Vinogradovs teorem

I talteorin är Vinogradovs teorem ett resultat av vilket det följer att ett tillräckligt stort udda heltal kan skrivas som summan av tre primtal . Detta är en svagare form av den svaga Goldbach-förmodan , vilket innebär att det finns en sådan representation för alla udda heltal större än fem.

Teoremet är uppkallat efter Ivan Matveevich Vinogradov , som bevisade det på 1930-talet. Hardy och Littlewood hade tidigare visat att detta resultat följer av den generaliserade Riemann-hypotesen , och Vinogradov kunde eliminera detta antagande. Den fullständiga presentationen av Vinogradovs teorem ger asymptotiska uppskattningar av antalet representationer av ett udda heltal som summan av tre primtal. Begreppet "tillräckligt stor" var dåligt definierat i Vinogradovs originalverk, men 2002 visade sig 10 1346 vara tillräckligt stora. Dessutom har siffrorna tidigare testats med brute force-metoder, så det finns bara ett begränsat antal fall att testa innan den udda Goldbach-förmodan bevisas eller motbevisas. $10^{20}$

Uttalande av Vinogradovs teorem

Låt A vara ett positivt reellt tal. Sedan

r(N)={1 \over 2}G(N)N^{2}+O\left(N^{2}\log ^{-A}N\right),

var

r(N)=\summa _{k_{1}+k_{2}+k_{3}=N}\Lambda (k_{1})\Lambda (k_{2})\Lambda (k_{ 3}),

med Mangoldt-funktionen och $\lambda$

G(N)=\left(\prod _{p\mid N}\left(1-{1 \over {\left(p-1\right)}^{2}}\right)\right )\left(\prod _{p\nmid N}\left(1+{1 \över {\left(p-1\right)}^{3}}\right)\right).

Konsekvens

Om N är udda så är G ( N ) ungefär lika med 1, alltså för alla tillräckligt stora N. Genom att visa att bidraget till r ( N ) av motsvarande huvudkrafter är , kan man se att $N^{2}\ll r(N)$ $O\left(N^{3 \over 2}\log ^{2}N\right)$

N^{2}\log ^{-3}N\ll

(antalet sätt N kan skrivas som summan av tre primtal)

Detta innebär i synnerhet att vilket tillräckligt stort udda heltal som helst kan skrivas som summan av tre primtal, vilket visar den svaga Goldbach-förmodan för alla utom ett ändligt tal. 2013 bevisade Harald Helfgott den svaga Goldbach-förmodan för alla fall.

Bevisstrategi

Beviset för satsen följer Hardy-Littlewood cirkelmetoden . Bestäm exponentiell summa

S(\alpha )=\sum _{n=1}^{N}\Lambda (n)e(\alpha n)

Då har vi

S(\alpha )^{3}=\summa _{n_{1},n_{2},n_{3}\leq N}\Lambda (n_{1})\Lambda (n_{2} )\Lambda (n_{3})e(\alpha (n_{1}+n_{2}+n_{3}))=\summa _{n\leq 3N}{\tilde {r}}(n) e(\alpha n)

där anger antalet representationer som är begränsade till primtalsstyrkor . Följaktligen ${\tilde {r))$ $\leq N$

r(N)=\int _{0}^{1}S(\alpha )^{3}e(-\alpha N)\;d\alpha

Om det är ett rationellt tal kan det ges genom fördelningen av primtal i restklasser modulo . Därför kan vi, med hjälp av Siegel-Walfis-satsen, beräkna bidraget från ovanstående integral i små grannskap med rationella punkter med en liten nämnare. Uppsättningen av reella tal nära sådana rationella punkter brukar kallas huvudbågarna, komplementet bildar de mindre bågarna. Det visar sig att dessa intervall dominerar integralen, och för att bevisa satsen är det därför nödvändigt att ge en övre gräns för för innesluten i små bågar. Denna uppskattning är den svåraste delen av beviset. $\alfa$ ${\frac {p}{q))$ $S(\alpha )$ $q$ $S(\alpha )$ $\alfa$

Om vi accepterar den generaliserade Riemann-hypotesen, kan argumentet som används för större bågar utvidgas till mindre bågar. Detta gjordes av Hardy och Littlewood 1923. 1937 gav Vinogradov en ovillkorlig övre gräns för . Hans argument började med en enkel definition av en såll, sedan ordnades de resulterande termerna om på komplexa sätt för att få någon form av annullering. 1977 hittade R.C. Vaughan ett mycket enklare argument baserat på vad som senare skulle bli känt som Vaughans identitet. Han bevisade att om , då $|S(\alpha )|$ $|\alpha -{\frac {a}{q}}|<{\frac {1}{q^{2}}}$

|S(\alpha )|\ll \left({\frac {N}{\sqrt {q}}}+N^{4/5}+{\sqrt {Nq}}\right)\log ^{4}N

Med hjälp av Siegel-Walfis sats kan vi hantera godtyckliga potenser av , med hjälp av Dirichlets approximationssats, som vi får på små bågar. Därför kan integralen över små bågar avgränsas från ovan $q$ $\log N$ $|S(\alpha )|\ll {\frac {N}{\log ^{A}N))$

{\frac {CN}{\log ^{A}N}}\int _{0}^{1}|S(\alpha )|^{2}\;d\alpha \ll {\frac {N^{2}}{\log ^{A-1}N}}

vilket ger termen fel i satsen.

Anteckningar

Vinogradov, Ivan Matveevich. Metoden för trigonometriska summor i talteorin. — London och New York: Interscience, 1954.
Nathanson, Melvyn B. Additiv talteori. De klassiska baserna. - New York: Springer-Verlag, 1996. - Vol. 164. - ISBN 0-387-94656-X . - doi : 10.1007/978-1-4757-3845-2 . kapitel 8.