Lista över integraler av hyperboliska funktioner

Lista över integraler ( antiderivat ) av hyperboliska funktioner . Den additiva integrationskonstanten utelämnas överallt i listan .

\int \operatörsnamn {sh}cx\,dx={\frac {1}{c}}\operatörsnamn {ch}cx

\int \operatörsnamn {ch}cx\,dx={\frac {1}{c}}\operatörsnamn {sh}cx

\int \operatörsnamn {sh}^{2}cx\,dx={\frac {1}{4c}}\operatörsnamn {sh}2cx-{\frac {x}{2}}

\int \operatörsnamn {ch}^{2}cx\,dx={\frac {1}{4c}}\operatörsnamn {sh}2cx+{\frac {x}{2}}

\int \operatörsnamn {sh}^{n}cx\,dx={\frac {1}{cn}}\operatörsnamn {sh}^{{n-1}}cx\operatörsnamn {ch}cx-{\frac {n-1}{n}}\int \operatörsnamn {sh}^{{n-2}}cx\,dx\qquad {\mbox{( }}n>0{\mbox{)))

också:

\int \operatörsnamn {sh}^{n}cx\,dx={\frac {1}{c(n+1)}}\operatörsnamn {sh}^{{n+1}}cx\operatörsnamn {ch} cx-{\frac {n+2}{n+1}}\int \operatörsnamn {sh}^{{n+2}}cx\,dx\qquad {\mbox{( }}n<0{\mbox {, }}n\neq -1{\mbox{)))

\int \operatörsnamn {ch}^{n}cx\,dx={\frac {1}{cn}}\operatörsnamn {sh}cx\operatörsnamn {ch}^{{n-1}}cx+{\frac { n-1}{n}}\int \operatörsnamn {ch}^{{n-2}}cx\,dx\qquad {\mbox{( }}n>0{\mbox{)))

också:

\int \operatörsnamn {ch}^{n}cx\,dx=-{\frac {1}{c(n+1)}}\operatörsnamn {sh}cx\operatörsnamn {ch}^{{n+1} }cx-{\frac {n+2}{n+1}}\int \operatörsnamn {ch}^{{n+2}}cx\,dx\qquad {\mbox{(}}n<0{\ mbox{, }}n\neq -1{\mbox{)))

\int {\frac {dx}{\operatörsnamn {sh}cx}}={\frac {1}{c}}\ln \left|\operatörsnamn {th}{\frac {cx}{2}}\right |={\frac {1}{c}}\ln \left|{\frac {\operatörsnamn {ch}cx-1}{\operatörsnamn {sh}cx}}\right|={\frac {1}{ c}}\ln \left|{\frac {\operatörsnamn {sh}cx}{\operatörsnamn {ch}cx+1}}\right|={\frac {1}{c}}\ln \left|{ \frac {\operatörsnamn {ch}cx-1}{\operatörsnamn {ch}cx+1}}\right|

\int {\frac {dx}{\operatörsnamn {sh}^{2}cx}}=-{\frac {1}{c}}\operatörsnamn {cth}cx

\int {\frac {dx}{\operatörsnamn {ch}cx}}={\frac {2}{c}}\operatörsnamn {arctg}e^{{cx}}

\int {\frac {dx}{\operatörsnamn {ch}^{2}cx}}={\frac {1}{c}}\operatörsnamn {th}cx

\int {\frac {dx}{\operatörsnamn {sh}^{n}cx}}={\frac {\operatörsnamn {ch}cx}{c(n-1)\operatörsnamn {sh}^{{n- 1}}cx}}-{\frac {n-2}{n-1}}\int {\frac {dx}{\operatörsnamn {sh}^{{n-2}}cx}}\qquad {\ mbox{( }}n\neq 1{\mbox{)))

\int {\frac {dx}{\operatörsnamn {ch}^{n}cx}}={\frac {\operatörsnamn {sh}cx}{c(n-1)\operatörsnamn {ch}^{{n- 1}}cx}}+{\frac {n-2}{n-1}}\int {\frac {dx}{\operatörsnamn {ch}^{{n-2}}cx}}\qquad {\ mbox{( }}n\neq 1{\mbox{)))

\int {\frac {\operatörsnamn {ch}^{n}cx}{\operatörsnamn {sh}^{m}cx}}dx={\frac {\operatörsnamn {ch}^{{n-1}}cx }{c(nm)\operatörsnamn {sh}^{{m-1}}cx}}+{\frac {n-1}{nm}}\int {\frac {\operatörsnamn {ch}^{{n -2}}cx}{\operatörsnamn {sh}^{m}cx}}dx\qquad {\mbox{( }}m\neq n{\mbox{))))

också:

\int {\frac {\operatörsnamn {ch}^{n}cx}{\operatörsnamn {sh}^{m}cx}}dx=-{\frac {\operatörsnamn {ch}^{{n+1}} cx}{c(m-1)\operatörsnamn {sh}^{{m-1}}cx}}+{\frac {n-m+2}{m-1}}\int {\frac {\operatörsnamn {ch}^{n}cx}{\operatörsnamn {sh}^{{m-2}}cx}}dx\qquad {\mbox{( }}m\neq 1{\mbox{))))

också:

\int {\frac {\operatörsnamn {ch}^{n}cx}{\operatörsnamn {sh}^{m}cx}}dx=-{\frac {\operatörsnamn {ch}^{{n-1}} cx}{c(m-1)\operatörsnamn {sh}^{{m-1}}cx}}+{\frac {n-1}{m-1}}\int {\frac {\operatörsnamn {ch }^{{n-2}}cx}{\operatörsnamn {sh}^{{m-2}}cx}}dx\qquad {\mbox{( }}m\neq 1{\mbox{)))

\int {\frac {\operatörsnamn {sh}^{m}cx}{\operatörsnamn {ch}^{n}cx}}dx={\frac {\operatörsnamn {sh}^{{m-1}}cx }{c(mn)\operatörsnamn {ch}^{{n-1}}cx}}+{\frac {m-1}{mn}}\int {\frac {\operatörsnamn {sh}^{{m -2}}cx}{\operatörsnamn {ch}^{n}cx}}dx\qquad {\mbox{( }}m\neq n{\mbox{))))

också:

\int {\frac {\operatörsnamn {sh}^{m}cx}{\operatörsnamn {ch}^{n}cx}}dx={\frac {\operatörsnamn {sh}^{{m+1}}cx }{c(n-1)\operatörsnamn {ch}^{{n-1}}cx}}+{\frac {m-n+2}{n-1}}\int {\frac {\operatörsnamn { sh}^{m}cx}{\operatörsnamn {ch}^{{n-2}}cx}}dx\qquad {\mbox{( }}n\neq 1{\mbox{))))

också:

\int {\frac {\operatörsnamn {sh}^{m}cx}{\operatörsnamn {ch}^{n}cx}}dx=-{\frac {\operatörsnamn {sh}^{{m-1}} cx}{c(n-1)\operatörsnamn {ch}^{{n-1}}cx}}+{\frac {m-1}{n-1}}\int {\frac {\operatörsnamn {sh }^{{m-2}}cx}{\operatörsnamn {ch}^{{n-2}}cx}}dx\qquad {\mbox{( }}n\neq 1{\mbox{))))

\int x\operatörsnamn {sh}cx\,dx={\frac {1}{c}}x\operatörsnamn {ch}cx-{\frac {1}{c^{2}}}\operatörsnamn {sh} cx

\int x\operatörsnamn {ch}cx\,dx={\frac {1}{c}}x\operatörsnamn {sh}cx-{\frac {1}{c^{2}}}\operatörsnamn {ch} cx

\int \operatörsnamn {th}cx\,dx={\frac {1}{c}}\ln |\operatörsnamn {ch}cx|

\int \operatörsnamn {cth}cx\,dx={\frac {1}{c}}\ln |\operatörsnamn {sh}cx|

\int \operatörsnamn {th}^{2}cx\,dx=x-{\frac {1}{c}}\operatörsnamn {th}cx

\int \operatörsnamn {cth}^{2}cx\,dx=x-{\frac {1}{c}}\operatörsnamn {cth}cx

\int \operatörsnamn {th}^{n}cx\,dx=-{\frac {1}{c(n-1)}}\operatörsnamn {th}^{{n-1}}cx+\int \operatörsnamn {th}^{{n-2}}cx\,dx\qquad {\mbox{( }}n\neq 1{\mbox{ )))

\int \operatörsnamn {cth}^{n}cx\,dx=-{\frac {1}{c(n-1)}}\operatörsnamn {cth}^{{n-1}}cx+\int \operatörsnamn {cth}^{{n-2}}cx\,dx\qquad {\mbox{( }}n\neq 1{\mbox{)))

\int \operatörsnamn {sh}bx\operatörsnamn {sh}cx\,dx={\frac {1}{b^{2}-c^{2))}(b\operatörsnamn {sh}cx\operatörsnamn {ch }bx-c\operatörsnamn {ch}cx\operatörsnamn {sh}bx)\qquad {\mbox{( }}b^{2}\neq c^{2}{\mbox{)))

\int \operatörsnamn {ch}bx\operatörsnamn {ch}cx\,dx={\frac {1}{b^{2}-c^{2}}}(b\operatörsnamn {sh}bx\operatörsnamn {ch }cx-c\operatörsnamn {sh}cx\operatörsnamn {ch}bx)\qquad {\mbox{( }}b^{2}\neq c^{2}{\mbox{))))

\int \operatörsnamn {ch}bx\operatörsnamn {sh}cx\,dx={\frac {1}{b^{2}-c^{2}}}(b\operatörsnamn {sh}bx\operatörsnamn {sh }cx-c\operatörsnamn {ch}bx\operatörsnamn {ch}cx)\qquad {\mbox{( }}b^{2}\neq c^{2}{\mbox{))))

\int \operatörsnamn {sh}(ax+b)\sin(cx+d)\,dx={\frac {a}{a^{2}+c^{2}}}\operatörsnamn {ch}(ax +b)\sin(cx+d)-{\frac {c}{a^{2}+c^{2}}}\operatörsnamn {sh}(ax+b)\cos(cx+d)

\int \operatörsnamn {sh}(ax+b)\cos(cx+d)\,dx={\frac {a}{a^{2}+c^{2}}}\operatörsnamn {ch}(ax +b)\cos(cx+d)+{\frac {c}{a^{2}+c^{2))}\operatörsnamn {sh}(ax+b)\sin(cx+d)

\int \operatörsnamn {ch}(ax+b)\sin(cx+d)\,dx={\frac {a}{a^{2}+c^{2}}}\operatörsnamn {sh}(ax +b)\sin(cx+d)-{\frac {c}{a^{2}+c^{2))}\operatörsnamn {ch}(ax+b)\cos(cx+d)

\int \operatörsnamn {ch}(ax+b)\cos(cx+d)\,dx={\frac {a}{a^{2}+c^{2))}\operatörsnamn {sh}(ax +b)\cos(cx+d)+{\frac {c}{a^{2}+c^{2}}}\operatörsnamn {ch}(ax+b)\sin(cx+d)

Bibliografi

Böcker

Gradshtein I. S., Ryzhik I. M. Tabeller över integraler, summor, serier och produkter. - 4:e uppl. - M .: Nauka, 1963. - ISBN 0-12-294757-6 // EqWorld
Dvait G. B. Tabeller över integraler St. Petersburg: JSC VNIIGs förlag och tryckeri. B. V. Vedeneeva, 1995. - 176 sid. — ISBN 5-85529-029-8 . // EqWorld
D. Zwillinger. CRC Standard Mathematical Tables and Formulas , 31:a upplagan, 2002. ISBN 1-58488-291-3 .
M. Abramowitz och I.A. Stegun, red. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs and Mathematical Tables , 1964. ISBN 0-486-61272-4
Korn G. A., Korn T. M. Handbok i matematik för vetenskapsmän och ingenjörer . - M . : " Nauka ", 1974.

Tabeller över integraler

Beräkning av integraler

Listor över integraler efter funktionstyper
Elementärt rationell irrationell trigonometrisk omvänd hyperbolisk omvänd exponentiell logaritmiska funktioner