Avstånd från en punkt till en linje i ett plan

Avståndet från en punkt till en linje i planet är det kortaste avståndet från en punkt till en linje i euklidisk geometri . Avståndet är lika med längden på segmentet som förbinder punkten med linjen och är vinkelrät mot linjen. Formeln för avståndsberäkning kan erhållas och uttryckas på flera sätt.

Att veta det kortaste avståndet från en punkt till en linje kan vara användbart i många fall, som att hitta den kortaste vägen till en väg, bestämma spridningen av en graf och liknande. I Deming-regression , en linjär utjämningsprocedur, om de beroende och oberoende variablerna har samma varians, reduceras regressionen till ortogonal regression , där graden av approximation mäts för varje punkt som avståndet från punkten till regressionslinjen.

Kartesiskt koordinatsystem

Den räta linjen ges av ekvationen

När en linje på ett plan ges av ekvationen ax + by + c = 0 , där a , b och c är reella konstanter så att a och b inte är lika med noll samtidigt, och avståndet från linjen till punkten ( x 0 , y 0 ) är [1 ]

\operatorname {distance} (ax+by+c=0,(x_{0},y_{0}))={\frac {|ax_{0}+by_{0}+c|}{\ sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.

Punkten på linjen närmast ( x 0 , y 0 ) har koordinater [2]

{\displaystyle x={\frac {b(bx_{0}-ay_{0})-ac}{a^{2}+b^{2))))

och

y={\frac {a(-bx_{0}+ay_{0})-bc}{a^{2}+b^{2}}}.

Horisontella och vertikala linjer

I den allmänna ekvationen för den räta linjen ax + by + c = 0, kan koefficienterna a och b inte samtidigt vara lika med noll medan c är icke-noll, och i fallet med alla nollkoefficienter definierar inte ekvationen en rät linje. Om a = 0 och b ≠ 0 är linjen horisontell och har ekvationen y = - c / b . Avståndet från ( x 0 , y 0 ) till denna linje bestäms av det vertikala längdsegmentet | y 0 — (- c / b )| = | med 0 + c | / | b | (enligt formeln). På liknande sätt, för vertikala linjer ( b = 0), är avståndet mellan samma punkt och linjen | ax 0 + c | / | en | och mätt längs en horisontell linje.

Normaliserad ekvation för en rät linje

Den normaliserade ekvationen för en rät linje är en formekvation

x\cos \alpha +y\sin \alpha -p=0

Den normaliserade ekvationen erhålls från den allmänna ekvationen för linjen ax + by + c = 0 genom att dividera alla termer med . Då är avståndet från punkten ( x 0 , y 0 ) till den räta linjen lika med det absoluta värdet av avvikelsen och beräknas med formeln [3] [4] ${\displaystyle {\sqrt {a^{2}+b^{2))))$

|d|=|x_{0}\cos \alpha +y_{0}\sin \alpha -p|

En rät linje ges av två punkter

Om linjen går genom två punkter P 1 =( x 1 , y 1 ) och P 2 =( x 2 , y 2 ), så är avståndet från (x 0 ,y 0 ) till linjen:

\operatorname {distance} (P_{1},P_{2},(x_{0},y_{0}))={\frac {|(y_{2}-y_{1})x_{ 0}-(x_{2}-x_{1})y_{0}+x_{2}y_{1}-y_{2}x_{1}|}{\sqrt {(y_{2}-y_{ 1})^{2}+(x_{2}-x_{1})^{2}}}}.

Nämnaren för detta uttryck är lika med avståndet mellan punkterna P 1 och P 2 . Täljaren är lika med två gånger arean av en triangel med hörn (x 0 ,y 0 ), P 1 och P 2 (se Allmän formel för arean av en triangel i kartesiska koordinater ). Uttrycket är ekvivalent med , vilket kan erhållas genom att konvertera standardformeln för arean av en triangel: , där b är längden på en sida och h är höjden till den sidan från den motsatta vertexen. ${\textstyle h={\frac {2A}{b))}$ ${\textstyle A={\frac {1}{2}}bh}$

Bevis

Algebraiskt bevis

Detta bevis är endast sant när linjen varken är vertikal eller horisontell. Det vill säga, vi antar att varken a eller b i ekvationen är noll.

Linjen med ekvationen ax + by + c = 0 har lutning - a / b , så vilken linje som helst som är vinkelrät mot den givna har lutning b / a . Låt ( m , n ) vara skärningspunkten för linjen ax + by + c = 0 och den vinkelräta linjen som går genom punkten ( x 0 , y 0 ). Linjen som går genom dessa två punkter är vinkelrät mot den ursprungliga linjen, så att

{\frac {y_{0}-n}{x_{0}-m}}={\frac {b}{a}}.

Så efter kvadrering får vi: $a(y_{0}-n)-b(x_{0}-m)=0,$

a^{2}(y_{0}-n)^{2}+b^{2}(x_{0}-m)^{2}-2ab(y_{0}-n)(x_ {0}-m).

Överväga,

(a(x_{0}-m)+b(y_{0}-n))^{2}=a^{2}(x_{0}-m)^{2}+2ab(y_ {0}-n)(x_{0}-m)+b^{2}(y_{0}-n)^{2}=(a^{2}+b^{2})((x_{ 0}-m)^{2}+(y_{0}-n)^{2})

Ett kvadratiskt uttryck används här. Men

(a(x_{0}-m)+b(y_{0}-n))^{2}=(ax_{0}+by_{0}-am-bn)^{2}=( ax_{0}+av_{0}+c)^{2}

eftersom punkten ( m , n ) ligger på linjen ax + by + c = 0. Alltså,

(a^{2}+b^{2})((x_{0}-m)^{2}+(y_{0}-n)^{2})=(ax_{0}+ av_{0}+c)^{2}

Av detta får vi längden på segmentet mellan dessa två punkter:

d={\sqrt {(x_{0}-m)^{2}+(y_{0}-n)^{2}}}={\frac {|ax_{0}+by_{0 }+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2))))

[5] .

Geometriskt bevis

Detta bevis är endast sant när linjen varken är vertikal eller horisontell. Ballantine och Gerbert [6] nämnde inte denna begränsning i sin tidning.

Låt oss släppa vinkelrät från punkten P med koordinater ( x 0 , y 0 ) till den räta linjen med ekvationen Ax + By + C = 0. Beteckna basen av vinkelrät med bokstaven R . Låt oss rita en vertikal linje genom P och beteckna skärningspunkten mellan denna vertikala linje och den ursprungliga räta linjen med bokstaven S. Vid en godtycklig punkt T på linjen, rita en rätvinklig triangel TVU , vars ben är horisontella och vertikala segment, och längden på det horisontella segmentet är lika med | b | (se bild). Det vertikala benet på triangeln ∆ TVU kommer att ha längd | A |, eftersom linjens lutning är -A / B .

Trianglar ∆ SRP och ∆ UVT är lika eftersom de båda är rektangulära och ∠ PSR ≅ ∠ VUT eftersom de är motsvarande vinklar för två parallella linjer PS och UV (vertikala linjer) och en sekant (ursprunglig linje) [7] . Vi skriver förhållandena mellan sidorna i dessa trianglar:

{\frac {|{\overline {PR}}|}{|{\overline {PS}}|}}={\frac {|{\overline {TV}}|}{|{\overline { TU}}|}}.

Om punkt S har koordinater ( x 0 , m ), så | PS | = | y 0 - m | och avståndet från P till linjen är:

|{\overline {PR}}|={\frac {|y_{0}-m||B|}{\sqrt {A^{2}+B^{2))))

Eftersom S är på linjen kan vi hitta värdet på m,

m={\frac {-Ax_{0}-C}{B)),

och få: [6]

|{\overline {PR}}|={\frac {|Ax_{0}+By_{0}+C|}{\sqrt {A^{2}+B^{2)))).

En annan version av detta bevis är att placera punkten V i punkten P och beräkna arean av triangeln ∆ UVT på två sätt, varefter vi får , där D är höjden på triangeln ∆ UVT till hypotenusan från punkt P. _ Avståndsformeln kan användas för att uttrycka , och i termer av P-koordinaterna och koefficienterna för ekvationen för den ursprungliga linjen, vilket resulterar i den nödvändiga formeln. $D|{\overline {TU}}|=|{\overline {VU}}||{\overline {VT}}|$ $|{\overline {TU}}|$ $|{\overline {VU}}|$ $|{\overline {VT}}|$

Bevis med vektorprojektion

Låt P vara en punkt med koordinater ( x 0 , y 0 ) och låt den ursprungliga linjen ha ekvationen ax + by + c = 0. Låt Q = ( x 1 , y 1 ) vara vilken punkt som helst på linjen och n vara vektor ( a , b ) med ursprung i punkten Q. Vektorn n är vinkelrät mot linjen, och avståndet d från punkten P till linjen är lika med längden av den ortogonala projektionen på n . Längden på denna projektion är: ${\overrightarrow {QP))$

d={\frac {|{\overrightarrow {QP}}\cdot \mathbf {n} |}{\|\mathbf {n} \|}}.

{\overrightarrow {QP}}=(x_{0}-x_{1},y_{0}-y_{1}),

så och

{\overrightarrow {QP}}\cdot \mathbf {n} =a(x_{0}-x_{1})+b(y_{0}-y_{1})

\|\mathbf {n} \|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.

Sedan

d={\frac {|a(x_{0}-x_{1})+b(y_{0}-y_{1})|}{\sqrt {a^{2}+b^{ 2}}}}.

Eftersom Q ligger på linjen, , och sedan [8] [9] [10] ${\displaystyle c=-ax_{1}-by_{1))$

d={\frac {|ax_{0}+by_{0}+c|}{\sqrt {a^{2}+b^{2))))

Andra formler

Du kan få andra uttryck för det kortaste avståndet från en punkt till en linje. Dessa slutsatser kräver också att den räta linjen inte är vertikal eller horisontell.

Låt punkt P ges av koordinater ( ). Låt den räta linjen ges av ekvationen . Ekvationen för en rät linje vinkelrät mot den ursprungliga linjen och som går genom punkten P ges av ekvationen . $x_{0},y_{0}$ $y=mx+k$ $y={\frac {x_{0}-x}{m}}+y_{0}$

Den punkt där dessa två linjer skär varandra är den punkt som ligger närmast P på den ursprungliga linjen. Sedan:

mx+k={\frac {x_{0}-x}{m}}+y_{0}.

Vi kan lösa denna ekvation för x ,

x={\frac {x_{0}+my_{0}-mk}{m^{2}+1)).

Y-koordinaten för skärningspunkten kan hittas genom att ersätta x -värdet i ekvationen för den ursprungliga linjen,

y=m{\frac {(x_{0}+my_{0}-mk)}{m^{2}+1}}+k.

Genom att ersätta de erhållna värdena i avståndsformeln får vi formeln för det kortaste avståndet från en punkt till en linje: ${\displaystyle d={\sqrt {(X_{2}-X_{1})^{2}+(Y_{2}-Y_{1})^{2))))$

d={\sqrt {\left(({\frac {x_{0}+my_{0}-mk}{m^{2}+1}}-x_{0}}\right)^{ 2}+\left({m{\frac {x_{0}+my_{0}-mk}{m^{2}+1}}+k-y_{0}}\right)^{2}} }.

Om vi märker att m = - a / b och k = - c / b för ekvationen ax + by + c = 0, får vi efter några beräkningar standarduttrycket [2] .

Formulering med vektorer

Låt oss skriva raden i vektorform :

\mathbf {x} =\mathbf {a} +t\mathbf {n}

där x är en vektor som ger koordinaterna för en punkt på linjen, n är en enhetsvektor i linjens riktning, a är en vektor som ger två koordinater för en punkt på linjen och t är en skalär. Det vill säga, för att få en punkt x på en rät linje, utgår vi från en punkt a på en rät linje och flyttar ett avstånd t längs den räta linjen.

Avståndet från en godtycklig punkt p till en rät linje ges av formeln

\operatorname {distance} (\mathbf {x} =\mathbf {a} +t\mathbf {n} ,\mathbf {p} )=\|(\mathbf {a} -\mathbf {p} ) -((\mathbf {a} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \|.

Denna formel är geometriskt uppbyggd enligt följande: är en vektor från p till en punkt a på linjen. Sedan är längden av projektionen på linjen, och sedan $\mathbf {a} -\mathbf {p}$ $(\mathbf {a} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {n}$

((\mathbf {a} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {n} )\mathbf {n}

är en vektor som är en projektion på en linje. Sedan $\mathbf {a} -\mathbf {p}$

(\mathbf {a} -\mathbf {p} )-((\mathbf {a} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {n} )\mathbf {n}

är komponenten av vektorn vinkelrät mot linjen. Därför är avståndet från en punkt till en rät linje lika med normen för denna vektor [11] . Denna formel kan också användas i högre dimensioner. $\mathbf {a} -\mathbf {p}$

En annan formulering som använder vektorer

Om vektorutrymmet är ortonormalt och linjen ( d ) passerar genom punkt B och har en riktningsvektor , då är avståndet från punkt A till linje ( d ) $\vec u$

d(\mathrm {A} ,(d))={\frac {\left\|{\overrightarrow {\mathrm {BA} }}\wedge {\vec {u}}\right\|}{ \|{\vec {u}}\|}}

där är korsprodukten av vektorerna och , och är normen för vektorn . ${\overrightarrow {\mathrm {BA} }}\wedge {\vec {u}}$ ${\overrightarrow {\mathrm {BA} }}$ $\vec u$ $\|{\vec {u}}\|$ $\vec u$

Generaliseringar

Avståndet från en punkt i det tredimensionella rymden till ett plan ges av en liknande formel [12] :

\operatorname {distance} (ax+by+cz+d=0,(x_{0},y_{0},z_{0}))={\frac {|ax_{0}+by_{0 }+cz_{0}+d|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2))))

Se även

Anteckningar

↑ Larson, Hostetler, 2007 , sid. 452.
↑ 1 2 Larson, Hostetler, 2007 , sid. 522.
↑ Privalov, 1966 , sid. 67.
↑ Delaunay, Raikov, 1948 , sid. 195.
↑ Laudanski, 2014 .
↑ 1 2 Ballantine, Jerbert, 1952 , sid. 242–243.
↑ Om två trianglar är på motsatta sidor av den ursprungliga linjen, kommer dessa vinklar att vara korsvis, och därför återigen lika.
↑ Anton, 1994 , sid. 138-9.
↑ Fedotov, Karpov, 2005 , sid. 86.
↑ Modenov, 1967 , sid. 152.
↑ Söndag, Dan. Linjer och avstånd för en punkt till en linje . //softsurfare. Datum för åtkomst: 6 december 2013. Arkiverad från originalet 14 december 2017. (obestämd)
↑ OnlineMSschool . Hämtad 2 december 2020. Arkiverad från originalet 17 januari 2021. (obestämd)

Litteratur

Delaunay B.N. , Raikov D.A. . Analytisk geometri. T. 1. - M., L.: OGIZ, 1948. - 456 sid.
Modenov P. S. . Analytisk geometri. - M . : Moscows förlag. un-ta, 1967. - 697 sid.
Privalov I.I. Analytisk geometri. 13:e uppl. — M .: Nauka , 1966. — 272 sid.
Fedotov A. G., Karpov B. V. . Analytisk geometri. — M .: MGIEM , 2005. — 158 sid. - ISBN 5-94506-116-6 .
Anton H. Elementär linjär algebra. 7:e uppl . - Somerset: John Wiley & Sons , 1994. - ISBN 0-471-58742-7 .
Ballantine J. P., Jerbert A. R. Avstånd från en linje eller ett plan till en punkt // American Mathematical Monthly. - 1952. - Vol. 59. - S. 242-243. - doi : 10.2307/2306514 .
Larson R., Hostetler R. . Precalculus: A Concise Course . - Boston: Houghton Mifflin, 2007. - xvii + 526 + 102 sid. — ISBN 0-618-62719-7 .
Laudański L. M. . Mellan säkerhet och osäkerhet: statistik och sannolikhet i fem enheter med anteckningar om historiskt ursprung och illustrativa numeriska exempel. — Berlin; Heidelberg: Springer Verlag, 2014. - x + 318 s. - (Intelligent Systems Reference Library, vol. 31). — ISBN 978-3-642-25696-7 .

Ytterligare läsning

Deza M. M., Deza E. . Encyclopedia of Distances. 2:a uppl . — Berlin; Heidelberg: Springer Verlag, 2013. xviii + 650 sid. - ISBN 978-3-642-30957-1 . — S. 86.