Avstånd mellan raka linjer

Denna artikel överväger två parallella linjer i planet. För parallella linjer som inte är i samma plan, se Korsning av linjer#avstånd .

Avståndet mellan två raka linjer i ett plan är det kortaste avståndet mellan två punkter på linjen. Eller mellan en punkt som ligger på en linje med en annan parallell linje. När det gäller skärande linjer är avståndet mellan dem noll eftersom det minsta avståndet mellan dem är noll (vid skärningspunkten); medan det i fallet med två parallella linjer är vinkelrät - avståndet från en punkt på en linje till den andra linjen.

Formler och bevis

Om linjerna är parallella är avståndet mellan dem en konstant, så det spelar ingen roll vilken punkt som väljs för att mäta avståndet. Givet ekvationerna för två vertikala parallella linjer

y=mx+b_{1}\,

y=mx+b_{2}\,,

avståndet mellan två parallella linjer är avståndet mellan de två skärningspunkterna för dessa linjer med en vinkelrät

y=-x/m\,.

Detta avstånd kan hittas genom att lösa systemet med linjära ekvationer

{\begin{cases}y=mx+b_{1}\\y=-x/m\,,\end{cases))

och

{\begin{cases}y=mx+b_{2}\\y=-x/m\,,\end{cases))

för att få koordinaterna för skärningspunkterna. Bestäm koordinaterna för skärningspunkten

\left(x_{1},y_{1}\right)\ =\left({\frac {-b_{1}m}{m^{2}+1)),{\frac {b_ {1}}{m^{2}+1}}\höger)\,,

och

\left(x_{2},y_{2}\right)\ =\left({\frac {-b_{2}m}{m^{2}+1)),{\frac {b_ {2}}{m^{2}+1}}\höger)\,.

Avstånd mellan punkter

d={\sqrt {\left({\frac {b_{1}m-b_{2}m}{m^{2}+1}}\right)^{2}+\left({ \frac {b_{2}-b_{1}}{m^{2}+1}}\right)^{2}}}\,,

som kan reduceras som

d={\frac {|b_{2}-b_{1}|}{\sqrt {m^{2}+1))}\,.

Om linjeekvationerna i det kartesiska koordinatsystemet är kända, kan de skrivas ner:

axe+by+c_{1}=0\,

axe+by+c_{2}=0,\,

där avståndet mellan raderna kan skrivas som

d={\frac {|c_{2}-c_{1}|}{\sqrt {a^{2}+b^{2))))

Se även