Typ av variation

Släktet av en sort är en homomorfism av kobordismringen av slutna varianter till någon ring , vanligtvis ringen av rationella tal .

Definition

Släktet φ väljer ett element φ( X ) från någon ring K för varje sort X så att

φ( X ∪ Y ) = φ( X ) + φ( Y ) (där ∪ är en disjunkt union )
φ( X × Y ) = φ( X )φ( Y )
φ( X ) = 0 om X är kobordant till noll.

I detta fall kan de aktuella grenrören förses med en ytterligare struktur, till exempel en orientering eller en spinorstruktur.

Ringen K är vanligtvis fältet för rationella tal, men ringen av modulära former anses också . $\mathbb{Z } _{2}$

Villkoren på φ kan omformuleras genom att säga att φ är en homomorfism av kobordismringen av grenrör (med hänsyn till strukturen) till en annan ring.

Genus of formal power series

polynom K 1 , K 2 ,... i variablerna p 1 , p 2 ... multiplikativ om

1+p_{1}z+p_{2}z^{2}+\ldots =(1+q_{1}z+q_{2}z^{2}+\ldots )(1+r_ {1}z+r_{2}z^{2}+\ldots )

skall

\sum _{i}K_{i}(p_{1},p_{2},\ldots )z^{i}=\sum _{j}K_{j}(q_{1},q_ {2},\ldots )z^{j}\cdot \sum _{k}K_{k}(r_{1},r_{2},\ldots )z^{k}.

Om Q(z) är en formell potensserie i z med skärningspunkt 1, kan vi definiera multiplikativa sekvenser

K(p_{1},p_{2},p_{3},\ldots )=1+K_{1}(p_{1})+K_{2}(p_{1},p_{2 })+\ldots

hur

K(p_{1},p_{2},p_{3},\ldots )=Q(z_{1})Q(z_{2})Q(z_{3})\ldots ,

där p k är den k -te elementära symmetriska funktionen med okända . $z_{i}$

Släktet φ av orienterade grenrör som motsvarar effektserien Q definieras som

\Phi (X)=K(p_{1},p_{2},p_{3},\cdots )

där p k är den k - te Pontryagin- klassen av X. I detta fall kallas potensserien Q den karakteristiska serien för släktet φ.

Exempel

L-släkte och signatur

L-släktet bestäms av den karakteristiska serien

{{\sqrt {z}} \over \operatorname {th} ({\sqrt {z}})}=\summa _{k\geqslant 0}{2^{2k}B_{2k}z^ {k} \over (2k)!}=1+{z \over 3}-{z^{2} \over 45}+\ldots

var är Bernoulli-talen . De första värdena: $B_{{2k}}$

$L_{0}=1$
$L_{1}={\tfrac {1}{3}}p_{1}$
$L_{2}={\tfrac {1}{45}}(7p_{2}-p_{1}^{2})$
$L_{3}={\tfrac {1}{945}}(62p_{3}-13p_{1}p_{2}+2p_{1}^{3})$
$L_{4}={\tfrac {1}{14175}}(381p_{4}-71p_{1}p_{3}-19p_{2}^{2}+22p_{1}^{2} p_{2}-3p_{1}^{4})$ [1] [2]

Om M är ett slutet jämnt orienterat grenrör med dimension 4n med Pontryagin-klasser , är värdet på L-släktet på grundklassen lika med signaturen , det vill säga, $p_{i}=p_{i}(M)$ $[M]$ $\sigma (M)$

\sigma (M)=L_{n}([M])

Det faktum att L 2 alltid är heltal för släta grenrör användes av John Milnor för att bevisa förekomsten av ett bitvis linjärt 8-dimensionellt grenrör utan en slät struktur.

Â-släkte

Â-släktet bestäms av den karakteristiska serien

Q(z)={{\sqrt {z}}/2 \över \operatörsnamn {sh} ({\sqrt {z}}/2)}=1-z/24+7z^{2}/ 5760-\ldots .

De första värdena

${\hat {A}}_{0}=1$
${\hat {A}}_{1}=-{\tfrac {1}{24}}p_{1}$
${\hat {A}}_{2}={\tfrac {1}{5760}}(-4p_{2}+7p_{1}^{2})$
${\hat {A}}_{3}={\tfrac {1}{967680}}(-16p_{3}+44p_{2}p_{1}-31p_{1}^{3})$
${\hat {A}}_{4}={\tfrac {1}{464486400}}(-192p_{4}+512p_{3}p_{1}+208p_{2}^{2}- 904p_{2}p_{1}^{2}+381p_{1}^{4})$

Egenskaper

Â-släktet för ett spinorgrenrör är ett heltal,
- Â-släktet för ett spinorgrenrör av dimension är ett jämnt heltal. $4{\pmod {8}}$
Â-släktet för ett spinorgrenrör är lika med indexet för Dirac-operatorn .
Om ett kompakt spinorgrenrör medger ett mått på positiv skalär krökning , är dess Â-släkte noll.

Se även

Atiyah-Singer indexsats

Anteckningar

↑ McTague, Carl (2014) "Computing Hirzebruch L-Polynomals" Arkiverad 5 mars 2016 på Wayback Machine .
↑ OEIS -sekvens A237111 . _

Länkar

Friedrich Hirzebruch Topological Methods in Algebraic Geometry ISBN 3-540-58663-6
Friedrich Hirzebruch, Thomas Berger, Rainer Jung Manifolds and Modular Forms ISBN 3-528-06414-5
Milnor, Stasheff, Karakteristiska klasser , ISBN 0-691-08122-0
A. F. Kharshiladze (2001), "Pontryagin class" (ej tillgänglig länk) , i Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
Hazewinkel, Michiel, red. (2001), "Elliptiska släkten" (ej tillgänglig länk) , Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4