Gruppens tillväxttakt

Tillväxthastigheten för en grupp är en egenskap inom gruppteorin som visar tillväxthastigheten för ändligt genererade grupper i form av en klass av funktioner som associerar antalet genererande element med gruppens ordning . Den introducerades av den sovjetiske matematikern Schwartz ( 1955 ) som en del av studien av frågan om framväxten av universella täckande riemannska utrymmen och oberoende av den amerikanske matematikern Milnor ( 1968 ) i samband med problemen med grundläggande grupper av kompakta riemannska grenrör med krökningsbegränsningar [1] .

Definition

Tillväxtfunktionen för en grupp som ändligt genereras av element är en funktion som tilldelar varje naturligt tal antalet olika element i gruppen som kan representeras som en produkt av högst formfaktorer . På uppsättningen av grupptillväxtfunktioner introduceras en förbeställningsrelation : if and only if och en ekvivalensrelation : . Ekvivalensklassen av tillväxtfunktioner beror inte på valet av generatorer, och den kallas gruppens tillväxtgrad . $A=\{a_{1},\dots ,a_{m}\}$ $G$ $\gamma \colon \mathbb {N} \to \mathbb {N}$ $n$ $n$ ${\displaystyle a_{i}^{\pm 1))$ ${\displaystyle \gamma _{1}\preccurlyeq \gamma _{2))$ $\exists (C\in \mathbb {N} )\forall (n\in \mathbb {N} )\gamma _{1}(n)\leqslant \gamma _{2}(Cn)$ ${\displaystyle \gamma _{1}\sim \gamma _{2}\Leftrightarrow \gamma _{1}\preccurlyeq \gamma _{2}\land \gamma _{2}\preccurlyeq \gamma _{1))$ $[\gamma ]$

Egenskaper

Den minsta graden av tillväxt av identitetsgruppen, graden av tillväxt av en fri grupp med två generatorer (och dessutom varje grupp som innehåller en fri undergrupp med två generatorer) är [2] . $[2^{n}]$

Om en elementär grupp är nästan nilpotent (det vill säga den innehåller en nilpotent undergrupp av finita index ), så uttrycks dess tillväxtgrad av potensfunktioner , annars exponentiell . Gromovs teorem om grupper av polynomtillväxt säger att alla grupper vars tillväxtgrad uttrycks av en potensfunktion är nästan nilpotenta. Grupper konstrueras vars tillväxtfunktioner inte är ekvivalenta med vare sig makt eller exponentialfunktioner, historiskt sett är det första sådana exemplet Grigorchuks grupp ( 1984 ). Alla ändligt genererade grupper av subexponentiell tillväxt är mottagliga .

Anteckningar

↑ Grigorchuk, 1984 .
↑ Allmän Algebra, 1990 , sid. 102-103.

Litteratur

Melnikov O. V., Remeslennikov V. N., Romankov V. A. . Kapitel II. Grupper // Allmän Algebra / Under det allmänna. ed. L. A. Skonyakova . - M . : Nauka , 1990. - T. 1. - S. 66-290. — 592 sid. — (Referens matematiskt bibliotek). — 30 000 exemplar. — ISBN 5-02-014426-6 .
Grigorchuk R. I. Grader av tillväxt för ändligt genererade grupper och teorin om invarianta medel // Izvestiya AN SSSR. Matematisk serie. - 1984. - T. 48 , nr 5 . - S. 939-985 . - doi : 10.1070/IM1985v025n02ABEH001281 . (ryska)