Symmetriskt polynom

Ett symmetriskt polynom är ett polynom i variabler som inte förändras med alla permutationer av dess ingående variabler . Så för ett polynom med två variabler betyder detta ; exempel på symmetriska polynom med två variabler är , och . $f(x_{1},x_{2},...,x_{n})$ $n$ $x_{i}$ $f(x,y)$ $f(x,y)=f(y,x)$ $x+y$ $xy$ $x^{2}+y^{2}$

Grundläggande typer

Ofta används flera sekvenser av polynom ( det -e polynomet är i variabler), så att de föregående erhålls från följande genom att ersätta nollor med extra variabler: $f_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n})$ $n$ $n$

f_{n}(x_{1},\ldots ,x_{n-1},0)=f_{n-1}(x_{1},\ldots ,x_{n-1})

Därför betecknas sådana polynom utan att specificera antalet variabler: eller , där är inte ett index inuti en sekvens, utan ett sätt att numrera sådana sekvenser. Till exempel är potenssummor av en grad polynom $f(x_{1},\ldots ,x_{n})$ $f_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})$ $k$ $p_{k}$ $k$

p_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\summa _{i=1}^{n}x_{i}^{k}=x_{1}^{k }+\ldots +x_{n}^{k}

Ibland är det bekvämt att specificera dessa sekvenser av symmetriska polynom med hjälp av genererande funktioner : för en sekvens av symmetriska polynom är en sådan genererande funktion en potensserie $f_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})$

F(t;x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{k}f_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})t^{k}

från variabler. Till exempel är elementära (eller grundläggande) symmetriska gradpolynom summor av alla möjliga gradmonomer utan upprepade variabler; de ges av formeln $(n+1)$ ${\displaystyle \sigma _{k))$ $k$ $k$

\sigma _{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\summa _{1\leq j_{1}<\ldots <j_{k}\leq n}x_{j_ {1}}\cdot \ldots \cdot x_{j_{k}}

eller genererande funktion

\Sigma (t;x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{k=0}^{\infty }\sigma _{k}(x_{1},\ldots , x_{n})t^{k}=(1+tx_{1})\cdot \ldots \cdot (1+tx_{n})

Särskilt,

{\begin{array}{rcl}\sigma _{1}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})&=&x_{1}+x_{2}+\ cdots +x_{n}\\\sigma _{2}(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})&=&{x_{1}}{x_{2}}+{ x_{1}}{x_{3}}+\cdots +{x_{n-1}}{x_{n}}\\&\cdots &\\\sigma _{n-1}(x_{1} ,x_{2},\ldots ,x_{n})&=&{x_{1}}{x_{2}}\ldots {x_{n-1}}+{x_{1}}{x_{2 }}\ldots {x_{n-2}}{x_{n}}+\cdots +{x_{2}}{x_{3}}\ldots {x_{n}}\\\sigma _{n} (x_{1},x_{2},\ldots,x_{n})&=&{x_{1}}{x_{2}}\ldots {x_{n}}\\\end{array}}

Polynomet antas lika med , och polynomen vid är lika med . $\sigma _{0}$ $ett$ ${\displaystyle \sigma _{k))$ $k>n$ $0$

Ett annat exempel, fullständiga symmetriska polynom av grad är summan av alla monomial av grad , utan begränsningar på upprepningar av variabler; de ges av formeln ${\displaystyle h_{k))$ $k$ $k$

h_{k}(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i_{1}+\ldots +i_{n}=k}x_{1}^{i_{1 }}\cdot \ldots \cdot x_{n}^{i_{n}}

eller genererande funktion

H(t;x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{k=0}^{\infty }h_{k}(x_{1},\ldots,x_{n })t^{k}=(1-tx_{1})^{-1}\cdot \ldots \cdot (1-tx_{n})^{-1}

Viktiga för teorin om representationer av symmetriska grupper är Schur-polynom - symmetriska polynom parametriserade av partitioner till en summa av icke-negativa naturliga tal. Schur-polynomet av grad som motsvarar partitionen är [1] $d$ $d=d_1+\dots+d_n, \quad d_1\ge \dots\ge d_n\ge 0,$

s_{(d_{1},\dots ,d_{n})}(x_{1},\dots ,x_{n})={\frac {\det(x_{i}^{d_{ j}+nj})_{i,j=1}^{n}}{\det(x_{i}^{nj})_{i,j=1}^{n}}}

Ett annat exempel är det diskriminanta polynomet

{\displaystyle D(f)=a_{n}^{2n-2}\prod _{i<j}(\alpha _{i}-\alpha _{j})^{2))

var är rötterna till något polynom i en variabel: . $\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{n}$ ${\displaystyle f(x)=a_{0}+a_{1}x+...+a_{n}x^{n))$

Grundläggande sats för teorin om symmetriska polynom

Grundsatsen i teorin om symmetriska polynom säger att vilket symmetriskt polynom som helst kan uttryckas på ett unikt sätt som ett polynom i elementära symmetriska polynom. Med andra ord, för varje symmetriskt polynomfinns det ett (vanligtvis icke-symmetriskt) polynomså att $f(x_{1},\ldots ,x_{n})$ $g(y_{1},\ldots,y_{n})$

f(x_{1},\ldots ,x_{n})=g(\sigma _{1}(x_{1},\ldots,x_{n}),\ldots ,\sigma _{n }(x_{1},\ldots,x_{n}))

det vill säga de är lika polynom i , och ett sådant polynom är unikt. $x_{1},\ldots ,x_{n}$ $g(y_{1},\ldots,y_{n})$

Med andra ord, de elementära symmetriska polynomen är algebraiskt oberoende och utgör en grund för algebra av symmetriska funktioner : ringen av symmetriska funktioner är isomorf till ringen ${\displaystyle k[x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}]^{S))$ $k[\sigma _{1},\sigma _{2},\ldots ,\sigma _{n}]$

Ett liknande teorem gäller också för fullständiga symmetriska polynom.

Determinantformler

De genererande formlerna för elementära och fullständiga symmetriska polynom är relaterade av relationer , som expanderar till formler $\Sigma (t)\cdot H(-t)=1$

\sum _{r=0}^{n}(-1)^{r}\sigma _{r}h_{nr}=0\quad (n>1)

som uttrycker de elementära symmetriska polynomen i termer av de föregående elementära och i termer av alla de fullständiga. Den slutliga formeln ser ut som [2]

\sigma _{k}={\begin{vmatrix}h_{1}&1&0&\ldots &0\\h_{2}&h_{1}&1&\ldots &0\\\ldots &\ldots &\ldots &\ ldots &\ldots \\h_{k-1}&h_{k-2}&h_{k-3}&\ldots &1\\h_{k}&h_{k-1}&h_{k-2}&\ldots &h_ {1}\end{vmatrix}}

;

en liknande formel för att uttrycka summan i termer av symmetriska erhålls genom substitution och utan andra ändringar. $\sigma$ $h$

Se även

Anteckningar

↑ A. Okounkov, G. Olshansky, " Shifted Schur functions ", Algebra i Analiz , 9 :2 (1997), 73-146
↑ Prasolov, 2003 , sid. 93.

Länkar

V. G. Boltyansky , N. Ya. Vilenkin . Symmetri i algebra . - M. : MTSNMO, 2002. - 240 sid. - 2000 exemplar. - ISBN 5-94057-041-0 .
V. V. Prasolov . Polynom . - M. : MTSNMO, 2003. - S. 91-99. — 335 sid. — ISBN 5-94057-077-0 .
Z. B. Reichstein. Newtons identiteter och matematisk induktion // Matematisk utbildning . - 2000. - Utgåva. 4 . — S. 204–205 .