Reebs sfärsats

Reebs sfärsats : Låt en foliation med singulariteter existera på en sluten orienterbar ansluten grenrör , vars alla singulära punkter är isolerade och är centra. Då är det homeomorft till sfären och foliationen har exakt två singulära punkter. $M^{n}$ $M^{n}$ $S^{n}$

Teoremet bevisades 1946 av den franske matematikern Georges Ribe .

Morsefoliation

En isolerad singular punkt av en foliation F kallas en morsetyppunkt om i dess lilla grannskap alla lager är nivåer av någon morsefunktion , och det är i sig en kritisk punkt för denna funktion.

En singular punkt av morsetyp kallas ett centrum om det är ett lokalt extremum av funktionen; annars kallas det en sadel .

Beteckna ind p = min( k , n − k ), singularitetsindexet , där k är indexet för motsvarande kritiska punkt i morsefunktionen. I synnerhet har mitten index 0, sadelindexet är minst 1. $sid$

En morsefoliation F på ett grenrör M är en speciell transversellt orienterad foliation av kodimension 1 i klass C 2 med isolerade singulariteter, och:

alla singulariteter F av morsetyp,
varje singular fiber L innehåller endast en singular punkt p ; dessutom, om ind p = 1 så kopplas den bort. $L\setminus sid$

Låt c vara antalet centra för morsefoliationen F , och vara antalet av dess sadlar, visar det sig att skillnaden c − s är nära relaterad till grenrörets topologi . $s$ $M$

Reebs sfärsats

Betrakta fallet c > s = 0, det vill säga alla singulariteter är centra, det finns inga sadlar.

Sats: [1] Antag att det på ett sluten orienterat sammanhängande grenrör av dimension existerar en -tvärorienterad foliation av kodimension 1 med en icke-tom uppsättning isolerade singulära punkter, som alla är centra. Sedan har foliationen exakt två singulära punkter, och grenröret $M^{n}$ $n\geq 2$ $C^1$ $F$ $F$ är homeomorft till en sfär . $M^{n}$ $S^{n}$

Detta faktum är en konsekvens av Reebs stabilitetsteorem .

Variationer och generaliseringar

Mer allmänt är fallet $c>s\geq 0.$

1978 generaliserade E. Wagneur Reebs sfärsats till morsefoliationer med sadlar. Han visade att antalet centra inte kan vara för stort i jämförelse med antalet sadlar, nämligen . Det finns alltså exakt två fall där : $c\leq s+2$ $c>s$

(ett)

c=s+2,

(2)

c=s+1.

Wagner beskrev också grenrör på vilka det finns bladblad som tillfredsställer fall (1).

Sats [2] : Låt det finnas en morsefoliation med centra och sadlar på ett kompakt sammankopplat grenrör . Sedan . Om , då $M^{n}$ $F$ $c$ $s$ $c\leq s+2$ $c=s+2$

$M^{n}$ homeomorf till en sfär , $S^{n}$

alla sadlar har index 1,

varje icke-singular fiber är diffeomorf till en sfär . $S^{{n-1}}$

Slutligen, 2008, behandlade Camacho och Scardua (C. Camacho, B. Scardua) fallet (2), . Intressant nog är detta fall endast möjligt i vissa dimensioner. $c=s+1$

Sats [3] : Låt en kompakt sammankopplad grenrör och vara en morsefoliation på . Om , då $M^{n}$ $F$ $M^{n}$ $s=c+1$

$n=2,4,8$ eller , $16$

$M^{n}$ är ett Eales-Kuiper-grenrör .

Länkar

↑ G. Reeb , Sur les points singuliers d'une forme de Pfaff complétement intégrable ou d'une fonction numérique. — CRAS Paris 222, 1946, s. 847-849. [1] Arkiverad 9 mars 2016 på Wayback Machine
↑ E. Wagneur , Formes de Pfaff à singularités non dégénérées - Annales de l'institut Fourier, 28, N3, 1978, sid. 165-176 [2] Arkiverad 5 juni 2011 på Wayback Machine
↑ C. Camacho, B. Scardua , Om foliationer med morse-singulariteter. — Proc. amer. Matematik. Soc., 136, 2008, sid. 4065-4073 [3]