Erdős-Anning teorem

Erdős-Anning-satsen är ett påstående om att en oändlig uppsättning punkter på ett plan kan ha heltalsavstånd mellan uppsättningens punkter endast om alla punkter ligger på en rät linje. Den är uppkallad efter Pal Erdős och Norman Herbert Anning , som publicerade dess bevis 1945 [ 1] .

Rationellt avstånd

Även om det inte finns någon oändlig uppsättning punkter som har heltals ömsesidiga avstånd, finns det en oändlig uppsättning punkter som inte ligger på en rät linje, avstånden mellan vilka är rationella tal.

Till exempel, på enhetscirkeln finns en uppsättning punkter för vilka är ett rationellt tal. För alla sådana punkter, och , och är rationella. Låt och definiera två punkter i , då är avståndet rationellt. $S$ $(\cos \theta ,\sin \theta )$ $\tan {\frac {\theta }{4))$ $\sin {\frac {\theta }{2))$ $\cos {\frac {\theta }{2}}$ $\theta$ $\phi$ $S$ $\left|2\sin {\frac {\theta }{2}}\cos {\frac {\phi }{2}}-2\sin {\frac {\phi }{2}}\cos {\frac {\theta }{2}}\right|$

Det är känt att en cirkel med en radie innehåller en tät uppsättning punkter med rationella inbördes avstånd om och endast om den är rationell [2] . $\rho$ $\rho ^{2}$

För varje ändlig uppsättning punkter med ömsesidigt rationella avstånd, kan man hitta en liknande uppsättning punkter med heltals ömsesidiga avstånd genom att expandera (multiplicera avstånden med den minsta gemensamma multipeln av avståndsnämnarna). Det finns alltså en godtyckligt stor uppsättning punkter i planet med heltalsavstånd. Att lägga till punkter till en uppsättning kan dock öka sträckfaktorn, så att en sådan konstruktion inte gör det möjligt att omvandla en oändlig uppsättning punkter med rationella avstånd till en oändlig uppsättning punkter med heltalsavstånd. $S$ $S$ $S$

Det är fortfarande okänt om det finns en uppsättning punkter med rationella inbördes avstånd som är en tät delmängd av det euklidiska planet [2] .

Bevis för satsen

Låt uppsättningen av punkter på planet har heltals ömsesidiga avstånd och innehåller tre punkter , och , inte liggande på en rät linje, de ömsesidiga avstånden mellan vilka inte överstiger . Låt oss visa att antalet poäng i uppsättningen inte överstiger . $S$ $A$ $B$ $C$ $\delta$ $S$ $4(\delta +1)^{2}$

Låt , , och vara avstånden mellan punkterna , och . Låt vara någon annan punkt från . Det följer av triangelolikheten som är ett icke-negativt heltal som inte överstiger . För varje heltal mellan 0 och , bildar platsen för punkter som uppfyller likheten en hyperbel med och vid brännpunkter. Punkten måste ligga på en av dessa hyperboler. $badda)$ $d(A,C)$ $d(B,C)$ $A$ $B$ $C$ $X$ $S$ $|d(A,X)-d(B,X)|$ $\delta$ $i$ $\delta$ $|d(A,X)-d(B,X)|=i$ $A$ $B$ $X$ $\delta +1$

Av symmetriskäl måste också ligga på en av hyperbolerna som har och vid brännpunkter. Vart och ett av paren av distinkta hyperboler, en definierad av punkterna och , och den andra av punkterna med , kan skära varandra vid maximalt fyra punkter, och varje punkt från (inklusive , och ) är en av skärningspunkterna. Det finns ett maximum av skärningspunkter för par av hyperboler, och därför ett maximum av punkter i uppsättningen . $X$ $\delta +1$ $B$ $C$ $A$ $B$ $B$ $C$ $S$ $A$ $B$ $C$ $4(\delta +1)^{2}$ $4(\delta +1)^{2}$ $S$

Således kan uppsättningen av punkter på planet som inte ligger på en rät linje och har heltals ömsesidiga avstånd endast kompletteras med ett ändligt antal punkter. Uppsättningen punkter med heltalskoordinater och heltalsavstånd, till vilka punkter inte kan läggas till med bibehållen båda egenskaperna, kallas Erdős-Diophantus-grafen .

Anteckningar

↑ Norman H. Anning, Paul Erdős. Integral avstånd // Bulletin of the American Mathematical Society . - 1945. - Utgåva. 51 , nr 8 . — S. 598–600 . - doi : 10.1090/S0002-9904-1945-08407-9 . Arkiverad från originalet den 12 augusti 2007.
↑ 1 2 Victor Klee, Stan Wagon. Gamla och nya olösta problem i plangeometri och talteori // Cambridge University Press. - Dolciani matematiska utställningar, 1991. - Vol. 11 . - S. 132-135 . — ISBN 978-0-88385-315-3 . Arkiverad från originalet den 24 juni 2016.

Länkar

Weisstein, Eric W. Erdos-Anning Theorem (engelska) på Wolfram MathWorld -webbplatsen .