Summa-produktsats

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 6 april 2020; kontroller kräver 25 redigeringar .

Sum-produktsatsen är en sats för aritmetisk kombinatorik som fastställer ostruktureringen av en tillräckligt stor mängd med avseende på åtminstone en av fältoperationerna (addition och multiplikation). Som indikator på strukturering används storleken på mängden summor respektive produktuppsättningen.

Formulering

Låta vara en delmängd av någon ring (vanligtvis ett fält , men formellt kan en ring också övervägas) med operationer och . Två derivator av uppsättningen beaktas: $A\subset {\mathbb {F} }$ ${\mathbb {F} }$ ${\mathbb {F} }$ $+$ $\cdot$ $A$

A+A=\left\lbrace {a_{1}+a_{2}:a_{1},a_{2}\in A}\right\rbrace

A\times A=\left\lbrace {a_{1}\cdot a_{2}:a_{1},a_{2}\in A}\right\rbrace

Om mängden är strukturerad med avseende på addition (till exempel, den har många aritmetiska progressioner, eller generaliserade aritmetiska progressioner, eller deras stora bitar), så kommer mängden att vara relativt liten - trots allt kommer summan av många par av element att sammanfalla . $A$ $A+A$

Om den är strukturerad med avseende på multiplikation, kommer mängden inte att vara särskilt stor , av liknande skäl. $A$ $A\times A$

Satsen säger att åtminstone en av uppsättningarna och är mycket stor med avseende på , det vill säga med avseende på åtminstone en av operationerna, kommer strukturen att vara oregelbunden. $A+A$ $A\times A$ $A$

Mer specifikt fastställer satsen en kraftlagstillväxt i storleken på den största av de härledda mängderna i förhållande till storleken på originalet:

Sats

För en konstant och en godtycklig mängd (för en ändlig , med begränsningar av storleken), är det sant att $\delta =\delta ({\mathbb {F} })>0$ $A\subset {\mathbb {F} }$ ${\mathbb {F} }$

\max \left\lbrace {|A+A|,|A\times A|}\right\rbrace >|A|^{1+\delta }

För olika ringar är det möjligt att få uppskattningar med olika . För vissa (särskilt för ändliga ) ringar är det också möjligt att lägga till villkor om storleken på den mängd som satsen gäller för det givna . $\delta$ $A$ $\delta$

Kantfodral

Det mest bekväma för att studera är extremfallen av hypotesen:

få summor, många produkter (FSMP) : om då [1] $|A+A|\ll |A|$ ${\displaystyle |AA|\geq |A|^{2-o(1)))$

få produkter, många summor (FPMS) : om , då [2] $|AA|\ll |A|$ ${\displaystyle |A+A|\geq |A|^{2-o(1)))$

Exempel

De klassiska exemplen för att illustrera summaproduktsatsen är aritmetisk progression och geometrisk progression . $A=\left\lbrace {1,\dots ,n}\right\rbrace$ $B=\left\lbrace {1,2,4,\dots ,2^{n-1}}\right\rbrace$

En aritmetisk progression är maximalt ordnad med avseende på addition, så dock kan många olika produkter göras från dess tal, så [3] , så med avseende på multiplikation är den helt oordnad. $|A+A|<2|A|$ $|A\times A|=\Omega \left({\frac {|A|^{2}}{\log |A|}}\right)$

På samma sätt, för en geometrisk progression, , men det är uppenbart (om vi betraktar den binära representationen av tal) att . $|B\ gånger B|<2|B|$ $|B+B|=\Omega (|B|^{2})$

Resultat

För reella tal

När summaproduktsatsen ibland också kallas Erdős-Szemeredis sats , eftersom det var de som 1983 tog upp frågan om att överväga förhållandet mellan antalet summor och produkter. I samma arbete för de fram hypotesen att värdet kan vara godtyckligt nära enhet (det vill säga ). Men i samma artikel lägger de fram flera fler hypoteser, i synnerhet en liknande för termer och mängder: . ${\mathbb {F} }={\mathbb {R} }$ $\varepsilon$ ${\displaystyle \max \left\lbrace {|A+A|,|A\times A|}\right\rbrace >|A|^{2-o(1)))$ $k$ ${\displaystyle \max \left\lbrace {|A+\dots +A|,|A\times \dots \times A|}\right\rbrace >|A|^{ko(1)))$

Kronologi för förbättring av värdering $\delta$ ${\displaystyle \max\{\|A+A\|,\|AA\|\}\geq \|A\|^{1+\delta -o(1)},\ A\subset {\mathbb {R} ))$
År	Menande $\delta$	Författarna)
1983	$1/31$ ()(*)	Erdős , Szemeredy [4] $1+\delta$ istället för $1+\delta -o(1)$
1998	$1/15$ ()(*)	Ford [5]
1997	$1/4$ (**)	Elekesh [6]
2005	$3/11$	Shoimoshi [7]
2009	$1/3$	Shoimoshi [8]
2015	${\frac {1}{3}}+{\frac {1}{20598}}\approx 0,333381...$	Konyagin , Shkredov [9]
2016	${\frac {1}{3}}+{\frac {5}{9813}}\approx 0,333842...$	Konyagin , Shkredov [10]
2016	${\frac {1}{3}}+{\frac {1}{1509}}\approx 0,333996...$	Rudnev, Shkredov, Stevens [11]
2019	${\frac {1}{3}}+{\frac {5}{5277}}\approx 0,334280...$	Shakan [12]
2020 (förtryck)	${\frac {1}{3}}+{\frac {2}{1167}}\approx 0,335047...$	Rudnev, Stevens [13]
() Endast för (*) Sant för grad istället för $A\subset {\mathbb {Z} }$ $1+\delta$ $1+\delta -o(1)$

För restfält modulo

Terence Tao noterar i sin monografi att problemet med att erhålla en analog av resultatet av Erdős och Szemeredy i fält ställdes 1999 av T. Wolf (i ett privat samtal) för undergrupper av kardinalitet av ordning . ${\displaystyle {\mathbb {F} }_{p))$ ${\displaystyle A\subset {\mathbb {F} }_{p))$ $p^{1/2}$

Summaproduktproblemet i löstes av Burgain , Glibbichuk och Konyagin och Burgain, Katz och Tao. De bevisade följande teorem ${\displaystyle {\mathbb {F} }_{p))$

För alla finns det så att om och , då uppskattningen $\varepsilon >0$ $\delta =\delta (\varepsilon )>0$ ${\displaystyle A\subset {\mathbb {F} }_{p))$ $|A|<p^{1-\varepsilon }$

\max \left\lbrace {|A+A|,|A\times A|}\right\rbrace \geq |A|^{1+\delta }

I tillståndet för satsen är kravet naturligt, eftersom om det har en ordning nära , då både kvantiteter och kommer att vara nära för att . [fjorton] $|A|<p^{1-\varepsilon }$ $|A|$ $sid$ $|A+A|$ $|A\ gånger A|$ $|A|$

För godtyckliga ringar

Terence Tao undersökte gränserna för möjligheten att generalisera satsen till godtyckliga ringar och i synnerhet kopplingen av extremfallen av små värden på och med antalet nolldelare i en uppsättning och dess strukturs närhet till en subring . [femton] $|A+A|$ $|A\cdot A|$ $A$

Bevismetoder

För reella tal

Första beviset

Beviset för Erdős och Szemeredi använde det faktum att för små och det finns en lösning på systemet $|A+A|$ $|A\ gånger A|$

{\begin{cases}b_{1}+b_{3}=b_{2}+b_{4}\\b_{1}b_{5}=b_{2}b_{6}\ ,\ slut{cases}}

där tillhör vissa (olika) delmängder och särskilda villkor ställs på själva uppsättningen. Genom att använda ett sådant påstående som ett lemma, kan man bevisa satsen för en godtycklig mängd också . [16] $bi}$ $A$ $A$ $A$

Semeredi-Trotter-satsen (Elekesh, 1997)

Om alla element har många representationer i formen för några små uppsättningar , ska man uppskatta antalet lösningar till ekvationen $a\i A$ ${\displaystyle a=p_{1}p_{2},\ p_{1}\in \Pi _{1},\ p_{2}\in \Pi _{2))$ ${\displaystyle \Pi _{1}\Pi _{2))$

a+b=c,\ a\in A,\ b\in B,\ c\in C\ .

med alla uppsättningar kan du använda ekvationen $FÖRE KRISTUS$

p_{1}p_{2}+b=c,\ p_{1}\in \Pi _{1},\ p_{2}\in \Pi _{2},\ b\in B, \c\in C\ .

Å andra sidan motsvarar lösningar av en sådan ekvation incidensen mellan linjer, som parametriseras av par och punkter, som parametriseras av par . Därför, för att uppskatta dem, visar det sig vara bekvämt att använda allmänna resultat på incidenser, varav det bästa är Szemeredy-Trotter-satsen . [17] [18] $(p_{1},b)$ $(p_{2},c)$

Detta är exakt vad Elekesh använde för att bevisa exponentsatsen . [6] Implicit kan dess bevis delas in i två steg: $\delta ={\frac {1}{4}}$

ekvationsanalys (trivial, via expansion ) $a+b=c,\ a\in A,b\in B,c\in C$ $\Pi _{1}:=AA,\ \Pi _{2}:=1/A$

tillämpning av erhållna uppskattningar (triviala, för ) $B:=A,\ C:=A+A$

Denna nedbrytning är viktig för att förstå senare metoder .

Shoimoshis konstruktion (Shoimoshi, 2009)

Shoimoshi använde det faktum att om , då ${\frac {a}{b}}<{\frac {c}{d}}$

{\frac {a}{b}}<{\frac {a+c}{b+d}}<{\frac {c}{d}}\ .

Av detta följer att om , då ${\frac {a_{1}}{b_{1}}}<{\frac {a_{2}}{b_{2}}}<{\frac {a_{3}}{b_{3 }}}$

{\frac {a_{1}+a_{2}}{b_{1}+b_{2}}}<{\frac {a_{2}+a_{3}}{b_{2}+ b_{3}}}\ .

Samtidigt, för fasta värden , alla par bildade av representationer $\lambda \in A/A,\ \mu \in A/A$ $(a+c,b+d)$

\lambda ={\frac {a}{b)),\ \mu ={\frac {c}{d)),\ a,b,c,d\in A

kommer att vara annorlunda, därför summerar vi dem över "angränsande" par , kan vi få en uppskattning för i termer av antalet sådana representationer. Och det i sin tur uttrycks (indirekt) genom . [19] $(\lambda ,\mu )$ $|A+A|$ $|AA|$

Denna idé kan tydligast uttryckas geometriskt, eftersom summeringen av punkter från det som ligger på intilliggande linjer som utgår från koordinatcentrum. $A\times A$

Nedbrytning av Shoimoshis konstruktion (Konyagin, Shkredov, 2015)

Om villkoret att de summerade poängen måste tillhöra angränsande linjer tas bort från Shoimoshis konstruktion, kommer ingenting att garantera att alla resulterande summor kommer att vara annorlunda. Till exempel, i allmänhet kan alla summor av poäng från endast vara olika i extremfallet , och det uppfyller redan summaprodukthypotesen. $A\times A$ $|A+A|\gg |A|^{2}$

Baserat på detta uppskattade Konyagin och Shkredov det minsta antalet sammanträffanden av sådana summor i det mellanliggande fallet (när och är lika med den lägre uppskattningen, det vill säga ). För att uppskatta antalet matchningar delade de upp alla rader i block med samma antal på varandra följande och uppskattade antalet matchningar i varje block för de flesta av dem. Med hjälp av dessa uppskattningar fick de ett resultat med . [tjugo] $|A+A|$ $|AA|$ $|A|^{4/3}$ $\delta >{\frac {1}{3}}$

Icke-trivial multiplikativ expansion (Rudnev och Stevens, 2020)

Sammanträffandet av de två poängsummorna som Konyagin och Shkredov betraktar betyder att det finns en lösning på ekvationssystemet

{\begin{cases}\lambda _{1}a_{1}+\lambda _{2}a_{2}=\lambda _{3}a_{3}+\lambda _{4}a_{ 4}\\a_{1}+a_{2}=a_{3}+a_{4}\ ,\end{cases}}

där både alla och paren är olika. Genom att reducera systemet enligt Gaussmetoden (i ett steg) kan man få ekvationen $(a_{i},\lambda _{i}a_{i})\in A\times A$ $\lambda _{i}$ $(\lambda _{1},\lambda _{2}),(\lambda _{3},\lambda _{4})$

{\displaystyle a_{3}=c_{1}a_{1}-c_{2}a_{2))

med konstanta och samma villkor på . Rudnev och Stevens tillämpade detta för att explicit konstruera en multiplikativ expansion av en stor delmängd med bättre egenskaper än den triviala. [21] $c_1, c_2$ $a_{1},a_{2}$ $A$

I analogi med Elekeshs bevis tillåter detta oss att dela upp beviset för uppskattningar med exponent i två steg: $\delta ={\frac {1}{3}}+c$

tillämpning av en ny multiplikativ expansion;

en icke-trivial tillämpning av ekvationen för att uppskatta . [22] $ab=c$ $|A+A|$

Användning av högre energier

Det mest populära sättet att använda ekvationer för att uppskatta är att använda additiv energi och dess generaliseringar. Resultaten av att tillämpa Szemeredy-Trotter-satsen gör det möjligt att bäst analysera formens ekvationer $|A+A|$

E_{3}(A,D):=\{(a_{1},a_{2},a_{3},d_{1},d_{2},d_{3})\i A ^{3}\ gånger D^{3}\ :\ a_{1}-d_{1}=a_{2}-d_{2}=a_{3}-d_{3}\}

för godtyckligt . Rudnev och Stevens föreslog en metod för att utnyttja denna tillsatsenergi genom att överväga ekvationen $D$

d=(a+b)-(a+c)\,\ a,b,c\in A,\ d\in D\ ,

där motsvarar uppsättningen populära (med ett stort antal representationer) skillnader, och tillhör uppsättningen populära summor. Förutom problemet med summaprodukter är utvecklingen av sådana metoder relevant för att uppskatta summan av konvexa sekvenser . [23] $D$ $a+b$

Det finns en liknande operatormetod, som är mindre effektiv för att uppskatta , men som gör att du bättre kan studera sambandet mellan och . [24] $|A+A|$ $E(A)$ $|AA|$

För enkla fält

När man bevisar satsen för , används begreppet additiv energi , Plünnecke-Rouge-ojämlikheten och Balogh-Szemeredi-Gowers uppskattningar i stor utsträckning. Ett möjligt bevis använder en nedre gräns på mängden storlek och det faktum att från de övre gränserna på storlekarna och följer en motsägelsefull nedre övre gräns på storleken . [25] [26] ${\displaystyle {\mathbb {F} }={\mathbb {F} }_{p))$ $R(A)=A\left({{\frac {A\times AA\times A}{AA))+A}\right)$ $A+A$ $A\times A$ $R(A)$

Applikationer

Bourgain , Glibichuk och Konyagin [27] använde ett särskilt fall av satsen för att uppskatta multilinjära trigonometriska summor . Detta gjorde det i synnerhet möjligt att erhålla icke-triviala övre gränser för Gauss-summor över små multiplikativa undergrupper . [28] Bourgain, Katz och Tao , med samma fall, stärkte uppskattningen i Szemeredy-Trotter-problemet i och bevisade att för en uppsättning par för en uppsättning punkter från och linjer för , gäller uppskattningen för vissa . [29] ${\displaystyle {\mathbb {F} }={\mathbb {F} }_{p))$ ${\Bigg \vert }{\sum \limits _{g\in G}{e^{2\pi {\frac {ag}{p}}i}}}{\Bigg \vert }={ \Bigg \vert }{\sum \limits _{x=0}^{p-1}{e^{2\pi {\frac {ax^{n}}{p}}i}}}{\Bigg \vert}$ $G\subset {\mathbb {F} }_{p}^{*},\ |G|={\frac {p-1}{n))$ ${\displaystyle {\mathbb {F} }_{p))$ $I=\left\lbrace {(p,l):p\in l,p\in P,l\in L}\right\rbrace$ $P$ $\left({{\mathbb {F} }_{p}}\right)^{2}$ $L$ $|P|=|L|=n$ $|I|\leq n^{{\frac {3}{2}}-\varepsilon }$ $\varepsilon >0$

I samma arbete tillämpade de satsen för att undersöka Kakeyi-uppsättningar i högdimensionell rymd . För storleken på en sådan uppsättning fick de en uppskattning . [26] [29] ${\displaystyle ({\mathbb {F} }_{p})^{d))$ $|S|>p^{{\frac {d}{2}}+1+10^{-10}}$

Gränser för möjlig förbättring av hypotesen

I samma artikel där Erdős och Szemeredi antog att för , presenterade de också ett exempel på att konstruera en godtyckligt stor uppsättning för vilken . Uppsättningen av tal som erhålls som en produkt av inte mer än primtal (inte nödvändigtvis olika) fungerade som en sådan uppsättning , som var och en inte överstiger , där är ett godtyckligt tillräckligt stort tal. [16] $\max \left\lbrace {|A+A|,|A\times A|}\right\rbrace >c(\delta )|A|^{2-\delta }$ $A\subset {\mathbb {Z} },\ \delta >0$ $A$ ${\displaystyle |A+A|+|A\ gånger A|\leq |A|^{2-{\frac {c}{\log \log |A|))))$ $2\left\lfloor {\frac {\log x}{6\log \log x))\right\rfloor$ ${\displaystyle (\log x)^{3))$ $x$

Generaliseringar

För en kombination av operationer

Bourgain och Chang övervägde uppskattningar av formen

\max\{|\underbrace {A+\dots +A} _{k}|,|\underbrace {A\times \dots \times A} _{k}|\}\geq |A|^{ b(k)}

för en godtycklig och . [trettio] $k$ $b(k)\to \infty$

I många verk kombineras addition och multiplikation i ett uttryck : till exempel erhålls ovillkorliga nedre gränser för . [31] $|AA+AA|$

För en uppsättning par av termer/faktorer

En av gissningarnas generaliseringar är frågan om summor och produkter som motsvarar kanterna på en godtycklig graf på elementen i en mängd.

Låta vara en graf, , . Beteckna och med jämlikheterna $G=(A,E)$ $E\subset A\times A$ $|A|=n$ $c$ $\delta$

$|E|=n^{1+c}$

${\displaystyle \max\{|A+_{G}A|,|A\cdot _{G}A|\}=n^{1+\delta ))$ , var , $A+_{G}A:=\{a+b:(a,b)\in E\}$ ${\displaystyle A\cdot _{G}A:=\{ab:(a,b)\in E\))$

Hur är värderingarna och beroende av varandra ? $c$ $\delta$ $|A|\to \infty$

I motsats till fallet kan det inte förekomma någon extrem tillväxt av vare sig summorna eller produkterna: vid , är situationen möjlig när [32] . Därför, förutom nedre gränser, frågan om övre gränser för . Men även nedre gränser studeras. [33] [34] $G=A\ gånger A$ $c<1$ $\delta <c$ $\max\{|A+A|,|AA|\}$

För att uppskatta energierna

De nedre gränserna för storleken på mängden summor kan lätt härledas från de övre gränserna för den additiva energin , så det är naturligt att generalisera hypotesen om den första till hypotesen om den andra, med hjälp av ett liknande koncept för multiplikativ energi .

Men en uppsättning tal kan mycket väl ha båda energierna stora samtidigt, eftersom den lägre skattningen kan styras av bidraget från en separat delmängd. Till exempel, om , då för en uppsättning är det sant att ${\displaystyle E^{+}(A_{1})\gg |A|^{3},E^{\times }(A_{2})\gg |A|^{3))$ $A=A_{1}\cup A_{2}$

\min\{E^{+}(A),E^{\times }(A)\}\geq \min\{E^{+}(A_{1}),E^{\times }(A_{2})\}\gg |A|^{3}\ .

Därför, när man formulerar motsvarande energisats, används förhållandet mellan energierna för olika delmängder .

Balogh-Wooly teorem

Det finns en konstant sådan att det för varje uppsättning finns en partition med villkoret $\delta>0$ $A\subset {\mathbb {R} }$ $A=B\sqcup C$

{\displaystyle E^{+}(B)\leq |A|^{3-\delta },\ E^{\times }(C)\leq |A|^{3-\delta ))

Den bästa versionen av detta teorem har bevisats för . [12] Det är känt att detsamma inte är sant för . [35] $\delta ={\frac {7}{26}}-o(1)$ $\delta >{\frac {2}{3}}$

För godtyckliga konvexa funktioner

Multiplikationen av två tal kan representeras som en funktion av additionen av deras logaritmer: . Den elementära tillämpningen av en strikt ökande funktion på en uppsättning ändrar inte dess storlek, så $ab=\exp(\log a+\log b)$

|AA|=|\exp(\log A+\log A)|=|\log A+\log A|

och den grundläggande summaprodukthypotesen kan omformuleras som

{\displaystyle \max\{|A+A|,|\log A+\log A|\}\geq |A|^{2-o(1)))

eller (ersätter ) som $A:=\log A$

\max\{|\exp(A)+\exp(A)|,|A+A|\}\geq |A|^{2-o(1)}\ .

Det visar sig att liknande uppskattningar kan bevisas för en godtycklig konvex funktion istället för . $\exp$

Sats [36]

Om är en godtycklig mängd, är en godtycklig strikt konvex funktion, alltså $A\subset {\mathbb {R} }$ ${\displaystyle f:{\mathbb {R} }\to {\mathbb {R} ))$

{\displaystyle \max\{|AA|,|f(A)+f(A)|\}\geq |A|^{14/11-o(1)))

{\displaystyle \max\{|A+A|,|f(A)+f(A)|\}\geq |A|^{24/19-o(1)))

Frågan om samma uppskattningar med indikatorn på höger sida är korrekta är fortfarande öppen. $2-o(1)$

Liknande resultat erhölls även för ett större antal termer. [37]

Litteratur

Garaev M. Z. Summor och produkter av mängder och uppskattningar av rationella trigonometriska summor i områden av prime ordning // Framsteg i matematiska vetenskaper . - Ryska vetenskapsakademin , 2010. - T. 65 , nr. 4 (394) . - S. 5-66 . doi :/ rm9367 . (ryska)

P. Erdös, E. Szemeredi. Om summor och produkter av heltal (engelska) // Birkhäuser Verlag. - 1983. - S. 213-218 .

M. Nathanson. Om summor och produkter av heltal (engelska) // Proceedings of the American Mathematical. - 1997. - Vol. 125 , iss. 1 .

K. Ford. Summor och produkter från en ändlig uppsättning reella tal // The Ramanujan Journal. - 1998. - Vol. 2 . — S. 59–66 .

G. Elekes. Om antalet summor och produkter (engelska) // Acta Arithmetica. - 1997. - Vol. 81 , iss. 4 . — S. 365–367 .

J. Solymosi. Begränsa multiplikativ energi med summan // Framsteg i matematik. - 2009. - Vol. 222 , utg. 2 . — S. 402–408 . - arXiv : 0806.1040v3 .

SV Konyagin, ID Shkredov. På summa set av set med liten produktuppsättning // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. - 2015. - Vol. 290 . — S. 288–299 . - arXiv : 1503.05771 .

SV Konyagin, ID Shkredov. Nya resultat på summa-produkter i . - 2016. - arXiv : 1602.03473 . ${\mathbb {R} }$

M. Rudnev, ID Shkredov, S. Stevens. Om The Energy Variant of the Sum-Product Conjecture // Revista Matemática Iberoamericana. - 2020. - Vol. 36 , iss. 1 . — S. 207–232 . - arXiv : 1607.05053 .

G. Shakan. Om högre energinedbrytningar och fenomenet summa-produkt (engelska) // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. - 2019. - Vol. 167 , iss. 3 . — S. 599–617 . - arXiv : 1803.04637 .

M. Rudnev, S. Stevens. En uppdatering om summaproduktproblemet . - 2020. - arXiv : 2005.11145 .

G. Elekes, IZ Ruzsa. Få summor, många produkter (engelska) // Studia Scientiarum Mathematicarum Hungarica. - 2003. - Vol. 40 , iss. 3 . — S. 301–308 .

B. Murphy, M. Rudnev, I. Shkredov, Y. Shteinikov. På de få produkterna, många summor problem // Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux. - 2019. - Vol. 31 , iss. 3 . - s. 573-602 . - arXiv : 1712.00410 .

N. Alon, I. Ruzsa, J. Solymosi. Summor, produkter och förhållanden längs kanterna på en graf // Publicacions Matemàtiques . - 2020. - Vol. 64 , iss. 1 . — S. 143–155 . - arXiv : 1802.06405 .

N. Alon, O. Angel, I. Benjamini, E. Lubetzky. Summor och produkter längs glesa grafer // Israel Journal of Mathematics. - 2012. - Vol. 188 , iss. 1 . — S. 353–384 . - arXiv : 0905.0135 .

I. Shkredov, J. Solymosi. Enhetlighetsförmodan i additiv kombinatorik . - 2020. - arXiv : 2005.11559 .

J. Solymosi. Om antalet summor och produkter (engelska) // Bulletin of the London Mathematical Society. - 2005. - Vol. 37 , iss. 4 . - s. 491-494 .

A. Balog, T.D. Wooley. A low-energy decomposition theorem (engelska) // The Quarterly Journal of Mathematics. - 2017. - Vol. 68 , iss. 1 . — S. 207–226 . - arXiv : 1510.03309 .

B. Hanson, O. Roche-Newton, M. Rudnev. Högre konvexitet och itererade summamängder . - 2020. - arXiv : 2005.00125 .

L. Li, O. Roche-Newton. Konvexitet och en summa-produkttypsuppskattning // Acta Arithmetica. - 2012. - Vol. 156 . — S. 247–255 . - arXiv : 1111.5159v1 .

J. Bourgain, M.-C. Chang. Om storleken på -faldig summa och produktuppsättningar av heltal $k$ // Journal of the American Mathematical Society. - 2004. - Vol. 17 , iss. 2 . — S. 473–497 . — arXiv : math/0309055 .

K. I. Olmezov, A. S. Semchenkov, I. D. Shkredov. Om populära summor och skillnader för mängder med liten multiplikativ dubblering // Matematiska anteckningar. - 2020. - T. 108 , nr. 4 . — S. 561–571 . - arXiv : 1911.12005 . (ryska)

Anteckningar

↑ Löst i Elekes, Ruzsa, 2003
↑ Murphy, Rudnev, Shkredov, Shteinikov , 2019 fick bättre resultat än i det allmänna fallet
↑ Källa . Hämtad 21 januari 2018. Arkiverad från originalet 22 januari 2018. (obestämd)
↑ Den första uppsatsen av Erdös, Szemerédi, 1983 specificerade inte innebörden av , utan bevisade bara existensen av . Men att direkt följa resonemanget i det arbetet visar att det är korrekt för . Detta värde nämns uttryckligen senare i Nathanson, 1997 $\delta$ $\delta =1/31$
↑ Ford, 1998 .
↑ 12 Elekes , 1997 .
↑ Solymosi, 2005 .
↑ Solymosi, 2009 .
↑ Konyagin, Shkredov, 2015 .
↑ Konyagin, Shkredov, 2016 .
↑ Rudnev, Shkredov, Stevens, 2020 .
↑ 12 Shakan , 2019 .
↑ Rudnev, Stevens, 2020 .
↑ Garaev, 2010 , sid. 1-2.
↑ Tao, Terence (2009), The summa-product phenomenon in arbitrary rings, Contributions to Discrete Mathematics vol. 4 (2): 59–82, hdl: 10515/sy5r78637 .
↑ 1 2 Erdös, Szemeredi, 1983 .
↑ Se Rudnev och Stevens, 2020 , Lemma 3
↑ På liknande sätt kan sönderdelning användas för analys . Se Rudnev och Stevens, 2020 , Lemma 4. ${\displaystyle a=p_{1}-p_{2},\ p_{1}\i \Pi _{1},\ p_{2}\in \Pi _{2))$ $E^{\times }(A)$
↑ Se Solymosi, 2009 , formel (2).
↑ Se Konyagin och Shkredov, 2015 , bevis på Lemma 10
↑ Se Rudnev och Stevens, 2020 , sid. 10 (efter förslag 1)
↑ Om det är trivialt att tillämpa dessa uppskattningar, på samma sätt som för Elekesh, blir resultatet $\delta ={\frac {1}{3}}$
↑ Se Rudnev, Stevens, 2020 , sats 5, särskilt formel (25)
↑ Se Olmezov, Semchankau, Shkredov, 2020 , sats 2
↑ Garaev, 2010 , sid. 14-25.
↑ 1 2 Minikurs i additiv kombinatorik Arkiverad 29 augusti 2017 på Wayback Machine , föreläsningsanteckningar vid Princeton University
↑ J. Bourgain, A.A. Glibichuk, S.V. Konyagin, "Uppskattningar för antalet summor och produkter och för exponentiella summor i fält av prime ordning", J. London Math. soc. (2), 73:2 (2006), 380-398. . Hämtad 21 januari 2018. Arkiverad från originalet 22 januari 2018. (obestämd)
↑ Garaev, 2010 , sid. 7-9.
↑ 1 2 K. N. Bourgain, J. och T. Tao. En summaproduktuppskattning i ändliga fält och applikationer. GAFA, 14(1):27-57, 2004. arXiv: math/0301343 Arkiverad 22 januari 2018 på Wayback Machine
↑ Bourgain, Chang, 2004 .
↑ Rudnev, Stevens, 2020 , sats 2
↑ Alon, Ruzsa, Solymosi, 2020 , sats 3
↑ Alon, Angel, Benjamini, Lubetzky, 2012 , utredning 4
↑ Shkredov, Solymosi, 2020 , sats 3
↑ Balog, Wooley, 2017 , sats 1.2
↑ Li, Roche-Newton, 2012 , satser 1.1, 1.2
↑ Hanson, Roche-Newton, Rudnev, 2020 , sats 1.4