Magnetfältets cirkulationssats

Magnetfältets cirkulationssats är en av de grundläggande satserna inom klassisk elektrodynamik , formulerad av André Marie Ampère dagar 1826 . År 1861 härledde James Maxwell igen denna teorem, baserad på analogier med hydrodynamik , och generaliserade den ( se nedan ). Ekvationen, som är innehållet i satsen i denna generaliserade form, är bland Maxwells ekvationer . (För fallet med konstanta elektriska fält - det vill säga i princip i magnetostatik - är satsen sann i sin ursprungliga form, formulerad av Ampère och presenterad först i artikeln; för det allmänna fallet bör den högra sidan kompletteras med en term med derivatan av den elektriska fältstyrkan med avseende på tid - se nedan). Teoremet säger [1] :

Cirkulationen av magnetfältet av likströmmar i alla slutna kretsar är proportionell mot summan av styrkorna hos de strömmar som penetrerar cirkulationskretsen.

Denna sats, särskilt i utländsk eller översatt litteratur, kallas också för Ampères sats eller Ampères kretslag. Det senare namnet antyder övervägande av Ampere-lagen som ett mer grundläggande uttalande än Biot-Savart-Laplace-lagen , som i sin tur redan betraktas som en konsekvens (vilket i allmänhet motsvarar den moderna versionen av elektrodynamikens konstruktion).

För det allmänna fallet med (klassisk) elektrodynamik måste formeln kompletteras på höger sida med en term som innehåller tidsderivatan av det elektriska fältet (se Maxwells ekvationer , såväl som stycket " Generalisering " nedan). I denna förstärkta form är det den fjärde Maxwell-ekvationen i integralform.

Matematisk formulering

I den matematiska formuleringen för magnetostatik har satsen följande form [ 2] [1] [3] :

\oint {\vec B}\cdot {\vec {dl}}={\frac {4\pi }{c}}\int {\vec j}\cdot {\vec {ds}}

Här är den magnetiska induktionsvektorn , är strömtätheten ; integration till vänster utförs över en godtycklig sluten kontur, till höger över en godtycklig yta som spänner över denna kontur. Denna form kallas integral, eftersom den uttryckligen innehåller integration . Satsen kan också presenteras i differentialform [4] : ${\vec {B}}$ $\vec j$

{\mathrm {rot}}\ {\vec B}={\frac {4\pi }{c}}{\vec j}

Ekvivalensen av integral- och differentialformerna följer av Stokes-satsen [5] .

Ovanstående blankett gäller för vakuum. Om det appliceras i ett medium (ämne) kommer det att vara korrekt endast om vi med j menar alla strömmar i allmänhet, det vill säga vi tar hänsyn till de "mikroskopiska" strömmar som flyter i ämnet, inklusive de "mikroskopiska" strömmar som flyter i områden med dimensioner av storleksordningen molekyler (se diamagneter ) och magnetiska moment av mikropartiklar (se till exempel ferromagneter ).

Därför, i ett ämne, om dess magnetiska egenskaper inte försummas, är det ofta bekvämt att isolera magnetiseringsströmmen från den totala strömmen (se kopplade strömmar ), uttrycka den i termer av magnetiseringsvärdet och introducera magnetfältets styrka. $jag$

{\vec H}={\vec B}-4\pi {\vec I}

Då kan cirkulationssatsen skrivas på formen [6]

\oint {\vec H}\cdot {\vec {dl}}={\frac {4\pi }{c}}\int {\vec j}_{f}\cdot {\vec {ds}}

{\mathrm {rot}}\ {\vec H}={\frac {4\pi }{c}}{\vec j}_{f},

där under (till skillnad från i formeln ovan) menar vi den sk. fria strömmar där magnetiseringsströmmen är utesluten (vilket är praktiskt praktiskt eftersom det vanligtvis redan är väsentligen makroskopiska strömmar som inte är relaterade till ämnets magnetisering och som i princip är lätta att direkt mäta) [7] . ${\vec j}_{f}$ $\vec j$ ${\vec j}_{f}$

I det dynamiska fallet - det vill säga i det allmänna fallet med klassisk elektrodynamik - när fälten förändras med tiden (och deras polarisering också ändras i media) - och då talar vi om ett generaliserat teorem som inkluderar - allt ovanstående gäller till mikroskopiska strömmar kopplade till förändringar i dielektrikumets polarisation. Denna del av strömmarna beaktas sedan i termen . $d{\vec E}/dt$ $d{\vec D}/dt$

Generalisering

Den huvudsakliga grundläggande generaliseringen [8] av satsen är den fjärde Maxwell-ekvationen . I integrerad form är det en direkt generalisering till det dynamiska fallet med den magnetostatiska formeln som ges ovan. För vakuum [9] :

\oint {\vec B}\cdot {\vec {dl}}={\frac {1}{c}}\int (4\pi {\vec j}+{\frac {\partial {\vec E} }{\partial t)))\cdot {\vec {ds))

för miljö [10] :

\oint {\vec {H}}\cdot {\vec {dl}}={\frac {4\pi }{c}}\int {\vec j}\cdot {\vec {ds}}+{\ frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}\int {\vec {D}}\cdot {\vec {ds}}.

(Som du kan se skiljer sig formlerna från de som ges ovan endast genom en ytterligare term med förändringshastigheten för det elektriska fältet på höger sida).

Differentialformen för denna ekvation är:

{\mathbf {rot}}{\vec {B}}={\frac {4\pi }{c}}{\vec j}+{\frac {1}{c}}{\frac {\partial } {\partial t}}{\vec {E}},

{\mathbf {rot}}{\vec {H}}={\frac {4\pi }{c}}{\vec j}+{\frac {1}{c}}{\frac {\partial } {\partial t}}{\vec {D}}

(i det Gaussiska systemet, för vakuum respektive medium) - kan också, om så önskas, betraktas som en variant av generaliseringen av magnetfältscirkulationssatsen, eftersom den naturligtvis är nära relaterad till den integrala.

Praktiskt värde

Cirkulationssatsen spelar ungefär samma roll i magnetostatik som Gauss sats spelar i elektrostatik . I synnerhet, i närvaro av en viss symmetri av problemet, låter det dig helt enkelt hitta magnituden på magnetfältet i hela utrymmet för givna strömmar [1] . Till exempel, för att beräkna magnetfältet från en oändlig rätlinjig ledare med ström enligt Biot-Savart-Laplace-lagen, kommer det att vara nödvändigt att beräkna en otydlig integral, medan cirkulationssatsen (med hänsyn till problemets axiella symmetri) låter dig ge ett omedelbart svar:

B(r)\cdot 2\pi r={\frac {4\pi }{c}}I\till B(r)={\frac {2I}{cr))

Bevis på cirkulationssatsen

Om magnetfältets cirkulationssats inte accepteras som ett axiom, kan det bevisas med hjälp av Biot-Savart-Laplace-lagen . Betrakta ett magnetfält som skapas vid en punkt av en oändlig tråd med en ström given i utrymmet för kurvan C. Enligt Biot-Savart-Laplace-lagen skapar trådens strömelement, givet av radievektorn , en elementär fältet vid punkten . ${\vec {p}}=(x_{0};y_{0};z_{0})$ ${\vec {r))$ ${\vec p}$ $\mathrm {d} {\vec {B}}({\vec {p}})={\mu _{0} \över 4\pi }{\frac {I[\mathrm {d} { \vec {r}}\times ({\vec {p}}-{\vec {r}})]}{|{\vec {p}}-{\vec {r}}|^{3}} }$

Den totala induktionen av magnetfältet vid en punkt erhålls genom att integrera det elementära fältet över hela kurvan C i strömriktningen: ${\vec p}$

${\vec {B))({\vec {p)))={\mu _{0} \över 4\pi }\int \limits _{\mathbb {C} }{\frac {I [\mathrm {d} {\vec {r}}\times ({\vec {p}}-{\vec {r}})]}{|{\vec {p}}-{\vec {r} }|^{3}}}$

Det bör genast noteras att den resulterande integralen inte tillhör någon av de två typerna av krökta integraler . Som du kan se definierar den en vektorkvantitet, medan varje kurvlinjär integral är en skalär kvantitet. Men låt oss anta att det fortfarande kan beräknas på något sätt (till exempel genom att integrera varje komponent i vektorn separat). Sedan hittar vi cirkulationen av den erhållna induktionsvektorn längs någon sluten krets Г, som omsluter tråden med ström.

Per definition är cirkulationen av en vektorfunktion en kurvlinjär integral av den andra typen av denna funktion längs en sluten kontur i positiv riktning runt denna kurva. Vi kommer att betrakta den positiva riktningen för normalen till ytan som spänns av konturen som den riktning som bildar en spetsig vinkel med z-axeln. Sedan bestäms den positiva riktningen för att förbi konturen av gimlets regel (höger skruv) med avseende på den positiva normalen. Vi kommer också att betrakta strömmen som flyter i riktning mot den positiva normalen för kretsen som omsluter strömmen som positiv.

Cirkulationen kommer att se ut så här:

$\Gamma =\oint _{\Gamma }{\vec {B}}\cdot \mathrm {d} {\vec {p}}=\oint _{\Gamma }{\mu _{0}I \over 4\pi }\int \limits _{\mathbb {C} }{\frac {[\mathrm {d} {\vec {r}}\times ({\vec {p}}-{\vec { r)))]}{|{\vec {p}}-{\vec {r}}|^{3}}}\cdot \mathrm {d} {\vec {p}}$

Det kan ses att en blandad produkt av vektorer dök upp under tecknen på integralerna , som med egenskapen skevsymmetri kan skrivas enligt följande: $[\mathrm {d} {\vec {r}}\times ({\vec {p}}-{\vec {r}})]\cdot \mathrm {d} {\vec {p}} =(\mathrm {d} {\vec {p)),\mathrm {d} {\vec {r)),({\vec {p))-{\vec {r))))$

$[\mathrm {d} {\vec {r}}\times ({\vec {p}}-{\vec {r}})]\cdot \mathrm {d} {\vec {p}} =(\mathrm {d} {\vec {p}},\mathrm {d} {\vec {r}},({\vec {p}}-{\vec {r}}))=(({ \vec {p}}-{\vec {r}}),\mathrm {d} {\vec {p}},\mathrm {d} {\vec {r}})=[\mathrm {d} { \vec {p}}\times \mathrm {d} {\vec {r}}]\cdot ({\vec {p}}-{\vec {r}})$

Då kommer cirkulationen att ta formen:

$\Gamma ={\mu _{0}Jag \över 4\pi }\oint _{\Gamma }\int \limits _{\mathbb {C} }({\vec {p))-{\ vec {r)))\cdot {\frac {[\mathrm {d} {\vec {p}}\times \mathrm {d} {\vec {r}}]}{|{\vec {p}} -{\vec {r}}|^{3}}}$

Du måste vara uppmärksam på vad korsprodukten är : dess värde är lika med arean av parallellogrammet byggt på dessa vektorer, och riktningen är vinkelrät mot detta parallellogram. Då kan denna vektorprodukt betraktas som ett elementärt vektorområde på ytan, som svepas av vektorn under dubbelkrökt integration, och vinkeln mellan och , som du kan se, är spetsig. Denna yta är en cylindrisk yta som omsluter en tråd med ström, och dess tvärsnitt är cirkulationsslingan Г. Då kan den dubbla krökta integralen ersättas med en ytintegral av det andra slaget över denna yta. $[\mathrm {d} {\vec {p}}\times \mathrm {d} {\vec {r}}]$ $\mathrm {d} {\vec {S}}=[\mathrm {d} {\vec {p}}\times \mathrm {d} {\vec {r}}]$ $({\vec {p}}-{\vec {r)))$ $({\vec {p}}-{\vec {r)))$ $\mathrm {d} {\vec {S}}$

Då kommer cirkulationen att ta formen:

$\Gamma ={\mu _{0}Jag \över 4\pi }\int \!\!\!\int _{S}({\vec {p}}-{\vec {r}} )\cdot {\frac {\mathrm {d} {\vec {S}}}{|{\vec {p}}-{\vec {r}}|^{3}}}$

Om vi betraktar integrationsytan som en sammandragande yta är det lätt att se att ytintegralen är rymdvinkeln för den givna ytan. Integreringsytan kan villkorligt betraktas som stängd i oändligheten. Och sedan, eftersom vektorn under integrationen alltid är inuti ytan, är den rymliga vinkeln full, det vill säga lika med steradianer. Och då är cirkulationen . $({\vec {p}}-{\vec {r)))$ $4\pi$ $\Gamma ={\mu _{0}I \over 4\pi }4\pi =\mu _{0}I$

Om konturen Г inte täckte tråden, skulle vektorn under integrationen aldrig vara helt inne i integrationsytan. I detta fall skulle den rymda vinkeln vara lika med noll, liksom fältcirkulationen: . $({\vec {p}}-{\vec {r)))$ $\Gamma =0$

De två sista påståendena om rymdvinkeln är i huvudsak innehållet i Gauss-satsen om flödet av laddningsintensitetsvektorn genom en godtyckligt sluten yta och kan bevisas oberoende.

Om strömmen flödade i motsatt riktning, skulle vinkeln mellan vektorerna och redan vara trubbig (normalen skulle vara riktad inuti ytan), och cirkulationen skulle ändra sitt tecken till motsatt, vilket är ekvivalent med strömflödet i samma riktning, men med en negativ kraft. $({\vec {p}}-{\vec {r)))$ $[\mathrm {d} {\vec {p}}\times \mathrm {d} {\vec {r}}]$

När det gäller ett fält skapat av flera ledare med ström, måste man komma ihåg egenskapen för superpositionen av magnetfältet och additivitetsegenskapen för den krökta integralen: cirkulationen av superpositionen av vektorer är lika med den skalära summan av cirkulationerna av dessa vektorer.

Anteckningar

↑ 1 2 3 Sivukhin D.V. Allmän kurs i fysik. - M . : Nauka , 1977. - T. III. Elektricitet. - S. 235. - 688 sid.
↑ Här anges i gaussiska enheter ; i SI-systemet skrivs istället konstanten på höger sida som . ${\frac {4\pi }{c}}$ $\mu_{0}$
↑ här och under används CGS- systemet, det finns inga koefficienter i SI- systemet
↑ Sivukhin D.V. Allmän kurs i fysik. - M . : Nauka , 1977. - T. III. Elektricitet. - S. 239. - 688 sid.
↑ Sivukhin D.V. Allmän kurs i fysik. - M . : Nauka , 1977. - T. III. Elektricitet. - S. 241. - 688 sid.
↑ Sivukhin D.V. Allmän kurs i fysik. - M . : Nauka , 1977. - T. III. Elektricitet. - S. 253. - 688 sid.
↑ I praktiken, när man skriver ekvationer för ett medium, utelämnas vanligtvis index f för strömmar, det skrivs enkelt . Dessutom görs ofta inga reservationer för att det är just "fria" strömmar. I en sådan fenomenologisk teori beaktas inga andra strömmar uttryckligen, även om det i själva verket finns (fysiskt) sammankopplade strömmar, naturligtvis, de är helt enkelt "dolda" i andra mängder - etc. och är formellt uteslutna från övervägande. $\vec j$ ${\vec I},{\vec H}$
↑ Eftersom denna generalisering är baserad på riktigheten av den magnetostatiska versionen av Amperes teorem om cirkulationen av ett magnetfält och bevarande av laddning (vilket kan tas som ett postulat) och överensstämmelsen mellan den generaliserade ekvationen och dessa två premisser kan visas ganska strikt, och när vissa ytterligare villkor ställs, det unika med en sådan generalisering, kan den i princip också formuleras som ett teorem.
↑ I det gaussiska enhetssystemet.
↑ I huvudtexten - i det gaussiska enhetssystemet. I SI ser det ut så här: $\oint {\vec {H}}\cdot {\vec {dl}}=\int {\vec j}\cdot {\vec {ds}}+{\frac {\partial }{\partial t}}\ int {\vec {D}}\cdot {\vec {ds}}.$