Surjektion

Surjektion eller surjektiv mappning (från franska sur "på, över" + latin jacio "jag kastar") är en mappning av en uppsättning på en uppsättning , där varje element i uppsättningen är bilden av minst ett element i uppsättningen , det vill säga; med andra ord en funktion som tar alla möjliga värden. Det sägs ibland att en surjektiv karta mappar till ( en injektiv karta mappar till i allmänhet ). $X$ $Y$ $(f\kolon X\till Y)$ $Y$ $X$ $\forall y\in Y\;\exists x\in X:y=f(x)$ $f\kolon X\till Y$ $X$ $Y$ $X$ $Y$

Mappningen är surjektiv om och endast om bilden av mängden under mappningen sammanfaller med : . Dessutom är surjektiviteten för en funktion ekvivalent med förekomsten av en rätt invers mappning till . $f\kolon X\till Y$ $X$ $f$ $Y$ $f(X)=Y$ $f$ $f$

Strängt taget är begreppet surjection knutet till mängden : det är korrekt att istället för den vanligtvis tillåtna yttrandefriheten säga "surjection" den exakta "surjection on ". Faktum är att det är tydligt att varje mappning är en översikt av dess bild : om , då är en avbildning på , eftersom den också är formell enligt definitionen av en mappning. $f\kolon X\till Y$ $Y$ $Y$ $Z=\{y:f(x)=y\}$ $f\kolon X\till Y$ $Z$ $f\colon X\to Z$

Begreppet surjection (tillsammans med injektion och bijektion ) introducerades i bruk i Bourbakis verk och blev utbredd i nästan alla grenar av matematiken.

Exempel

$f\colon \mathbb {R} \to [-1;\;1],\;f(x)=\sin x$ - surjektivt.
${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} _{+},\;f(x)=x^{2))$ - surjektivt.
${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\;f(x)=x^{2))$ — är inte surjektiv (till exempel finns det inget sådant ) . $x\in \mathbb {R}$ $f(x)=-9$

Applikation

Inom topologi definieras ett viktigt begrepp om en bunt som en godtycklig kontinuerlig surjektiv kartläggning av topologiska utrymmen (ett buntat utrymme till en buntbas).
Organiseringen av många-till-en-relationer mellan tabeller i relationsdatamodellenheter kan betraktas som en surjektiv funktion .

Generaliseringar

I kategoriteorin är begreppet surjection generaliserat i begreppet epimorfism , dessutom sammanfaller dessa begrepp i vissa kategorier.

Litteratur

N.K. Vereshchagin, A. Shen. Början av mängdlära // Föreläsningar om matematisk logik och teori om algoritmer . (inte tillgänglig länk)
Ershov Yu. L., Palyutin E. A. Matematisk logik: Lärobok. - 3:a, stereotyp. ed. - St Petersburg. : Lan, 2004. - 336 sid.