Gedigen vinkel

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 7 december 2019; kontroller kräver 2 redigeringar .

En rymdvinkel är en del av rymden som är föreningen av alla strålar som kommer ut från en given punkt ( vinkelns spets) och skär någon yta (som kallas den yta som täcker den givna rymdvinkeln). Särskilda fall av rymdvinkeln är trihedriska och polyedriska vinklar . Gränsen för rymdvinkeln är någon konisk yta . Rymdvinkeln betecknas vanligtvis med bokstaven Ω .

Den rymda vinkeln mäts av förhållandet mellan arean av den del av sfären som är centrerad vid vinkelns spets, som skärs av denna rymdvinkel, och kvadraten på sfärens radie :

\Omega \,=\,{S \över R^{2}}.

Hela vinklar mäts med abstrakta (dimensionslösa) storheter. Rymdvinkelns SI- enhet är steradianen , vilket är lika med rymdvinkeln som skär en yta med arean r 2 från en sfär med radien r . En komplett sfär bildar en hel vinkel som är lika med 4π steradianer ( full hel vinkel ) för en vertex belägen inuti sfären, specifikt för sfärens mitt; detsamma är den rymda vinkeln under vilken varje sluten yta är synlig från en punkt som är helt omsluten av denna yta, men som inte hör till den. Förutom steradianer kan rymdvinkeln mätas i kvadratgrader, kvadratminuter och kvadratsekunder, såväl som i bråkdelar av en hel rymdvinkel.

Den rymda vinkeln har noll fysisk dimension .

Den dubbla rymdvinkeln till en given rymdvinkel Ω definieras som en vinkel som består av strålar som bildar en icke spetsig vinkel med vilken vinkelstråle som helst Ω .

Koefficienter för omvandling av solida vinkelenheter.

$\Omega$	Steradian	kvm grad	kvm minut	kvm andra	full vinkel
1 steradian =	ett	(180/π)² ≈ ≈ 3282.806 kvm. grader	(180×60/π)² ≈ ≈ 1,1818103⋅10 7 kvm. minuter	(180×60×60/π)² ≈ ≈ 4,254517⋅10 10 kvm. sekunder	1/4π ≈ ≈ 0,07957747 full vinkel
1 kvm grad =	(π/180)² ≈ ≈ 3,0461742⋅10 −4 steradianer	ett	60² = = 3600 kvm. minuter	(60×60)² = = 12 960 000 kvm sekunder	π/(2×180)² ≈ ≈ 2,424068⋅10 −5 full vinkel
1 kvm minut =	(π/(180×60))² ≈ ≈ 8,461595⋅10 −8 steradianer	1/60² ≈ ≈ 2,7777778⋅10 −4 kvm. grader	ett	60² = = 3600 kvm. sekunder	π/(2×180×60)² ≈ ≈ 6,73352335⋅10 −9 full vinkel
1 kvm andra =	(π/(180×60×60))² ≈ ≈ 2,35044305⋅10 −11 steradianer	1/(60×60)² ≈ ≈ 7,71604938⋅10 −8 kvm. grader	1/60² ≈ ≈ 2,7777778⋅10 −4 kvm. minuter	ett	π/(2×180×60×60)² ≈ ≈ 1,87042315⋅10 −12 full vinkel
full vinkel =	4π ≈ ≈ 12,5663706 steradianer	(2×180)²/π ≈ ≈ 41252,96125 kvm. grader	(2×180×60)²/π ≈ ≈ 1,48511066⋅10 8 kvm. minuter	(2×180×60×60)²/π ≈ ≈ 5,34638378⋅10 11 kvm. sekunder	ett

Beräkning av rymdvinklar

För en godtyckligt sammandragande yta S är rymdvinkeln Ω under vilken den är synlig från origo lika med

\Omega =\int \limits _{S}d\Omega =\iint \limits _{S}\sin \vartheta \,d\varphi \,d\vartheta =\int \limits _{S}{\frac { ({\mathbf {r}}/r)\cdot {\mathbf {n}}dS}{r^{2}}},

var är de sfäriska koordinaterna för ytelementet, är dess radievektor , är enhetsvektorn normal till $r,\vartheta ,\varphi$ $ds,$ $\mathbf {r}$ $\mathbf {n}$ $dS.$

Egenskaper för rymdvinklar

Hela rymdvinkeln (full sfär) är 4 π steradianer.
Summan av alla rymdvinklar som är dubbla mot de inre rymdvinklarna i en konvex polyeder är lika med hela vinkeln.

Värden för vissa heldragna vinklar

En triangel med vertexkoordinater , , är synlig från utgångspunkten i en hel vinkel ${\mathbf {r}}_{1}$ ${\mathbf {r}}_{2}$ ${\mathbf {r}}_{3}$

\Omega =2\,{\mathrm {arctg}}\,{\frac {({\mathbf {r}}_{1}{\mathbf {r}}_{2}{\mathbf {r}}_ {3})}{r_{1}r_{2}r_{3}+({\mathbf {r}}_{1}\cdot {\mathbf {r}}_{2})r_{3}+ ({\mathbf {r}}_{2}\cdot {\mathbf {r}}_{3})r_{1}+({\mathbf {r}}_{3}\cdot {\mathbf {r }} }}_{1})r_{2}}},

där är den blandade produkten av dessa vektorer, är skalärprodukterna av motsvarande vektorer, fet stil anger vektorer och normal typ anger deras längder. Med hjälp av den här formeln kan man beräkna de rymliga vinklarna som täcks av godtyckliga polygoner med kända koordinater för hörnen (för att göra detta räcker det att dela polygonen i icke-korsande trianglar).

({\mathbf {r}}_{1}{\mathbf {r}}_{2}{\mathbf {r}}_{3})

({\mathbf {r}}_{i}\cdot {\mathbf {r}}_{j})

Den rymda vinkeln vid spetsen av en rät cirkulär kon med öppningsvinkel α är Om basens radie och konens höjd är känd, då När konens öppningsvinkel är liten, (vinkeln uttrycks i radianer) , eller (vinkeln uttrycks i grader). Så den solida vinkeln vid vilken månen och solen är synliga från jorden (deras vinkeldiameter är ungefär lika med 0,5 °) är cirka 6⋅10 −5 steradianer , eller ≈0,0005% av himlaklotets yta (det vill säga den totala rymdvinkeln). $\Omega =2\pi \left(1-\cos {\frac {\alpha }{2}}\right).$ $R$ $H$ $\Omega =2\pi \left(1-{\frac {H}{\sqrt {R^{2}+H^{2))))\höger).$ $\Omega \approx {\frac {\pi \alpha ^{2}}{4}}$ $\alfa$ ${\displaystyle \Omega \approx 0{,}000239\alpha ^{2))$ $\alfa$

Rymdvinkeln för en dihedrisk vinkel i steradianer är lika med två gånger värdet av den dihedriska vinkeln i radianer.

Hela vinkeln för en trihedrisk vinkel uttrycks av Lhuilliers sats i termer av dess platta vinklar vid spetsen, som: $\theta _{a},\theta _{b},\theta _{c}$

\Omega =4\,\operatörsnamn {arctg}{\sqrt {\operatörsnamn {tg}\left({\frac {\theta _{s}}{2}}\right)\operatörsnamn {tg}\left({ \frac {\theta _{s}-\theta _{a}}{2}}\right)\operatörsnamn {tg}\left({\frac {\theta _{s}-\theta _{b}} {2}}\right)\operatörsnamn {tg}\left({\frac {\theta _{s}-\theta _{c}}{2}}\right))),

var är semiperimetern.

\theta _{s}={\frac {\theta _{a}+\theta _{b}+\theta _{c}}{2}}

När det gäller dihedriska vinklar uttrycks en hel vinkel som:

\alfa ,\beta ,\gamma

\Omega =\alpha +\beta +\gamma -\pi .

Rymdvinkeln vid spetsen av en kub (eller någon annan kuboid ) är lika med hela rymdvinkeln, eller steradian. ${\frac {1}{8))$ ${\frac {\pi }{2))$

Rymdvinkeln vid vilken ytan av en vanlig N -hedron är synlig från dess centrum är lika med hela rymdvinkeln, eller steradian. ${\frac {1}{N}}$ ${\frac {4\pi }{N}}$

Den rymdvinkel vid vilken en cirkel med radien R ses från en godtycklig punkt i rymden (det vill säga den rymda vinkeln vid spetsen av en godtycklig cirkulär kon, inte nödvändigtvis en rak) beräknas med hjälp av fullständiga elliptiska integraler av 1:a och 3: e sorten [1] :

\Omega =2\pi +{\frac {2H}{L}}\left({\frac {rR}{r+R}}\,\Pi (\alpha ^{2},k)- K(k)\höger)

på

r\leq R,

\Omega ={\frac {2H}{L}}\left({\frac {rR}{r+R}}\,\Pi (\alpha ^{2},k)-K(k) \höger)

på

r>R,

där och är de fullständiga normala elliptiska Legendre-integralerna av 1:a respektive 3: e slaget;

K(k)

\Pi (\alpha ^{2},k)

r

är avståndet från mitten av konens bas till projiceringen av toppen av konen på basens plan;

H

är konens höjd;

{\displaystyle L={\sqrt {H^{2}+(r+R)^{2))))

är längden av konens maximala generatris;

k={\frac {\sqrt {4rR}}{L));

\alpha ={\frac {\sqrt {4rR}}{r+R}}.

Litteratur

Hopf H. Selected Chapters of Geometry // ETH Zürich föreläsning, pp. 1-2, 1940.
Van Oosterom A., Strackee J. The Solid Angle of a Plane Triangle // IEEE Transactions on Biomedical Engineering. - 1983. - Vol. 30. - S. 125-126. — ISSN 0018-9294 . - doi : 10.1109/TBME.1983.325207 . — PMID 6832789 .
Weisstein EW Solid Angle . Från MathWorld - En Wolfram webbresurs.
Gardner RP, Verghese K. På den rymda vinkeln som täcks av en cirkulär skiva // Nuclear Instruments and Methods. - 1971. - Vol. 93. - S. 163-167. - doi : 10.1016/0029-554X(71)90155-8 . - .

Se även

Anteckningar

↑ Paxton F. Fast vinkelberäkning för en cirkulär skiva // Granskning av vetenskapliga instrument. - 1959. - April ( vol. 30 , nr 4 ). - S. 254-258 . - doi : 10.1063/1.1716590 . - . Arkiverad från originalet den 7 augusti 2017.