Varignons teorem (geometri)

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 15 december 2021; kontroller kräver 5 redigeringar .

Varignons teorem är ett geometriskt faktum som bevisats av Pierre Varignon och som säger att mittpunkterna på sidorna av en godtycklig fyrhörning är hörnen på ett parallellogram:

En fyrhörning vars hörn sammanfaller med mittpunkterna på sidorna av en godtycklig fyrhörning är ett parallellogram vars sidor är parallella med diagonalerna på den ursprungliga fyrhörningen.

Det parallellogram som bildas av sidornas mittpunkter kallas ibland en varinon eller varinon .

Konsekvenser

Mitten av Varignon-parallellogrammet ligger i mitten av segmentet som förbinder mittpunkterna på sidorna av den ursprungliga fyrhörningen (i samma punkt skär segmenten som förbinder mittpunkterna på motsatta sidor - diagonalerna i Varignon-parallellogrammet).
Omkretsen av Varignon-parallellogrammet är lika med summan av diagonalerna för den ursprungliga fyrhörningen.
Arean av Varignon-parallellogrammet är lika med halva arean av den ursprungliga fyrhörningen.
För en rektangel och en likbent trapetsoid är Varignon-parallellogrammet en rhombus och för en rhombus en rektangel .
Ett Varignon-parallellogram är en romb om och endast om i den ursprungliga fyrhörningen 1) diagonalerna är lika 2) bimedianerna är vinkelräta.
Ett Varignon-parallellogram är en rektangel om och endast om i den ursprungliga fyrhörningen: 1) diagonalerna är vinkelräta; 2) bimedianerna är lika.
Ett Varignon-parallellogram är en kvadrat om och endast om i den ursprungliga fyrhörningen 1) diagonalerna är lika och vinkelräta; 2) bimedianer är lika och vinkelräta.

Bevis

Bevis på att arean av ett parallellogram är halva arean av den ursprungliga fyrhörningen

Låt diagonalen passera inuti fyrhörningen. Då är arean av triangeln , där är höjden på triangeln ritad från vertexet . På liknande sätt är arean av en triangel . Då är arean för hela fyrhörningen . Men - detta är summan av avstånden till linjen från punkterna och , det vill säga exakt höjden på parallellogrammet . Och eftersom parallellogrammets sida är hälften så lång , är parallellogrammets yta lika med halva arean , QED $AC$ $ABC$ ${\frac {AC\cdot h_{b}}2}$ $h_{b}$ $ABC$ $B$ $ADC$ ${\frac {AC\cdot h_{d}}2}$ ${\frac {AC(h_{b}+h_{d})}2}$ ${\frac {(h_{b}+h_{d})}2}={\frac {h_{b))2}+{\frac {h_{d))2}$ $AC$ $E$ $H$ $EHGF$ $GH$ $AC$ $ABCD$

konvex fyrhörning	icke-konvex fyrhörning	självkorsande fyrhörning

Varignons teorem (geometri)

Konsekvenser

Bevis

Bevis på att arean av ett parallellogram är halva arean av den ursprungliga fyrhörningen

Se även

Anteckningar