Maxwell-Boltzmann statistik

Maxwell-Boltzmann statistik är en statistisk metod för att beskriva fysikaliska system som innehåller ett stort antal icke-interagerande partiklar som rör sig enligt den klassiska mekanikens lagar (det vill säga en klassisk idealgas ); föreslog 1871 av den österrikiske fysikern L. Boltzmann .

Distributionsutgång

Maxwell-Boltzmann-fördelningen kan härledas från den allmänna Gibbs-fördelningen . Betrakta ett system av partiklar i ett enhetligt fält. I ett sådant fält har varje molekyl av en idealgas en total energi

\varepsilon =\varepsilon _{kin}+u(x,y,z),

var är den kinetiska energin för dess translationella rörelse, och är den potentiella energin i ett yttre fält, vilket beror på dess position. $\varepsilon _{kin}$ $u$

Att ersätta detta uttryck med energi i Gibbs-fördelningen för en ideal gasmolekyl

{\displaystyle \mathrm {d} w={\frac {1}{z}}\mathrm {exp} \left(-{\frac {\varepsilon (p,q)}{\theta }}\right)\ cdot {\frac {\mathrm {d} p_{x}\mathrm {d} p_{y}\mathrm {d} p_{z}\mathrm {d} V}{h^{3))))

(var är sannolikheten att partikeln är i ett tillstånd med värden på koordinater och momenta , i intervallet ), vi har: $\mathrm {d} w$ $q$ $sid$ $\mathrm {d} p_{x}\mathrm {d} p_{y}\mathrm {d} p_{z}\mathrm {d} V$

\mathrm {d} w={\frac {1}{zh^{3}}}\mathrm {exp} \left(-{\frac {\varepsilon _{kin}+u}{kT)) \right)\cdot \mathrm {d} p_{x}\mathrm {d} p_{y}\mathrm {d} p_{z}\mathrm {d} V,

där integralen av stater är:

z=\int \mathrm {exp} \left(-{\frac {\varepsilon _{kin}+u}{kT))\right)\cdot {\frac {\mathrm {d} p_{x }\mathrm {d} p_{y}\mathrm {d} p_{z}\mathrm {d} V}{h^{3}}}.

Integration utförs över alla möjliga värden av variablerna. Planck -konstanten , är Boltzmann-konstanten , är temperaturen, . Vidare kan integralen av tillstånd skrivas i formen: $h$ $k$ $T$ $\theta =kT$

z={\frac {1}{h^{3}}}\int \mathrm {exp} \left(-{\frac {\varepsilon _{kin}}{kT}}\right)\cdot \mathrm {d} p_{x}\mathrm {d} p_{y}\mathrm {d} p_{z}\cdot \int \mathrm {exp} \left(-{\frac {u}{kT)) \right)\mathrm {d} V=\left({\frac {2\pi mkT}{h^{2}}}\right)^{3/2}\cdot \int \mathrm {exp} \left (-{\frac {u}{kT}}\right)\mathrm {d} V.

Därför har Gibbs-fördelningen normaliserad till enhet för en gasmolekyl i närvaro av ett externt fält formen:

\mathrm {d} w={\frac {1}{(2\pi mkT)^{3/2}}}\cdot \mathrm {exp} \left(-{\frac {p^{2 }}{2mkT}}\right)\mathrm {d} p_{x}\mathrm {d} p_{y}\mathrm {d} p_{z}\cdot {\frac {e^{-{\frac { u}{kT))}\mathrm {d} V}{\int e^{-{\frac {u}{kT))}\mathrm {d} V)).

Den resulterande sannolikhetsfördelningen, som kännetecknar sannolikheten att en molekyl har ett momentum i ett givet intervall och befinner sig i ett givet volymelement, kallas Maxwell-Boltzmann-fördelningen .

Vissa egenskaper

När man överväger Maxwell-Boltzmann-distributionen är en viktig egenskap slående - den kan representeras som en produkt av två faktorer:

\mathrm {d} w=\left[{\frac {1}{(2\pi mkT)^{3/2}}}\cdot \mathrm {exp} \left(-{\frac {p ^{2}}{2mkT}}\right)\mathrm {d} p_{x}\mathrm {d} p_{y}\mathrm {d} p_{z}\right]\cdot \left[{\frac {e^{-{\frac {u}{kT}}}\mathrm {d} V}{\int e^{-{\frac {u}{kT}}}\mathrm {d} V}}\ höger].

Den första faktorn är inget annat än Maxwell-fördelningen , den kännetecknar sannolikhetsfördelningen över impulser. Den andra faktorn beror endast på partiklarnas koordinater och bestäms av typen av potentiell energi; den karakteriserar sannolikheten att hitta en partikel i volym d . $V$

Enligt sannolikhetsteorin kan Maxwell-Boltzmann-fördelningen betraktas som produkten av sannolikheterna för två oberoende händelser - realiseringen av momentumvärdet i ett givet "momentum"-intervall och realiseringen av positionen för en molekyl i en given " koordinat" intervall. Den första:

\mathrm {d} w_{p}={\frac {1}{(2\pi mkT)^{3/2}}}\cdot \mathrm {exp} \left(-{\frac {p ^{2}}{2mkT}}\right)\mathrm {d} p_{x}\mathrm {d} p_{y}\mathrm {d} p_{z}

är Maxwell-distributionen; andra chans:

\mathrm {d} w_{r}={\frac {e^{-{\frac {u}{kT))}\mathrm {d} V}{\int e^{-{\frac { u}{kT}}}\mathrm {d} V}}

är Boltzmann-distributionen. Uppenbarligen är var och en av dem normaliserad till enhet.

Boltzmannfördelningen är ett specialfall av den kanoniska Gibbsfördelningen för en idealgas i ett externt potentialfält, eftersom Gibbsfördelningen i frånvaro av interaktion mellan partiklar sönderdelas till produkten av Boltzmannfördelningarna för enskilda partiklar.

Sannolikheternas oberoende ger ett viktigt resultat: sannolikheten för ett givet värde på rörelsemängden är helt oberoende av molekylens position och omvänt beror sannolikheten för molekylens läge inte på dess rörelsemängd. Detta innebär att partiklarnas rörelsemängdsfördelning inte beror på fältet, med andra ord, den förblir densamma från punkt till punkt i det utrymme där gasen är innesluten. Endast sannolikheten för att detektera en partikel, eller motsvarande antalet partiklar, ändras.

Se även

Bibliografi

Carter, Ashley H., "Classical and Statistical Thermodynamics", Prentice–Hall, Inc., 2001, New Jersey.
Raj Pathria , "Statistical Mechanics", Butterworth-Heinemann, 1996.