Lista över integraler av rationella funktioner

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 7 juni 2019; verifiering kräver 1 redigering .

Nedan finns en lista över integraler ( antiderivator ) av rationella funktioner .

\int (ax+b)^{n}dx={\begin{cases}{\frac {(ax+b)^{n+1}}{a(n+1))),&n\ neq -1\\{\frac {1}{a}}\ln \left|ax+b\right|,&n=-1\end{cases}}

\int x(ax+b)^{n}dx={\begin{cases}{\frac {a(n+1)xb}{a^{2}(n+1)(n+2 )}}(ax+b)^{n+1},&n\inte \i \{-1,-2\}\\{\frac {x}{a}}-{\frac {b}{a ^{2}}}\ln \left|ax+b\right|,&n=-1\\{\frac {b}{a^{2}(ax+b)))+{\frac {1} {a^{2}}}\ln \left|ax+b\right|,&n=-2\end{cases}}

\int {\frac {x}{(ax+b)^{n}}}dx={\frac {a(1-n)xb}{a^{2}(n-1)(n -2)(ax+b)^{n-1}}},\quad n\inte \i \{1,2\}

\int {\frac {dx}{x^{2^{n}}+1}}=\summa _{k=1}^{2^{n-1}}\left\({\ frac {1}{2^{n-1}}}\left[\sin \left({\frac {(2k-1)\pi }{2^{n}}}\right)\operatörsnamn {arctg} \left[\left(x-\cos \left({\frac {(2k-1)\pi }{2^{n))}\right)\right)\operatörsnamn {cosec} \left({\frac {(2k-1)\pi }{2^{n}}}\höger)\höger]\höger]-\höger.

\quad \left.-\,{\frac {1}{2^{n))}\left[\cos \left({\frac {(2k-1)\pi }{2^{n ))}\right)\ln \left|x^{2}-2x\cos \left({\frac {(2k-1)\pi}{2^{n))}\right)+1\right |\right]\right\}+C

\int {\frac {x^{2}}{ax+b}}dx={\frac {1}{a^{3}}}\left({\frac {(ax+b)^ {2}}{2}}-2b(ax+b)+b^{2}\ln \left|ax+b\right|\right)

\int {\frac {x^{2}}{(ax+b)^{2}}}dx={\frac {1}{a^{3}}}\left(ax+b- 2b\ln \left|ax+b\right|-{\frac {b^{2}}{ax+b}}\right)

\int {\frac {x^{2}}{(ax+b)^{3}}}dx={\frac {1}{a^{3}}}\left(\ln \left |ax+b\right|+{\frac {2b}{ax+b}}-{\frac {b^{2}}{2(ax+b)^{2}}}\right)

\int {\frac {x^{2}}{(ax+b)^{n}}}dx={\frac {1}{a^{3}}}\left(-{\frac {1}{(n-3)(ax+b)^{n-3}}}+{\frac {2b}{(n-2)(ax+b)^{n-2}}}-{ \frac {b^{2}}{(n-1)(ax+b)^{n-1}}}\höger),

för

n\inte \i \{1,2,3\}

\int {\frac {dx}{x(ax+b)}}=-{\frac {1}{b}}\ln \left|{\frac {ax+b}{x}}\ höger|

\int {\frac {dx}{x^{2}(ax+b)}}=-{\frac {1}{bx}}+{\frac {a}{b^{2}} }\ln \left|{\frac {ax+b}{x}}\right|

\int {\frac {dx}{x^{2}(ax+b)^{2}}}=-a\left({\frac {1}{b^{2}(ax+b )))+{\frac {1}{ab^{2}x}}-{\frac {2}{b^{3}}}\ln \left|{\frac {ax+b}{x} }\right|\right)

\int {\frac {dx}{a^{2}x^{2}+b^{2}}}={\frac {1}{ab}}\operatörsnamn {arctg} {\frac { ax}{b}}

\int {\frac {dx}{(x^{2}+a^{2})^{2))}={\frac {x}{2a^{2}(x^{2} +a^{2))}}+{\frac {1}{2a^{3}}}\operatörsnamn {arctg} {\frac {x}{a}}

\int {\frac {dx}{(x^{2}+a^{2})^{3}}}={\frac {x}{4a^{2}(x^{2} +a^{2})^{2))}+{\frac {3x}{8a^{4}(x^{2}+a^{2)))))+{\frac {3}{ 8a ^{5}}}\operatörsnamn {arctg} {\frac {x}{a}}

\int {\frac {dx}{x^{2}-a^{2}}}=-{\frac {1}{a}}\,\operatörsnamn {arth} {\frac {x} {a}}={\frac {1}{2a}}\ln {\frac {ax}{a+x}}),

för

|x|<|a|

\int {\frac {dx}{x^{2}-a^{2}}}=-{\frac {1}{a}}\,\operatörsnamn {arcth} {\frac {x} {a}}={\frac {1}{2a}}\ln {\frac {xa}{x+a}}),

för

|x|>|a|

\int {\frac {dx}{ax^{2}+bx+c}}={\frac {2}{\sqrt {4ac-b^{2}}}}\operatörsnamn {arctg} { \frac {2ax+b}{\sqrt {4ac-b^{2)))),

för

4ac-b^{2}>0

\int {\frac {dx}{ax^{2}+bx+c}}=-{\frac {2}{\sqrt {b^{2}-4ac}}}\,\operatörsnamn { arth} {\frac {2ax+b}{\sqrt {b^{2}-4ac}}}={\frac {1}{\sqrt {b^{2}-4ac}}}\ln \left| {\frac {2ax+b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2ax+b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}}\right|,

för

4ac-b^{2}<0

\int {\frac {dx}{ax^{2}+bx+c}}=-{\frac {2}{2ax+b}}\qquad {\mbox{(för }}4ac-b ^{2}=0{\mbox{)))

\int {\frac {x}{ax^{2}+bx+c}}dx={\frac {1}{2a}}\ln \left|ax^{2}+bx+c\ höger|-{\frac {b}{2a}}\int {\frac {dx}{ax^{2}+bx+c}}

\int {\frac {mx+n}{ax^{2}+bx+c}}dx={\frac {m}{2a}}\ln \left|ax^{2}+bx+ c \right|+{\frac {2an-bm}{a{\sqrt {4ac-b^{2))))}\operatörsnamn {arctg} {\frac {2ax+b}{\sqrt {4ac-b ^ {2}}}},

för

4ac-b^{2}>0

\int {\frac {mx+n}{ax^{2}+bx+c}}dx={\frac {m}{2a}}\ln \left|ax^{2}+bx+ c \right|-{\frac {2an-bm}{a{\sqrt {b^{2}-4ac))))\,\operatörsnamn {arth} {\frac {2ax+b}{\sqrt {b ^ {2}-4ac}}},

för

4ac-b^{2}<0

\int {\frac {mx+n}{ax^{2}+bx+c}}dx={\frac {m}{2a}}\ln \left|ax^{2}+bx+ c \right|-{\frac {2an-bm}{a(2ax+b)))),

för

4ac-b^{2}=0

{\displaystyle \int {\frac {dx}{(ax^{2}+bx+c)^{n))}={\frac {2ax+b}{(n-1)(4ac-b^{ 2})(ax^{2}+bx+c)^{n-1))}+{\frac {(2n-3)2a}{(n-1)(4ac-b^{2})} }\int {\frac {dx}{(ax^{2}+bx+c)^{n-1))))

{\displaystyle \int {\frac {x}{(ax^{2}+bx+c)^{n))}dx={\frac {bx+2c}{(n-1)(4ac-b^ {2})(ax^{2}+bx+c)^{n-1}}}-{\frac {b(2n-3)}{(n-1)(4ac-b^{2}) }}\int {\frac {dx}{(ax^{2}+bx+c)^{n-1))))

\int {\frac {dx}{x(ax^{2}+bx+c)}}={\frac {1}{2c}}\ln \left|{\frac {x^{2 }}{ax^{2}+bx+c}}\right|-{\frac {b}{2c}}\int {\frac {dx}{ax^{2}+bx+c}}

Bibliografi

Böcker

Gradshtein I. S., Ryzhik I. M. Tabeller över integraler, summor, serier och produkter. - 4:e uppl. - M .: Nauka, 1963. - ISBN 0-12-294757-6 // EqWorld
Dvait G. B. Tabeller över integraler St. Petersburg: JSC VNIIGs förlag och tryckeri. B. V. Vedeneeva, 1995. - 176 sid. — ISBN 5-85529-029-8 . // EqWorld
D. Zwillinger. CRC Standard Mathematical Tables and Formulas , 31:a upplagan, 2002. ISBN 1-58488-291-3 .
M. Abramowitz och I.A. Stegun, red. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs and Mathematical Tables , 1964. ISBN 0-486-61272-4
Korn G. A., Korn T. M. Handbok i matematik för vetenskapsmän och ingenjörer . - M . : " Nauka ", 1974.

Tabeller över integraler

Beräkning av integraler

Listor över integraler efter funktionstyper
Elementärt rationell irrationell trigonometrisk omvänd hyperbolisk omvänd exponentiell logaritmiska funktioner