Descartes sats (geometri)

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 14 augusti 2022; kontroller kräver 2 redigeringar .

Descartes sats säger att för alla fyra ömsesidigt tangentiella cirklar uppfyller cirklarnas radier någon andragradsekvation . Genom att lösa denna ekvation kan du konstruera en fjärde cirkel som tangerar de andra tre givna cirklarna. Satsen är uppkallad efter René Descartes , som formulerade den 1643.

Historik [1]

Geometriska problem på tangentcirklar har diskuterats i tusentals år. I det antika Grekland på 300-talet f.Kr. ägnade Apollonius av Perga en hel bok åt detta ämne. Tyvärr överlevde inte boken, som hette On Touch , efter att ha dött i branden i biblioteket i Alexandria .

René Descartes diskuterade problemet kort 1643 i ett brev till prinsessan Elisabeth av Böhmen . Han kom fram till exakt samma lösning som anges nedan i ekvation (1), och skrev därför in sitt namn i satsen.

Frederick Soddy återupptäckte ekvationen 1936. Tangentcirklarna i detta problem kallas ibland för Soddy's Circles , möjligen för att Soddy valde att publicera sin version av satsen som en dikt med titeln The Kiss Precise , som publicerades i Nature (20 juni 1936). Soddy generaliserade satsen till sfärer. Thorold Gosset generaliserade satsen till godtyckliga dimensioner [2] .

Äldre historia

Syn på Igor Sharygin [3] : Under större delen av Edo-perioden (1603-1867) var Japan nästan helt isolerat från västvärlden och utvecklades på sina egna sätt, utan inflytande från västerländska civilisationer. Detta hindrade dock inte utvecklingen av japansk vetenskap, i synnerhet matematik. Geometrin blomstrade särskilt. Japanerna trodde att konsten att geometri var behaglig för Gud. Representanter för alla klasser var förtjusta i henne, från bönder till samurajer. De avbildade sina upptäckter och teorem med färgglada färger på brädor - sangaku - och hängde dem vid tempel - mestadels shinto, mer sällan buddhistiska - och gravar. Dessa tavlor var både ett erbjudande till en vördad gudom och en "publikation" av författaren om hans vackra upptäckt. Verbala förklaringar var nästan obefintliga. Författaren verkade säga: "Titta och, om du kan, bevisa det!"... De vackra problemen och satserna som samlats i boken "Japanese Temple Geometry" är ett slags "cirkelkalkyl", "cirkelhymn". Bland dem hittar vi inte bara Soddy-formeln, utan också dess generalisering till det tredimensionella fallet. Det första omnämnandet av förhållandet mellan cirklarnas radier dök upp på en tavla (sangaku) 1796 i Tokyo Prefecture, det fullständiga beviset publicerades 1830. Intressant nog beskrevs ett exempel som visar förhållandet mellan radierna för fem sammanhängande sfärer på en tavla som hittats på samma plats, och som senare förlorades, så tidigt som 1785. I mitten av 1800-talet publicerades ett fullständigt bevis på den "generaliserade formeln för fem sammanhängande bollar" i Japan ...

Definition av krökning

Descartes sats är enklast uttryckt i termer av cirklars krökning . En cirkels krökning definieras som , där r är dess radie. Ju större cirkeln är, desto mindre krökning och vice versa. $k=\pm \ 1/r$

Plustecknet i k = ±1/ r placeras om cirkeln har yttre tangens till en annan cirkel, som de tre svarta cirklarna i figuren. För att röra cirklar internt , som en stor röd cirkel i figuren, som beskriver resten av cirklarna, sätts ett minustecken.

Om vi antar att en rät linje är en degenererad cirkel med noll krökning (och därför med en oändlig radie) gäller Descartes sats även för en rät linje och två cirklar som parvis berör varandra. I det här fallet ger satsen radien för den tredje cirkeln som rör de andra två och linjen.

Om fyra cirklar berör varandra i sex olika punkter och cirklarna har krökningar k i (för i = 1, …, 4), säger Descartes sats [4] :

(k_{1}+k_{2}+k_{3}+k_{4})^{2}=2\,(k_{1}^{2}+k_{2}^{2}+k_{ 3}^{2}+k_{4}^{2}).

(ett)

Om du försöker hitta radien för den fjärde cirkeln som tangerar tre cirklar som berör varandra, skrivs ekvationen bättre som:

k_{4}=k_{1}+k_{2}+k_{3}\pm 2{\sqrt {k_{1}k_{2}+k_{2}k_{3}+k_{3}k_{ ett}}}.

(2)

Tecknet ± återspeglar det faktum att det i det allmänna fallet finns två lösningar. Om vi utesluter det degenererade fallet med en rät linje är en lösning positiv, medan den andra kan vara antingen positiv eller negativ. Om lösningen är negativ representerar den en cirkel som beskriver de tre första (som visas i figuren).

Särskilda tillfällen

Om en av cirklarna ersätts med en rät linje, kommer ett av talen k i , säg k 3 , att vara noll och faller ur ekvation (1). Ekvation (2) blir mycket enklare:

k_{4}=k_{1}+k_{2}\pm 2{\sqrt {k_{1}k_{2}}}.

(3)

Om två cirklar ersätts av räta linjer, ersätts tangensen mellan de två cirklarna av parallelliteten mellan två räta linjer. De andra två återstående cirklarna måste vara lika. I detta fall, med k 2 = k 3 = 0, blir ekvation (2) trivial

\displaystyle k_{4}=k_{1}.

Det är omöjligt att ersätta de tre cirklarna med linjer, eftersom en cirkel och tre linjer inte kan röra varandra i par. Descartes sats gäller inte heller det fall då alla fyra cirklarna vidrör varandra vid en punkt.

Ett annat specialfall är när k i är kvadrater,

(v^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}=2\,(v^{4}+x^{4}+y^{4} }+z^{4})

Euler visade att det motsvarar en trippel av Pythagoras trippel ,

(2vx)^{2}+(2yz)^{2}=\,(v^{2}+x^{2}-y^{2}-z^{2})^{2}

(2vy)^{2}+(2xz)^{2}=\,(v^{2}-x^{2}+y^{2}-z^{2})^{2}

(2vz)^{2}+(2xy)^{2}=\,(v^{2}-x^{2}-y^{2}+z^{2})^{2}

och en parametrisk representation kan ges . Om vi väljer det negativa tecknet på krökning,

(-v^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}=2\,(v^{4}+x^{4}+y^{ 4}+z^{4})

ekvationen kan representeras som en välkänd parametrisk lösning [5] ,

[v,x,y,z]=\,[2(ab-cd)(ab+cd),(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}) (a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2}),2(ac-bd)(a^{2}+c^{2}),2(ac- bd)(b^{2}+d^{2})]

var

a^{4}+b^{4}=\,c^{4}+d^{4}

Descartes komplexa teorem

För att helt definiera en cirkel behöver du inte bara känna till dess radie (eller krökning), utan du måste också känna till dess centrum. Motsvarande ekvation skrivs bäst när koordinaterna ( x , y ) representeras som ett komplext tal z = x + i y . Ekvationen ser då ut som ekvationen i Descartes sats och kallas därför Descartes komplexa sats .

Om fyra cirklar ges med krökningar k i och centra z i ( i = 1…4), förutom likhet (1), gäller följande likhet:

(k_{1}z_{1}+k_{2}z_{2}+k_{3}z_{3}+k_{4}z_{4})^{2}=2\,(k_{1} ^{2}z_{1}^{2}+k_{2}^{2}z_{2}^{2}+k_{3}^{2}z_{3}^{2}+k_{4 }^{2}z_{4}^{2}).

(fyra)

Efter att k 4 har hittats med hjälp av ekvation (2), kan du börja beräkna z 4 genom att ändra ekvation (4) till en form som liknar (2):

z_{4}={\frac {z_{1}k_{1}+z_{2}k_{2}+z_{3}k_{3}\pm 2{\sqrt {k_{1}k_{2} z_{1}z_{2}+k_{2}k_{3}z_{2}z_{3}+k_{1}k_{3}z_{1}z_{3}}}}{k_{4} }}.

Återigen, i allmänhet finns det två lösningar för z 4 motsvarande två lösningar för k 4 .

Generaliseringar

Generaliseringen för n-dimensionell rymd kallas ibland för Soddy-Gosse-satsen , även om detta redan gjordes 1886 av R. Lachlan. I det n - dimensionella euklidiska rymden är det maximala antalet ömsesidigt tangentiella ( n - 1)-dimensionella sfärer n + 2. Till exempel, i 3-dimensionellt rymden, kan fem sfärer beröra varandra. Hypersfärernas krökningar uppfyller ekvationen

\left(\summa _{{i=1}}^{{n+2}}k_{i}\right)^{2}=n\,\summa _{{i=1}}^{{n +2}}k_{i}^{2}

och fallet k i = 0 motsvarar ett hyperplan, precis som i det tvådimensionella fallet.

Även om det inte finns några 3-dimensionella analoger till komplexa tal, kan förhållandet mellan centras lägen representeras i form av matrisekvationer [ 6] .

Se även

Ford cirkel
Apollonius rutnät
Six Spheres of Soddy
Tangentlinjer till en cirkel
Isoperimetrisk punkt

Anteckningar

↑ Barabanov O. O., Barabanova L. P. History of Descartes' circle theorem // History of science and technology , nr 5, 2011. - S. 2-15
↑ Lagarias JC, Mallows CL, Wilks AR Beyond the Descartes Circle Theorem. arXiv matte M.G. jan 2001// arXiv:math/0101066v1 [math.MG] 9 jan 2001// arxiv.org›pdf/math/0101066.pdf
↑ Vasilenko A. A. SERENAD TO MATHEMATICS (otillgänglig länk) / MATHEMATICS. ALLT FÖR LÄRAREN! Nr 9 (21)|September 2012 °C. 45-46.
↑ Formel (1) kallas ibland Soddys teorem . Han tillägnade henne en kort dikt.
↑ En samling algebraiska identiteter: Summor av tre eller fler 4:e potenser . Hämtad 16 mars 2015. Arkiverad från originalet 17 april 2018. (obestämd)
↑ Jeffrey C. Lagarias, Colin L. Mallows, Allan R. Wilks. Beyond the Descartes Circle Theorem // The American Mathematical Monthly. - April 2002. - T. 109 , nr. 4 . — S. 338–361 . — .

Länkar

Interaktiv applet som visar fyra ömsesidigt tangentiella cirklar vid klippning
The Kiss Precise
XScreenSaver: Skärmdumpar :: Ett XScreenSaver-skärmhack visualiserar Descartes teorem, i hacket "Apollonian".
Jeffrey C. Lagarias, Colin L. Mallows, Allan R. Wilks: Beyond The Descartes Circle Theorem
Sharygin I. F., Shtorgin M. I. Vem upptäckte Soddy-formeln? Matematik i skolan nr 02-03. 1992. S.31-33