Relativistisk mekanik

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 23 oktober 2021; verifiering kräver 1 redigering .

Relativistisk mekanik är en gren av fysiken som betraktar mekanikens lagar (lagarna för rörelse för kroppar och partiklar) vid hastigheter som är jämförbara med ljusets hastighet . Vid hastigheter som är mycket lägre än ljusets hastighet övergår den till klassisk (Newtonsk) mekanik .

Allmänna principer

I klassisk mekanik är rumsliga koordinater och tid oberoende (i avsaknad av tidsberoende homonoma samband), tiden är absolut, det vill säga den flyter likadant i alla referensramar, och galileiska transformationer gäller . I den relativistiska mekaniken äger händelser rum i ett fyrdimensionellt rum som förenar det fysiska tredimensionella rummet och tiden ( Minkowski-rummet ) och Lorentz-transformationer tillämpas . I motsats till klassisk mekanik beror således händelsernas samtidighet på valet av referensram.

Den relativistiska mekanikens grundläggande lagar - den relativistiska generaliseringen av Newtons andra lag och den relativistiska lagen om bevarande av energimomentum - är en konsekvens av en sådan "blandning" av rumsliga och tidsmässiga koordinater under Lorentz-transformationer .

Newtons andra lag i relativistisk mekanik

Styrka definieras som

{\vec {F}}={\frac {d{\vec {p}}}{dt}}.

Uttrycket för det relativistiska momentumet är också känt:

{\vec p}={\frac {m{\vec {v}}}{{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}.

Om vi tar tidsderivatan av det sista uttrycket för att bestämma kraften får vi:

{\frac {d{\vec {p}}}{dt}}=m\gamma {\vec a}+m\gamma ^{3}{\vec {\beta }}({\vec {\beta } }{\vec {a))),

där beteckningarna införs: och . ${\vec {\beta }}\equiv {\frac {{\vec {v}}}{c}}$ $\gamma \equiv {\frac {1}{{\sqrt {1-v^{2}/c^{2))))}$

Som ett resultat tar uttrycket för kraften formen:

{\vec F}=m\gamma {\vec a}+m\gamma ^{3}{\vec {\beta }}({\vec {\beta }}{\vec {a}}).

Detta visar att i relativistisk mekanik, i motsats till det icke-relativistiska fallet, är acceleration inte nödvändigtvis riktad längs kraften, i det allmänna fallet har acceleration också en komponent riktad längs hastigheten.

Lagrangefunktionen för en fri partikel i relativistisk mekanik

Vi skriver handlingsintegralen utifrån principen om minsta handling

S=-\int \limits _{a}^{b}\alpha ds,

var är ett positivt tal. Som bekant från den speciella relativitetsteorin ( SRT ) $\alfa$

ds=c{\sqrt {1-v^{2}/c^{2))}dt.

Substituering i rörelsens integral finner vi

S=-\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}\alpha c{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}dt.

Men å andra sidan kan integralen av rörelse uttryckas i termer av Lagrange-funktionen

S=\int \limits _{t_{1}}^{t_{2}}{\mathcal {L}}dt.

Om man jämför de två sista uttrycken är det lätt att förstå att integranderna måste vara lika, dvs.

{\mathcal {L}}=-\alpha c{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}.

Därefter utökar vi det sista uttrycket i makter , vi får ${\frac {v}{c}}$

{\mathcal {L}}\simeq \alpha c+{\frac {\alpha v^{2}}{2c}}.

Den första termen av expansionen beror inte på hastigheten och introducerar därför inga förändringar i rörelseekvationerna. Sedan, jämfört med det klassiska uttrycket för Lagrange-funktionen: , är det lätt att bestämma konstanten ${\frac {mv^{2}}{2}}$ $\alfa$

\alpha =mc.

Således får vi äntligen formen av Lagrange-funktionen av en fri partikel

{\mathcal {L}}=-mc^{2}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}.

Resonemanget ovan kan övervägas inte bara för en partikel, utan också för en godtycklig kropp, om bara dess delar rör sig som en helhet.

Relativistisk partikel som ett icke-holonomiskt system

Eftersom kvadraten på 4-momentvektorn är en konstant: $P_{{\alpha ))$

P_{{\alpha }}P^{{\alpha }}-m^{2}c^{2}=0,

då kan en relativistisk partikel betraktas som ett mekaniskt system med en icke- holonomisk begränsning i ett 4-dimensionellt pseudo-euklidiskt rum [1] [2] [3] .

Anteckningar

↑ O. Krupková och J. Musilová, "Den relativistiska partikeln som ett mekaniskt system med icke-holonomiska begränsningar", J. Phys. A: Matematik. Gen. 34 (2001) 3859-3876.
↑ O. Krupkova, J. Musilova, "Den relativistiska mekaniken i en icke-holonomisk miljö: En enhetlig strategi för partiklar med massa som inte är noll och masslösa partiklar" arXiv:0904.2933.
↑ VE Tarasov "Relativistic non-Hamiltonian mechanics" Annals of Physics. Vol.325. Nr.10.(2010) s.2103-2119.

Se även

Litteratur

Pauli W. Relativitetsteorin. M.: Nauka , 1991. 328 sid.
Relativitetsprincipen. Samling av verk om den speciella relativitetsteorin. Moskva: Atomizdat , 1973.
Landau L. D. , Lifshits E. M. Fältteori . — 3:e upplagan, reviderad. — M .: Fizmatgiz , 1960. — 512 sid. - (" Teoretisk fysik ", volym II).
Whittaker E. Historien om teorin om eter och elektricitet. Moderna teorier 1900-1926. Per från engelska. Moskva, Izhevsk: IKI, 2004. 464 sid. ISBN 5-93972-304-7 (kapitel 2)

Avsnitt av mekanik
klassisk mekanik Särskild relativitetsteori Teoretisk mekanik Allmän relativitetsteori Relativistisk mekanik Kvantmekanik
Kontinuummekanik	Hydrostatik Hydrodynamik Aeromekanik Aerostatik gasdynamik Teori om elasticitet Teori om plasticitet Brottmekanik för fasta ämnen Reologi
teorier	Oscillationsteori Teori om hållbarhet
tillämpad mekanik	Materialets styrka Teori om mekanismer och maskiner Maskindelar Strukturell mekanik Hydraulik Mekatronik Himmelsk mekanik Optomekatronik