Helmholtz nedbrytningssats

Helmholtz nedbrytningssats är ett påstående om nedbrytningen av ett godtyckligt differentierbart vektorfält i två komponenter:

Om divergensen och kurvan för ett vektorfält definieras vid varje punkt i ett ändligt öppet område V i rymden, så kan funktionen överallt i V representeras som summan av ett irrotationsfält och ett solenoidfält : ${\mathbf {F}}({\mathbf {r}})$ ${\mathbf {F}}_{1}({\mathbf {r}})$ ${\mathbf {F}}_{2}({\mathbf {r}})$

{\mathbf {F}}({\mathbf {r}})={\mathbf {F}}_{1}({\mathbf {r}})+{\mathbf {F}}_{2}( {\mathbf {r)))

var

\operatörsnamn {rot}\;{\mathbf {F}}_{1}({\mathbf {r}})=0,

\operatörsnamn {div}\,{\mathbf {F}}_{2}({\mathbf {r}})=0

för alla punkter i regionen V. $\mathbf {r}$

I en mer populär formulering för hela rymden säger Helmholtz sats:

Vilket vektorfält som helst , envärdigt, kontinuerligt och avgränsat i hela rymden, kan delas upp i en summa av potentiella och solenoidala vektorfält och representeras som: $\mathbf {F}$

\mathbf {F} =-\nabla \Phi +\nabla \times \mathbf {A}

var $\nabla \cdot \mathbf {A} =0$

En skalär funktion kallas en skalär potential, en vektorfunktion kallas en vektorpotential. [1] . $\Phi$ $\mathbf {A}$

Uttalande av satsen

Låt F vara ett vektorfält i R ³ och låt det vara två gånger kontinuerligt differentierbart och minska i oändlighet snabbare än 1/ r i fallet med en ogränsad domän. [2] Då kan fältet F representeras som summan av ett irrotationsfält (vars rotor är noll) och ett solenoidfält (vars divergens är noll).

En av de möjliga representationerna för vektorfältet F i denna form är summan av gradienten och krullen av två explicit beräkningsbara funktioner, som skrivs nedan:

{\mathbf {F}}=-\nabla \,({\mathcal {G}}(\nabla \cdot {\mathbf {F}})))+\nabla \times ({\mathcal {G}}( \ nabla \times {\mathbf {F))))

var är den newtonska operatorn (om den verkar på ett vektorfält som ∇ × F , verkar den på varje komponent i det). ${\mathcal {G}}$

Om F har noll divergens , ∇ F = 0, så sägs F vara solenoidal , eller divergensfri, och Helmholtz-expansionen av fältet F minskar till

{\mathbf {F}}=\nabla \times {\mathcal {G}}(\nabla \times {\mathbf {F}})=\nabla \times {\mathbf {A}}.

I fallet med en sådan representation av fältet kallas A vektorpotentialen för fältet F . För ett solenoidfält (det vill säga ett fält med noll divergens) är det alltid möjligt att konstruera en vektorfunktion (vektorpotential) vars fält är rotorn. Vektorpotentialen för ett givet solenoidfält bestäms med en betydande grad av frihet. I synnerhet, utan förlust av generalitet, kan Coulomb gauge (eller normalisering) tillståndet ∇· A = 0 påtvingas den (ett specialfall av en divergensfri vektorpotential; se även problemet med att återställa en vektorfunktion från en curl och divergens nedan). Du kan fritt lägga till gradienten för vilken skalär funktion som helst till vektorpotentialen - detta ändrar inte dess krullning, det vill säga det solenoidala fältet som definieras av den (och om den indikerade skalära funktionen uppfyller Laplace-ekvationen, då villkoret för Coulomb-kalibreringen ändras inte heller när vektorpotentialen uppfyller den).

Om F har en nollrotor, ∇× F = 0, kallas F ett irrotations- eller lokalt potentiellt fält , och expansionen av F tar formen

{\mathbf {F}}=-\nabla \,{\mathcal {G}}(\nabla \cdot {\mathbf {F}})=-\nabla \phi .

I fallet med en sådan representation av fältet kallas φ den skalära potentialen för fältet F . För ett irrotationsfält (det vill säga ett fält med en nollrotor) är det alltid möjligt att konstruera en skalär funktion (skalär potential), vars gradient är detta fält. Den skalära potentialen för ett givet irrotationsfält bestäms upp till en additiv konstant.

I det allmänna fallet kan F representeras av summan

{\mathbf {F}}=-\nabla \phi +\nabla \times {\mathbf {A}}

där skalärpotentialens negativa gradient är fältets irrotationskomponent och vektorpotentialens rotor är solenoidkomponenten. Representationen av F som summan av ett irrotationsfält och ett solenoidfält är inte unik, eftersom man till φ alltid kan addera en godtycklig funktion ψ som uppfyller Laplace-ekvationen, och till A , en vektorfunktion H förenlig med ψ , som är resultatet av att lösa problemet med att återvinna en vektorfunktion från rotor och divergens (se nedan) enligt ekvationerna ∇· H = 0, ∇× H = ∇ψ. En sådan substitution förändrar inte bara skalär- och vektorpotentialerna som är involverade i Helmholtz-expansionen, utan förändrar också signifikant det irrotationsfältet -∇(φ+ψ) och det solenoidala fältet ∇× (A+H) , till summan av vilka fältet F sönderdelas .

Fält definierade av curl och divergens

Nära besläktad med Helmholtz sats är problemet med att rekonstruera ett vektorfält från en divergens och en krullning, som ibland kallas Helmholtz-problemet .

Låt det ges ett skalärt fält och ett vektorfält , som är tillräckligt jämna och antingen ges i ett avgränsat område eller minskar snabbare än 1/ r ² i oändligheten. Det krävs att man hittar ett vektorfält så att ${\mathbf {d}}(x,y,z)$ ${\mathbf {C}}(x,y,z)$ ${\mathbf {F}}(x,y,z)$

\nabla \cdot {\mathbf {F}}={\mathbf {d}}

och

\nabla \times {\mathbf {F}}={\mathbf {C}}.

När man analyserar existensen och unikheten hos en lösning på ett problem bör man skilja mellan:

internt problem (rotorn, divergensen och själva vektorfunktionen betraktas inom ett avgränsat område med en tillräckligt jämn gräns),
ett externt problem (rotorn, divergensen och själva vektorfunktionen beaktas för utrymmet R ³ med ett "hål" utskuret, som har en ganska jämn gräns),
problem för hela utrymmet R ³.

Det interna problemet (förutsatt att det är lösbart) har en unik lösning om den normala projektionen för vektorfunktionen ges längs regionens gräns . $({\mathbf {n}}\cdot {\mathbf {F}})|_{{S}}={\mathbf {g}}({\mathbf {S}})$ $\mathbf {F}$

Det externa problemet (under förutsättning av dess lösbarhet) har en unik lösning om den normala projektionen för vektorfunktionen ges längs gränsen för regionen , och kravet ställs på vektorfunktionen att den minskar i oändligheten minst som . $({\mathbf {n}}\cdot {\mathbf {F}})|_{{S}}={\mathbf {g}}({\mathbf {S}})$ $\mathbf {F}$ $\mathbf {F}$ ${\mathbf {1/r}}^{{2+\varepsilon }}$

Problemet för hela rymden R ³ (under förutsättning av dess lösbarhet) har en unik lösning om kravet ställs på vektorfunktionen att den minskar i oändligheten minst som . $\mathbf {F}$ ${\mathbf {1/r}}^{{2+\varepsilon }}$

I alla dessa fall är lösningen på Helmholtz-problemet unik om den finns för givna indata.

Nödvändiga villkor för existensen av en lösning

Problemet har en lösning som inte passar alla , och : ${\mathbf {d}}(x,y,z)$ ${\mathbf {C}}(x,y,z)$ ${\mathbf {g(S)))$

Det följer av identiteten att villkoret måste vara uppfyllt , det vill säga att vektorns divergens måste vara lika med noll. $\nabla \cdot \nabla \times {\mathbf {F}}\equiv 0$ $\nabla \cdot {\mathbf {C}}=0$ ${\mathbf {C}}(x,y,z)$
För det interna problemet följer det av identiteten att det vill säga integralen av gränsvillkoret över gränsytan måste vara lika med integralen av funktionen över regionens volym. $\iiiint _{{V}}(\nabla \cdot {\mathbf {F}})\,dV=\iint _{{S}}({\mathbf {n}}\cdot {\mathbf {F}} ) )\,dS$ $\iiiint _{{V}}{\mathbf {d(x,y,z)}}\,dV=\iint _{{S}}{\mathbf {g(S)))\,dS$ ${\mathbf {g(S)))$ $\mathbf {S}$ ${\mathbf {d}}(x,y,z)$
För ett externt problem och för ett problem givet för hela utrymmet R ³ måste funktionerna och tendera mot noll i oändligheten ganska snabbt tillsammans med själva funktionen. $\mathbf{d}$ ${\mathbf {C}}$

Tillräckliga förutsättningar för existensen och unikheten hos en lösning

A. Intern uppgift : om

$\nabla \cdot {\mathbf {C(x,y,z)}}=0$ och
$\iiiint _{{V}}{\mathbf {d(x,y,z)}}\,dV=\iint _{{S}}{\mathbf {g(S)))\,dS$ ,

då finns lösningen på problemet med att återhämta fältet från curl , divergens och gränsvillkor och är unik.

{\mathbf {F}}(x,y,z)

{\mathbf {C}}(x,y,z)

{\mathbf {d}}(x,y,z)

{\mathbf {g(S)))

B. Extern uppgift : if

$\nabla \cdot {\mathbf {C(x,y,z)}}=0$ och
integralerna och konvergerar när de integreras över en oändlig volym och minskar vid oändligheten i minst som , $\iiiint _{{V}}{\frac {{\mathbf {d}}(x',y',z')}{|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r'}}|} }\,dV'$ $\iiiint _{{V}}{\frac {{\mathbf {C}}(x',y',z')}{|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r'}}|} }\,dV'$ ${\mathbf {r}}\to \infty$ ${\mathbf {1/r}}^{{1+\varepsilon }}$

då finns lösningen på problemet med att återhämta fältet från rotorn , divergens , gränsvillkor och villkoret som faller till oändlighet åtminstone som , och är unikt.

{\mathbf {F}}(x,y,z)

{\mathbf {C}}(x,y,z)

{\mathbf {d}}(x,y,z)

{\mathbf {g(S)))

{\mathbf {F}}(x,y,z)

{\mathbf {1/r}}^{{2+\varepsilon }}

B. Problem för hela utrymmet R ³ : if

$\nabla \cdot {\mathbf {C(x,y,z)}}=0$ och
integralerna och konvergerar när de integreras över en oändlig volym och minskar vid oändligheten i minst som , $\iiiint _{{V}}{\frac {{\mathbf {d}}(x',y',z')}{|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r'}}|} }\,dV'$ $\iiiint _{{V}}{\frac {{\mathbf {C}}(x',y',z')}{|{\mathbf {r}}-{\mathbf {r'}}|} }\,dV'$ ${\mathbf {r}}\to \infty$ ${\mathbf {1/r}}^{{1+\varepsilon }}$

då lösningen på problemet med att återhämta fältet från curl , divergens och tillståndet som faller till oändlighet åtminstone som , existerar och är unik.

{\mathbf {F}}(x,y,z)

{\mathbf {C}}(x,y,z)

{\mathbf {d}}(x,y,z)

{\mathbf {F}}(x,y,z)

{\mathbf {1/r}}^{{2+\varepsilon }}

Lösbarheten och unikheten hos lösningen av Helmholtz-problemet är nära relaterad till lösbarheten och unikheten hos lösningen av Neumann-problemet för Laplace-ekvationen i samma domän (se nedan algoritmen för att konstruera en lösning på Helmholtz-problemet).

Nedbrytning av ett vektorfält till summan av ett irrotationsfält och ett solenoidfält

Genom att använda problemet med att återställa en vektorfunktion från en krullning och divergens, kan expansionen av ett vektorfält till summan av ett irrotationsfält och ett solenoidfält utföras enligt följande: ${\mathbf {F}}(x,y,z)$

För en given vektorfunktion beräknas följande: funktion funktion , gränsvillkor , om vektorfunktionen ges för en delregion av rymden med gräns . $\mathbf {F}$ ${\mathbf {C}}=\nabla \times {\mathbf {F}}$ ${\mathbf {d}}=\nabla \cdot {\mathbf {F}}$ ${\mathbf {g}}({\mathbf {S}})=({\mathbf {n}}\cdot {\mathbf {F}})|_{{S}}$ $\mathbf {F}$ $\mathbb {R} ^{3}$ $S$
När det gäller den interna uppgiften, från identiteten , följer kompatibilitetsvillkoret . Därför är alla villkor för kompatibilitet av indata för problemet och med gränsvillkoret uppfyllda, problemet är lösbart och har en unik lösning. Den resulterande vektorfunktionen är ett irrotationsfält. $\iiiint _{{V}}(\nabla \cdot {\mathbf {F}})\,dV\equiv \iint _{{S}}({\mathbf {n}}\cdot {\mathbf {F} })\,dS$ $\iiiint _{{V}}{\mathbf {d}}(x,y,z)\,dV=\iint _{{S}}{\mathbf {g(S)))\,dS$ $\nabla \cdot {\mathbf {F_{1}}}={\mathbf {d}}$ $\nabla \times {\mathbf {F_{1))}=0$ ${\mathbf {g}}({\mathbf {S}})$ ${\mathbf {F_{1))}$
Eftersom kompatibilitetsvillkoren för indata för problemet och med ett nollgränsvillkor är uppfyllda, är problemet lösbart och har en unik lösning. Den resulterande vektorfunktionen är ett solenoidfält. $\nabla \cdot {\mathbf {C}}=\nabla \cdot \nabla \times {\mathbf {F}}\equiv 0$ $\nabla \cdot \mathbf {F} _{2}=0$ $\nabla \times \mathbf {F} _{2}=\mathbf {C}$ ${\mathbf {F_{2))}$
Tänk på problemet med gränsvillkoret . Villkoren för indatakompatibilitet är uppfyllda, problemet är lösbart och har en unik lösning. I det här fallet är å ena sidan lösningen på detta problem själva funktionen och å andra sidan är lösningen på samma problem funktionen . Följaktligen har den önskade representationen av fältet som summan av ett irrotationsfält och ett solenoidfält konstruerats. $\nabla \cdot \mathbf {F} _{3}=\mathbf {d}$ $\nabla \times \mathbf {F} _{3}=\mathbf {C}$ ${\mathbf {g}}({\mathbf {S}})$ $\mathbf {F}$ ${\displaystyle \mathbf {F} _{1}+\mathbf {F} _{2))$ ${\displaystyle \mathbf {F} \equiv \mathbf {F} _{1}+\mathbf {F} _{2))$ $\mathbf {F}$

Den konstruerade representationen av ett vektorfält som summan av två fält är inte unik. Det finns vektorfält som är både irroterande (rotorn är noll) och solenoidal (divergensen är noll). Dessa fält är gradienter av skalära funktioner som uppfyller Laplace-ekvationen (och bara de). Lägger vi ett sådant fält till den första termen och subtraherar den från den andra termen, erhåller vi en ny uppdelning av vektorfältet i summan av ett irrotations- och solenoidfält.

Återställning av vektorfunktionen från rotorn och divergens

Lösningen på problemet med att återställa en funktion från ett krullnings-, divergens- och gränsvillkor kan konstrueras enligt följande:

1) För en given funktion beräknas funktionen , där skalärpotentialen beräknas med formeln

{\mathbf {d}}(x,y,z)

{\mathbf {F_{1}}}(x,y,z)=\nabla {\mathbf {U}}

{\mathbf {U}}(x,y,z)

{\mathbf {U}}(x,y,z)=-{\frac {1}{4\pi }}\iiiint _{V}{\frac {{\mathbf {d}}(x',y ',z')}{{\sqrt {(xx')^{2}+(yy')^{2}+(zz')^{2))))}dx'dy'dz'

. Resultatet är en funktion för vilken och ;

{\mathbf {F_{1))}(x,y,z)

\nabla \cdot {\mathbf {F_{1}}}(x,y,z)={\mathbf {d}}(x,y,z)

\nabla \times {\mathbf {F_{1}}}(x,y,z)=0

2) För en given funktion beräknas funktionen , där vektorpotentialen beräknas med formeln

{\mathbf {C}}(x,y,z)

{\mathbf {F_{2}}}(x,y,z)=\nabla \times {\mathbf {A}}

{\mathbf {A}}(x,y,z)

{\mathbf {A}}(x,y,z)=+{\frac {1}{4\pi }}\iiiint _{V}{\frac {{\mathbf {C}}(x',y ',z')}{{\sqrt {(xx')^{2}+(yy')^{2}+(zz')^{2))))}dx'dy'dz'

. Resultatet är en funktion för vilken och ;

{\mathbf {F_{2))}(x,y,z)

\nabla \cdot {\mathbf {F_{2}}}(x,y,z)=0

\nabla \times {\mathbf {F_{2}}}(x,y,z)={\mathbf {C}}(x,y,z)

3) Vi letar efter en funktion för vilken , , och den normala projektionen på gränsen av regionen är vald på ett sådant sätt att den uppfyller gränsvillkoret .

{\mathbf {F_{3))}(x,y,z)

\nabla \cdot {\mathbf {F_{3))}(x,y,z)=0

\nabla \times {\mathbf {F_{3}}}(x,y,z)=0

({\mathbf {n}}\cdot {\mathbf {F_{3}}})|_{{S}}

{\mathbf {F}}={\mathbf {F_{1}}}+{\mathbf {F_{2}}}+{\mathbf {F_{3}}}

({\mathbf {n}}\cdot {\mathbf {F}})|_{{S}}={\mathbf {g}}({\mathbf {S}})

För att hitta en sådan funktion görs en substitution , där skalärpotentialen måste uppfylla Laplace-ekvationen . För funktionen erhålls Neumann-gränsvillkoret och det är lätt att kontrollera att kriteriet för Neumann-problemets lösbarhet kommer att vara uppfyllt. Därför finns funktionen alltid, är unikt definierad för den externa uppgiften, och upp till en additiv konstant för den interna uppgiften. Som ett resultat finns den funktion vi behöver alltid och är unik.

{\mathbf {F_{3))}(x,y,z)

{\mathbf {F_{3}}}(x,y,z)=\nabla {\mathbf {H}}

{\mathbf {H}}(x,y,z)

\Delta {\mathbf {H}}=0

{\mathbf {H}}(x,y,z)

\left.{\frac {\partial {\mathbf {H}}}{\partial {\mathbf {n}}}}\right|_{{S}}={\mathbf {g(S)))- ({\mathbf {n}}\cdot ({\mathbf {F_{1}+F_{2}}}))

{\mathbf {H}}(x,y,z)

{\mathbf {F_{3))}(x,y,z)

Funktionen är en lösning för uppgiften, och den enda. Om gränsvillkoret inte är specificerat är lösningen på problemet alla möjliga funktioner i formen , där , är gradienten för en funktion som uppfyller Laplace-ekvationen. Om problemet finns i hela rymden R ³ blir den (unika) lösningen en funktion som har det önskade beteendet i oändligheten. ${\mathbf {F}}(x,y,z)={\mathbf {F_{1}}}(x,y,z)+{\mathbf {F_{2}}}(x,y,z) +{\mathbf {F_{3}}}(x,y,z)$ ${\mathbf {F}}(x,y,z)={\mathbf {F_{1}}}(x,y,z)+{\mathbf {F_{2}}}(x,y,z) +{\mathbf {F_{3}}}(x,y,z)$ ${\mathbf {F_{3))}(x,y,z)$ ${\mathbf {F}}(x,y,z)={\mathbf {F_{1}}}(x,y,z)+{\mathbf {F_{2}}}(x,y,z)$

Alternativ formulering av Helmholtz' teorem

Som ett resultat kan Helmholtz-satsen omformuleras i följande termer. Låt C vara ett solenoidalt vektorfält ( div C=0 ) och d ett skalärt fält i R ³, som är tillräckligt jämna och antingen ges i ett begränsat område eller minskar snabbare än 1/ r ² i oändligheten. Sedan finns det ett vektorfält F så att

\nabla \cdot {\mathbf {F}}=d

och

\nabla \times {\mathbf {F}}={\mathbf {C}}.

Om dessutom vektorfältet F beaktas i hela rymden R ³ och försvinner som r → ∞, så är F unikt. [2] I det allmänna fallet bestäms lösningen upp till en additiv additiv - gradienten av en godtycklig funktion som uppfyller Laplace-ekvationen.

Med andra ord, under vissa förhållanden kan ett vektorfält konstrueras från dess krullning och divergens, och när problemet definieras i hela rymden R ³ är lösningen unik (under det a priori antagandet att fältet försvinner i oändligheten ganska snabbt). Denna sats är av stor betydelse inom elektrostatik ; till exempel beskriver Maxwells ekvationer i det statiska fallet fält av just denna typ [2] . Som redan nämnts ovan, en av de möjliga lösningarna:

{\mathbf {F}}=-\nabla \,({\mathcal {G}}(d))+\nabla \times ({\mathcal {G}}({\mathbf {C}})).

Se även

Anteckningar

↑ Lee, 1965 , sid. femtio.
↑ 1 2 3 David J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics , Prentice-Hall, 1989, sid. 56.

Litteratur

Kochin N. E. — Vektorkalkyl och början av tensoranalys
Korn G. A., Korn T. M. Handbok i matematik för vetenskapsmän och ingenjörer . - M . : " Nauka ", 1974. - S. 177.
Li Tsung-dao . Matematiska metoder i fysik. - M . : Mir, 1965. - 296 sid.