Mottaglig grupp

En mottaglig grupp  är en lokalt kompakt topologisk grupp G där det är möjligt att introducera en medelvärdesoperation på gränsade funktioner på denna grupp som är invariant under multiplikation med vilket element som helst i gruppen.

Historik

Konceptet introducerades av John von Neumann 1929 under det tyska namnet "messbar" ("mätbar"). Motivationen var fördubblingen av bollparadoxen .

Den ursprungliga definitionen gavs i termer av ett ändligt additivt invariant mått på delmängder av gruppen G .

1949 myntade Mahlon Day termen mottaglig (från engelskan "lydig"), som fastnade [1] .

Definition för lokalt kompakta grupper

Tänk på en lokalt kompakt Hausdorff grupp  G med sitt Haarmått . Betrakta ett Banach-utrymme i L ∞ ( G ) av avgränsade mätbara funktioner.

Definition 1. En linjär funktionell Λ i Hom( L ∞ ( G ), R ) kallas ett medelvärde om Λ har norm 1 och är icke-negativ, det vill säga f ≥ 0 innebär Λ( f ) ≥ 0 nästan överallt .

Definition 2. Ett medelvärde av Λ i Hom( L ∞ ( G ), R ) sägs vara vänster invariant (respektive höger invariant ) om Λ( g f ) = Λ( f ) för alla g i G och f i L ∞ ( G ) med avseende på vänster (respektive höger) skift g f ( x ) = f( g −1 x ) (respektive f g ( x ) = f ( x g −1 )).

Definition 3. En lokalt kompakt Hausdorff-grupp kallas mottaglig om den tillåter vänsterinvariant (eller högerinvariant) medelvärdesberäkning.

Motsvarande villkor

• Närvaron av en fast punkt. Varje åtgärd av en grupp genom affina transformationer på en kompakt konvex delmängd av ett separerbart lokalt konvext topologiskt vektorrum har en fixpunkt.
• Dagens kriterium. Det finns en sekvens av integrerbara icke-negativa funktioner φ n med integral 1 på G så att g φ n − φ n tenderar till 0 i den svaga topologin på L 1 ( G ).
• Reuters kriterium. För varje finit (eller kompakt) delmängd F av G finns det en integrerbar icke-negativ funktion φ med integral 1 så att g φ − φ är godtyckligt liten i L 1 ( G ) för vilket g från F som helst .
• Glicksberg-Reiter-kriteriet. För varje f i L 1 ( G ), är avståndet mellan 0 och det stängda konvexa skrovet i L 1 ( G ) för vänsterförskjutningar av f |∫ f |.
• Fölners kriterium. För varje finit (eller kompakt) delmängd F av G finns det en mätbar delmängd U av G med ett ändligt positivt Haar-mått så att värdet är godtyckligt nära 1.
• Kestens kriterium . Vänster faltning på L 2 ( G ) med ett symmetriskt sannolikhetsmått på G ger en operator med norm 1.
• Johnsons homologitest. Banach-algebra A = L 1 ( G ) är mottaglig som en Banach-algebra.

Fallet med diskreta grupper

Definitionen av lämplighet är enklare i fallet med en diskret grupp [2] , det vill säga när gruppen är utrustad med en diskret topologi.

Definition. En diskret grupp G är mottaglig om det finns ett vänsterinvariant ändligt additivt sannolikhetsmått μ på G .

Denna definition är ekvivalent med definitionen i termer av L ∞ ( G ) som ges ovan.

Måttet μ på G tillåter oss att definiera integralen av gränsade funktioner på  G . För en begränsad funktion f : G → R , integralen

definieras som i fallet med Lebesgue-integralen . (Observera att vissa egenskaper hos Lebesgue-integralen inte håller, eftersom vårt mått endast är ändligt additiv.)

Om en grupp erkänner ett vänsterinvariant mått, så tillåter den också ett bi-invariant mått. Från ett vänsterinvariant mått μ konstrueras faktiskt ett högerinvariant mått μ − ( A ) = μ ( A −1 ). Dessa två mått definierar ett bi-invariant mått enligt följande:

De ekvivalenta villkoren för mottagliga grupper blir också enklare i fallet med en räknebar diskret grupp Γ . För en sådan grupp är följande villkor likvärdiga: [3]

• Γ är mottaglig.
• Det finns en vänsterinvariant kontinuerlig funktionell μ på l ∞ (Γ) med μ (1) = 1.
• Det finns en uppsättning sannolikhetsmått μ n på Γ så att ||g · μ n  — μ n || 1 tenderar till 0 för varje g i Γ.
• Det finns enhetsvektorer x n i l 2 (Γ) så att ||g x n − x n || 2 tenderar till 0 för varje g i Γ.
• Det finns ändliga delmängder S n från Γ så att | g · S n ∆ S n | / | S n | tenderar till 0 för varje g i Γ.
• Om μ är ett symmetriskt sannolikhetsmått på Γ med ett system av generatorer som stöd, så definierar faltning över μ en normoperator på 1 i ℓ 2 (Γ).
• Om Γ verkar genom isometrier på ett separerbart Banach-utrymme E och f in l ∞ (Γ, E *) är en begränsad 1-samcykel, dvs f ( g h ) = f ( g ) + g f ( h ) , så är f  en 1-coboundary, det vill säga f ( g ) = g φ − φ för någon φ i E *.

Egenskaper

• En sluten undergrupp av en mottaglig grupp är mottaglig.
• Faktorgruppen för en mottaglig grupp är mottaglig.
• En förlängning av en mottaglig grupp är mottaglig.
  • I synnerhet är en ändlig direkt produkt av mottagliga grupper mottaglig. Men oändliga produkter behöver inte vara mottagliga.
• Direkta gränser för mottagliga grupper är mottagliga.
  • I synnerhet, om en grupp kan skrivas som en förening av en ökande sekvens av mottagliga undergrupper, så är den mottaglig.

Exempel

• Kompakta grupper är mottagliga.
  • I synnerhet är ändliga grupper mottagliga.
• Alla lösbara grupper är mottagliga. Särskilt,
  • alla abelska grupper är mottagliga.
  • gruppen av heltal är mottaglig.

Exemplen ovan kallas elementära mottagliga grupper. De är konstruerade från finita och abelska grupper med hjälp av en standarduppsättning operationer. Existensen av icke-elementära mottagliga grupper garanteras av följande exempel.

• Ändligt genererade grupper av subexponentiell tillväxt är mottagliga.

Motexempel

• En räknebar diskret grupp som innehåller en fri undergrupp med två generatorer är inte mottaglig.
  • Det omvända påståendet är von Neumann-hypotesen, den motbevisades av Olshansky 1980 med hjälp av hans Tarski- monster .
    • Adian visade därefter att gratis Burnside-grupper inte är mottagliga.
    • Dessa grupper genereras ändligt men inte ändligt representerade. År 2002 hittade Sapir och Olshansky exempel på icke-mottagliga ändligt presenterade grupper [4] .
  • För ändligt genererade linjära grupper stämmer von Neumann-förmodan enligt Tits sats [5] : varje undergrupp GL ( n, k ) över ett fält k har antingen en normal lösbar undergrupp av finita index (och därför är gruppen mottaglig) eller innehåller en gratis undergrupp med två generatorer.

Relaterade egenskaper

• Egenskapen (T) för Kazhdan är, informellt sett, den totala motsatsen till medgivenhet, förutom fallet med kompakta (i det diskreta fallet, ändliga) grupper [6] .
• Sofiska grupper generaliserar både mottagliga och resterande ändliga grupper ; informellt sett är en sofisk grupp lokalt väl approximerad av en finit grupp, jfr. med Fölnerkriteriet. Från och med 2021 är det okänt om denna klass inkluderar alla diskreta räkningsbara grupper [7] [8] .

Anteckningar

1. ↑ MM Dag. Medel för semigrupper och grupper // Bull. amer. Matematik. Soc.. - 1949. - Vol. 55. - P. 1054-1055.
2. ↑ Se Greenleaf 1969, Pier 1984, Takesaki 2002a, Takesaki 2002b.
3. ↑ Pier 1984
4. ↑ Olshanskii, Alexander Yu.; Sapir, Mark V. Non-acenable ändligt presenterade torsion-by-cyclic groups // Publ. Matematik. Inst. Hautes Études Sci.. - 2002. - Vol. 96.—S. 43–169. - doi : 10.1007/s10240-002-0006-7 .
5. ↑ Tits, J. (1972), "Fria undergrupper i linjära grupper", J. Algebra 20 (2): 250-270, doi : 10.1016/0021-8693(72)90058-0
6. ↑ Bachir Bekka, Pierre de la Harpe och Alain Valette. Kazhdans egendom (T). - Cambridge University Press, 2008. - P. 11. - ISBN 978-0-521-88720-5 . — ISBN 978-0-511-39377-8 .
7. ↑ Laurent Bartholdi. Kapitel 11. Lämplighet för grupper och G -uppsättningar // Sekvenser, grupper och talteori. - Birkhäuser, 2018. - S. 543. - ISBN 978-3-319-69151-0 . — ISBN 978-3-319-69152-7 .
8. ↑ Lewis Bowen, Peter Burton. Lokalt kompakta sociala grupper. - P. 3. - arXiv : 2106.09118 .

Länkar

• T.V. Nagnibed. Lämplighet för ändligt genererade grupper  // All-Institute Seminarium "Colloquium of MIAN". — 2 november 2017. (ryska)
• Brooks, Robert (1981), The fundamental group and the spectrum of the laplacian , Kommentar. Matematik. Helv. T. 56: 581–598 , DOI 10.1007/bf02566228 
• Dixmier, Jacques (1977), C*-algebras (översatt från franskan av Francis Jellett) , vol. 15, North-Holland Mathematical Library, North-Holland 
• Greenleaf, F. P. (1969), Invariant Means on Topological Groups and Their Applications , Van Nostrand Reinhold 
• Juschenko, Kate & Monod, Nicolas (2013), Cantor systems, piecewise translations and simple amenable groups , Annals of Mathematics vol 178 (2): 775–787 , DOI 10.4007/annals.2013.178.2.7 
• Leptin, H. (1968), Zur harmonischen Analysera klassenkompakter Gruppen , Invent. Matematik. V. 5: 249–254 , DOI 10.1007/bf01389775 
• Pier, Jean-Paul (1984), Amenable locally compact groups , Pure and Applied Mathematics, Wiley 
• Runde, V. (2002), Lectures on Amenability , vol. 1774, Lecture Notes in Mathematics, Springer, ISBN 9783540428527 
• Sunada, Toshikazu (1989), Unitary representations of fundamental groups and the spectrum of twisted Laplacians , Topology vol . 28: 125–132 , DOI 10.1016/0040-9383(89)90015-3 
• Takesaki, M. (2002a), Theory of Operator Algebras , vol. 2, Springer, ISBN 9783540422488 
• Takesaki, M. (2002b), Theory of Operator Algebras , vol. 3, Springer, ISBN 9783540429142 
• Valette, Alain (1998), Om Godements karaktärisering av mottaglighet , Bull. Austral. Matematik. soc. T. 57: 153–158 , DOI 10.1017/s0004972700031506 
• von Neumann, J (1929), Zur allgemeinen Theorie des Maßes , Fund. Matematik. T. 13(1): 73–111 , < http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/fm/fm13/fm1316.pdf >