Lagranges teorem (gruppteori)
Lagranges sats i gruppteorin säger:
|
Låt gruppen G vara ändlig och H vara dess undergrupp . Då är ordningen för G lika med ordningen H gånger antalet av dess vänstra eller högra coset ( undergruppsindex ). |
Konsekvenser
- Antalet höger och vänster coset för varje undergrupp i är detsamma och kallas index för undergruppen i (betecknas ).
- Ordningen för varje undergrupp av en ändlig grupp delar ordningen .
- Eftersom ordningen för ett gruppelement är lika med ordningen för den cykliska undergruppen som bildas av detta element, följer det att ordningen för alla element i en ändlig grupp delar ordningen på . Denna följd generaliserar Eulers sats och Fermats lilla sats i talteorin .
- Ordningsgruppen , där är ett primtal , är cyklisk. (Eftersom ordningen för ett annat element än ett inte kan vara lika med 1, har alla element utom ett ordning , vilket betyder att vart och ett av dem genererar en grupp.)
![[G:H]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/28c19ed6f18e6db133b5a0257ecde8026808fd1c)
Historik
Ett viktigt specialfall av detta teorem bevisades av Lagrange 1771 i samband med undersökningar av lösbarheten av algebraiska ekvationer i radikaler . Det var långt före definitionen av gruppen som Lagrange undersökte permutationsgruppen . Den moderna formuleringen inkluderar den ursprungliga formuleringen av Lagranges teorem som ett exempel.