Sfäriskt segment

Ett sfäriskt segment är en yta , en del av en sfär avskuren från den av ett visst plan . Planet skär av två segment: det mindre segmentet kallas också för den sfäriska cirkeln [1] . Om skärplanet passerar genom sfärens mitt, är höjden på båda segmenten lika med sfärens radie, och vart och ett av dessa sfäriska segment kallas en halvklot .

Ett sfäriskt segment är en geometrisk kropp , en del av en boll avskuren från den av ett visst plan. Ytan på ett sfäriskt segment är föreningen av ett sfäriskt segment och en cirkel (basen av det sfäriska segmentet), vars gränser sammanfaller.

Volym och ytarea

Om radien på segmentets bas är , höjden på segmentet är , då är volymen på det sfäriska segmentet [2] $a$ $h$

V={\frac {\pi h}{6}}(3a^{2}+h^{2}),

segmentets yta är

A=2\pi rh

eller

A=2\pi r^{2}(1-\cos \theta ).

Parametrar , och är relaterade av relationer $a$ $h$ $r$

r^{2}=(rh)^{2}+a^{2}=r^{2}+h^{2}-2rh+a^{2},

r={\frac {a^{2}+h^{2}}{2h}}.

Att ersätta det sista uttrycket i den första formeln för beräkning av arean leder till likheten

A=2\pi {\frac {(a^{2}+h^{2})}{2h}}h=\pi (a^{2}+h^{2}).

Observera att i den övre delen av sfären (det blå segmentet i figuren) i den nedre delen av sfären , därför är uttrycket giltigt för båda segmenten och ett annat uttryck för volymen kan ges: $h=r-{\sqrt {r^{2}-a^{2))},$ $h=r+{\sqrt {r^{2}-a^{2))},$ $a={\sqrt {h(2r-h)))$

V={\frac {\pi h^{2}}{3}}(3r-h).

Formeln för att bestämma volymen kan också erhållas genom att integrera rotationsytan:

V=\int _{x}^{r}\pi \left(r^{2}-x^{2}\right)dx=\pi \left({\frac {2}{3} }r^{3}-r^{2}x+{\frac {1}{3}}x^{3}\right)={\frac {\pi}{3}}r^{3}(\ cos \theta +2)(\cos \theta -1)^{2}.

Applikation

Volymen av föreningen och skärningspunkten mellan två skärande sfärer

Volymen av förening av två sfärer med radier r 1 och r 2 är [3]

{\displaystyle V=V^{(1)}-V^{(2)))

var

V^{(1)}={\frac {4\pi }{3}}r_{1}^{3}+{\frac {4\pi }{3}}r_{2}^{ 3}

är summan av volymerna för de två sfärerna separat, och

V^{(2)}={\frac {\pi h_{1}^{2}}{3}}(3r_{1}-h_{1})+{\frac {\pi h_{ 2}^{2}}{3}}(3r_{2}-h_{2})

är summan av volymerna av två sfäriska segment som bildar skärningspunkten mellan dessa sfärer. Låt d < r 1 + r 2 vara avståndet mellan sfärernas centra, då leder elimineringen av värdena h 1 och h 2 till uttrycket [4] [5]

V^{(2)}={\frac {\pi }{12d))(r_{1}+r_{2}-d)^{2}\left(d^{2}+2d( r_{1}+r_{2})-3(r_{1}-r_{2})^{2}\höger).

Ytarea avgränsad av cirklar med olika breddgrader

Ytan som begränsas av cirklar med olika breddgrader är skillnaden mellan ytareorna för de två motsvarande sfäriska segmenten. För en sfär med radien r och latituderna φ 1 och φ 2 är detta område [6]

A=2\pi r^{2}|\sin \varphi _{1}-\sin \varphi _{2}|.

Arean av en kvadratisk area av en sfärs yta

Ett segment skuret på en sfär med radien r av fyra bågar av storcirklar med samma vinkellängd θ och parvis vinkelrät (en sfärisk kvadrat analog med en kvadrat på ett plan) har area

A=8r^{2}(1-\cos \theta /2).

Om vinkeln θ är liten (jämfört med 1 radian ), är den ungefärliga likheten giltig, baserat på approximationen vid $\cos x\to 1-x^{2}/2$ $x\to 0:$

A\approx 8r^{2}{\frac {\theta ^{2}}{8}}=r^{2}\theta ^{2}.

Till exempel är arean av en kvadratisk yta av jordens yta ( R ⊕ = 6378 km) med sidor lika med 1 grad

A(1^{\circ })=8\cdot R_{\oplus }^{2}(1-\cos 0{,}5^{\circ })\approx R_{\oplus }^{ 2}\cdot \left({\frac {\pi }{180}}\right)^{2}\approx 12\,391\,{\text{km}}^{2}.

1 kvadratsekund av jordens yta har en area som är 3600 2 gånger mindre: A (1 ′′) ≈ 12 391 km 2 / (60 60) 2 ≈ 956 m 2 .

Generaliseringar

Sektioner av andra organ

Ett sfäroidsegment erhålls genom att skära av en del av sfäroiden på ett sådant sätt att den har cirkulär symmetri (har en rotationsaxel). Ett ellipsoidsegment definieras på liknande sätt.

Hypersphere Segment

Volymen av ett -dimensionellt segment av en hypersfär med höjd och radie i -dimensionellt euklidiskt utrymme bestäms av formeln [7] $n$ $h$ $r$ $n$

V={\frac {\pi ^{\frac {n-1}{2}}\,r^{n}}{\,\Gamma \left({\frac {n+1}{2 }}\right)}}\int \limits _{0}^{\arccos \left({\frac {rh}{r}}\right)}\sin ^{n}t\,\mathrm {d} t,

där ( gammafunktion ) ges av $\Gamma$ $\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }t^{z-1}\mathrm {e} ^{-t}\,\mathrm {d} t.$

Uttrycket för volymen kan skrivas om i termer av volymen av den enhetsdimensionella bollen och den hypergeometriska funktionen eller den reguljära ofullständiga betafunktionen som $V$ $n$ $C_{n}={\pi ^{n/2}/\Gamma \left[1+{\frac {n}{2}}\right]}$ ${}_{2}F_{1}$ $I_{x}(a,b)$

V=C_{n}\,r^{n}\left({\frac {1}{2}}\,-\,{\frac {rh}{r}}\,{\frac { \Gamma [1+{\frac {n}{2}}]}{{\sqrt {\pi }}\,\Gamma [{\frac {n+1}{2}}]}}{\,\ ,}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2)),{\tfrac {1-n}{2));{\tfrac {3}{2));\left ({\tfrac {rh}{r}}\right)^{2}\right)\right)={\frac {1}{2}}C_{n}\,r^{n}I_{(2rh -h^{2})/r^{2}}\left({\frac {n+1}{2}},{\frac {1}{2}}\right).

Formeln för ytarea kan skrivas i termer av ytarean på en enhetsdimensionell boll som $A$ $n$ $A_{n}={2\pi ^{n/2}/\Gamma \left[{\frac {n}{2}}\right]}$

A={\frac {1}{2}}A_{n}\,r^{n-1}I_{(2rh-h^{2})/r^{2}}\left({ \frac {n-1}{2)),{\frac {1}{2}}\right),

var $0\leq h\leq r.$

Följande formler är också giltiga [8] : där $A=A_{n}p_{n-2}(q),\quad V=V_{n}p_{n}(q),$ $q=1-h/r(0\leq q\leq 1),\quad p_{n}(q)={\frac {1-G_{n}(q)/G_{n}(1 )}{2}},$

G_{n}(q)=\int \limits _{0}^{q}(1-t^{2})^{(n-1)/2}dt.

På $n=2k+1:$

G_{n}(q)=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}{\binom {k}{i}}{\frac {q^{2i+ 1 }}{2i+1}}.

Det visades [9] att för och var är standardnormalfördelningen . $n\to \infty$ $q{\sqrt {n}}={\text{const }}$ $p_{n}(q)\to 1-F({q{\sqrt {n}}}),$ $F()$

Litteratur

A. I. Markushevich, A. Ya. Khinchin, P. S. Alexandrov. Grundläggande begrepp för sfärisk geometri // Encyclopedia of elementary mathematics. Bok 4 - Geometri . - Moskva: GIFML, 1963.

Anteckningar

↑ Encyclopedia of Elementary Mathematics, 1963 , sid. 519-520.
↑ Polyanin AD, Manzhirov AV Handbok i matematik för ingenjörer och vetenskapsmän (engelska) . - Chapman & Hall/CRC, 2007. - P. 69. - ISBN 9781584885023 . Arkiverad 2 februari 2017 på Wayback Machine
↑ Connolly ML Beräkning av molekylvolym // J. Am. Chem. soc. - 1985. - Vol. 107 . - P. 1118-1124 . - doi : 10.1021/ja00291a006 .
↑ Pavani R., Ranghino G. En metod för att beräkna volymen av en molekyl // Comput . Chem. - 1982. - Vol. 6 . - S. 133-135 . - doi : 10.1016/0097-8485(82)80006-5 .
↑ Bondi A. Van der Waals volymer och radier // J. Phys . Chem.. - 1964. - Vol. 68 . - s. 441-451 . - doi : 10.1021/j100785a001 .
↑ Donaldson SE, Siegel SG Framgångsrik mjukvaruutveckling . - 2nd ed .. - Upper Saddle River: Prentice Hall, Inc., 2001. - P. 354. - ISBN 0-13-086826-4 .
↑ Li S. Kortfattade formler för arean och volymen av ett hypersfäriskt lock // Asian J. Math. statistik. - 2011. - Vol. 4 , nr. 1 . - S. 66-70 . - doi : 10.3923/ajms.2011.66.70 .
↑ Chudnov A. M. Om minimaxalgoritmer för att generera och ta emot signaler // Probl. överföring av information - 1986. - T. 22 . - S. 49-54 . (ryska)
↑ Chudnov A. M. Spelteoretiska problem med syntes av algoritmer för att generera och ta emot signaler // Probl. överföring av information - 1991. - T. 27 . - S. 57-65 . (ryska)