Den elektromagnetiska strålningen från enkla källor i närvaro av en homogen dielektrisk sfär , Ph.D. Avhandling, Institutionen för elektro- och datorteknik, University of Michigan, Ann Arbor, Michigan (1972)