Khinchin-Kolmogorovs teorem

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 1 januari 2020; kontroller kräver 2 redigeringar .

Khinchin-Kolmogorov-satsen (även känd som Wiener-Khinchin-satsen och ibland Wiener-Khinchin-Einstein-satsen ) säger att kraftspektraltätheten för en i stort sett stationär slumpmässig process är Fourier-transformen av motsvarande autokorrelationsfunktion . [1] [2] [3]

Kontinuerligt fall:

S_{xx}(f)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }r_{xx}(\tau )e^{-j2\pi f\tau }\,d\tau ,

var

r_{xx}(\tau )=\mathrm {E} {\big [}x(t)x^{*}(t-\tau ){\big ]},

är autokorrelationsfunktionen definierad i termer av den matematiska förväntan , och var är funktionens effektspektrala täthet . Observera att autokorrelationsfunktionen definieras i termer av den matematiska förväntan av produkten och att Fouriertransformen av inte existerar i det allmänna fallet, eftersom stationära slumpmässiga funktioner inte är integrerbara i kvadraten. $S_{xx}(f)$ $x(t)$ $x(t)$

Asterisken betyder komplex konjugation, den kan utelämnas om den slumpmässiga processen är verklig.

Diskret fall:

S_{xx}(f)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }r_{xx}[k]e^{-j2\pi kf},

var

r_{xx}[k]=\mathrm {E} {\big [}x[n]x^{*}[nk]{\big ]}

och var

S_{xx}(f)

är den spektrala effekttätheten med diskreta värden . Den spektrala tätheten är ordnad i diskreta tidssamplingar och är en periodisk funktion i frekvensdomänen. $x[n]$

Applikation

Teoremet är praktiskt för analys av linjära stationära system , där ingångs- och utgångsvärdena inte är kvadraturintegrerbara, på grund av vilka Fourier-transformationer inte existerar. Som en konsekvens är Fouriertransformen av autokorrelationsfunktionen för utsignalen från LSS-systemet lika med produkten av Fouriertransformen av autokorrelationsfunktionen för systemets insignal och kvadraten på modulen för Fouriertransformen av dess impulssvar . Detta gäller även när det inte finns några Fourier-transformationer av in- och utsignalerna eftersom de inte är integrerbara. Därför kan ingångs- och utgångsparametrarna inte relateras direkt av Fouriertransformen av impulsöverföringsfunktionen.

Av det faktum att Fouriertransformen av en signals autokorrelationsfunktion är signalens effektspektrum, följer det att effektspektrumet för utsignalen är lika med produkten av ingångens effektspektrum och överföringsfunktionen för systemet.

Denna följd används för att hitta effektspektrumet med den parametriska metoden.

Definitionsinkonsekvens

I definitioner som involverar oändliga integraler för spektral täthet och autokorrelation , är Khinchin-Kolmogorov-satsen helt enkelt ett par Fourier-transformer, lätt bevisbara för alla integrerbara funktioner, det vill säga för vilka Fourier-transformer existerar. Mer bekvämt och historiskt, för stationära signaler för vilka det inte finns några Fourier-transformer, tillämpas satsen med hjälp av definitionen av autokorrelationsfunktionen i termer av den matematiska förväntan, och inte i termer av den oändliga integralen. En förenkling av Khinchin–Kolmogorovs teorem är vanlig i modern teknisk litteratur och skymmer bidragen från A. Ya. Khinchin , Norbert Wiener och A.N. Kolmogorov .

Anteckningar

↑ Dennis Ward Ricker. Ekosignalbehandling (neopr.) . - Springer, 2003. - ISBN 140207395X . Arkiverad 19 september 2014 på Wayback Machine
↑ Leon W. Couch II digitala och analoga kommunikationssystem . — 6 uppl. - Prentice Hall, New Jersey, 2001. - S. 406-409.
↑ Krzysztof Iniewski. Trådlös teknik : kretsar, system och enheter . - CRC Press , 2007. - ISBN 0849379962 . Arkiverad 29 juni 2014 på Wayback Machine