Superflip

"Superflip" ( eng.  superflip [1] ) eller 12-flip ( eng.  12-flip [2] ) [K 1] - Rubiks kubkonfiguration  , som skiljer sig från det sammansatta tillståndet genom att var och en av de 12 kantade kuberna är vända över på sin plats [1] . "Superflip" är ett exempel på "antipod" - en konfiguration som kräver maximalt möjliga antal ansiktsrotationer för att lösa .

"Superflip" kallas också en transformation (effekten av att utföra en sekvens av ansiktsrotationer), som ändrar orienteringen av var och en av de 12 kantkuberna till den motsatta, samtidigt som orienteringen av hörnkuberna och permutationen av element bibehålls [3 ] .

1992 nämndes "superflipen" i tidningen " Quantum " under namnet "omvänd solitaire" [4] .

Egenskaper

"Superflip" är en av fyra konfigurationer som har alla möjliga symmetrier (de andra tre konfigurationerna är Pons Asinorum , "superflip"-kompositionen med Pons Asinorum och den initiala (monterade) konfigurationen) [5] [6] [7] .

Tillsammans med identitetstransformationen går "superflip"-transformationen in i centrum av Rubiks kubgrupp [8] [3] [9] :

Vissa egenskaper hos en "superflip" beror på om ansiktsrotationen med 180° betraktas som 1 "rörelse" ( FTM- metrisk , engelsk  ansiktsvängningsmetrisk ) eller 2 "drag" (QTM-metrisk, engelsk  kvartsvarvsmetrisk ) [K 2 ] .

Lokalt maximum i QTM-måttet

Om vi ​​konstruerar Cayley-grafen från gruppen av Rubiks kub med 12 generatorer som motsvarar rotationerna av pusslets ytor med 90°, så kommer den vertex på grafen som motsvarar "superflipen" att visa sig vara ett lokalt maximum : det är längre bort från det hörn som motsvarar den identiska transformationen än någon av de 12 angränsande hörnen [10] [2 ] . Detta faktum var ett av skälen till att betrakta "superflip" som en kandidat för en konfiguration som är längst bort från den ursprungliga [10] .

Låt vara vilken sekvens av ansiktsrotationer som helst med 90°, vars effekt är "superflip"-transformationen. Låt vara den sista ansiktsrotationen vid . På grund av sin symmetri kan en "superflip" omvandlas med rotationer och reflektioner till en sekvens av rotationer av ytor av samma längd, som slutar i någon av de 12 tillåtna rotationerna. Således kan vilken som helst av de 12 "grannarna" till "superflipen" erhållas genom att tillämpa sekvensen utan den sista rotationen, det vill säga den är placerad 1 rotation närmare den initiala konfigurationen [2] .

Optimal lösning

I FTM-måttet

1992 hittade Dick T. Winter [10] [7] [11] en lösning på "superflipen" i 20 ansiktsvändningar, som i Singmasters notation kan skrivas som [K 3] :

1995 bevisade Michael Reed optimaliteten av denna lösning i FTM-metriken [10] [7] [12] . Med andra ord, om ett drag räknar rotationen av någon av ytorna med 90° eller 180°, så består den kortaste lösningen på "superflipen" av 20 drag [13] . "Superflip" var den första konfigurationen med ett känt avstånd från det insamlade tillståndet, lika med 20 "drag" i FTM-måttet [14] [5] .

2010 visades det att alla lösbara pusselkonfigurationer kan lösas i högst 20 ansiktsrotationer [14] . Förslaget att en "superflip" kan vara en "antipod", dvs. att vara på maximalt möjliga avstånd från den initiala konfigurationen, angavs det långt innan etableringen av " Gudsnumret " för Rubiks kub [15] [16] .

I QTM-mått

1995 hittade Michael Reid [17] [7] en lösning på "superflipen" i 24 varv med 90°, vilket kan skrivas som [K 4]

Som Jerry Bryan visade 1995 finns det ingen kortare lösning i QTM-metriken [17] [7] . Med andra ord, om vi räknar rotationen av någon av ytorna med 90° i ett drag, så består den kortaste lösningen på "superflipen" av 24 drag.

"Superflippen" är inte "antipoden" i QTM-måttet: det finns konfigurationer som kräver mer än 24 90° varv för att lösa [18] . Emellertid är "antipoden" i QTM-måttet en annan relaterad konfiguration - den så kallade "fyrapunkts superflip" .

"Super Flip med fyra poäng"

Fyrpunktstransformationen påverkar mitten av  fyra av pusslets sex ytor, och byter ut var och en av dem med mitten av den motsatta sidan. "Fyra punkter" kan definieras som effekten av en sekvens av varv [19] [K 5]

Sedan erhålls en  " superflip [komponerad] med fyrpunkts [17]] genom att successivt tillämpa transformationerna "superflip" och "fyrpunkts" [19] .

1998 visade Michael Reid att avståndet mellan fyra-punkts superflip-konfigurationen och den initiala konfigurationen i QTM-metriken är exakt 26 [20] [21] [19] . "Fyrpunkts superflip" var den första konfigurationen med ett bevisat behov av att lösa 26 drag i QTM-måttet [21] .

2014 visades det att alla lösbara konfigurationer av Rubiks kub kan lösas i högst 26 90° rotationer av ytorna [21] .

Se även

Anteckningar

  1. ↑ Ordet "vända" används för att hänvisa till operationen att vända en kantkub på plats. Se till exempel Singmaster, 1981 , sid. 35, 72: "Thistlethwaite har visat att 12-flip (dvs. vändningen av alla 12 kanter) inte är i undergruppen som genereras av slice och antislice-rörelser."
  2. ↑ För mått, se även Rubiks kubmatematik#Metrics of a Configuration Graph .
  3. ↑ Lucas Garron. FB U2 R F2 R2 B2 U' DF U2 R' L' U B2 D R2 U B2 U . alg.cubing.net .
  4. ↑ Lucas Garron. R' UUB L' F U' BDFU D' LDD F' R B' D F' U' B' U D' . alg.cubing.net .
  5. ↑ Lucas Garron. FFBBU D' RRLLU D' . alg.cubing.net .

Källor

  1. ↑ 12 Joyner , 2008 , sid. 75.
  2. ↑ 1 2 3 David Singmaster. Cubic Circular, Issue 5 & 6, sid. 24 . Cubic Circular . Jaap Scherphuis. Jaaps pusselsida (1982).
  3. ↑ 12 Joyner , 2008 , sid. 99.
  4. ↑ V. Dubrovsky, A. Kalinin. Nyheter om kubologi  // Kvant . - 1992. - Nr 11 . Arkiverad från originalet den 9 november 2014.
  5. ↑ 1 2 Herbert Kociemba. Symmetriska mönster: Gruppen O h . "Det finns fyra kuber, som exakt har alla möjliga symmetrier av kuben, en av dem - Superflip - behöver 20 drag för att genereras. Historiskt sett var detta den första kuben som visade sig behöva 20 drag, och detta är fortfarande den bästa nedre gränsen för kubgruppens diameter." Arkiverad från originalet den 9 mars 2016.
  6. ↑ Jerry Bryan. Symm(x)=M (Helt symmetriska mönster) . Arkiverad från originalet den 13 april 2016.
  7. ↑ 1 2 3 4 5 Michael Reid. M-symmetriska positioner . Rubiks kubsida (24 maj 2005). Arkiverad från originalet den 6 juli 2015.
  8. ↑ Jaap Scherphuis. Användbar matematik (länk ej tillgänglig) . Jaaps pusselsida . Datum för åtkomst: 28 februari 2016. Arkiverad från originalet 24 november 2012. 
  9. ↑ Singmaster, 1981 , sid. 31.
  10. ↑ 1 2 3 4 Pochmann, 2008 , sid. 16.
  11. ↑ Dik T. Winter. Kociembas algoritm . Cube Lovers (mån 18 maj 92 00:49:48 +0200).
  12. ↑ Michael Reid. superflip kräver 20 ansiktsvändningar . Cube Lovers (ons 18 jan 95 10:13:45 -0500).
  13. ↑ Joyner, 2008 , sid. 149.
  14. ↑ 1 2 Tomas Rokicki, Herbert Kociemba, Morley Davidson, John Dethridge. Guds nummer är 20 .
  15. ↑ Joyner, 2008 , sid. 149: "Ett tag gissade man att superflip-positionen är den position som är så långt från 'start' (den lösta positionen) som möjligt."
  16. ↑ Singmaster, 1981 , sid. 52-53: “I figuren vi finns det en unik antipod till I, dvs en punkt på maximalt avstånd 3 från I. <...> Holroyd undrar om hela gruppen i kuben har en unik antipod. För att lösa detta kan kräva en fullständig beskrivning av Guds algoritm (s. 34). Han föreslår att antingen 12-flip (s. 28,31,35,48) eller 12-flip i kombination med det vanliga 5-X-mönstret för skiva-kvadratgruppen (s. 11,20,48) kan vara en antipod. ".
  17. ↑ 1 2 3 Joyner, 2008 , sid. 100.
  18. ↑ Joyner, 2008 , sid. 100, 149.
  19. ↑ 1 2 3 Michael Reid. superflip komponerad med fyra fläckar . Cube Lovers (sön den 2 augusti 1998 08:47:44 -0400). Arkiverad från originalet den 4 oktober 2015.
  20. ↑ Joyner, 2008 , s. 100-101.
  21. ↑ 1 2 3 Tomas Rokicki, Morley Davidson. Guds nummer är 26 i Quarter-Turn Metric .

Litteratur