Gauss summa

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 24 juni 2020; kontroller kräver 2 redigeringar .

I matematik förstås Gauss summan som en viss typ av ändliga summor av rötter från enhet , som regel skrivna i formen

Här tas summan över alla element r i någon finit kommutativ ring R , ψ( r ) är homomorfismen för den additiva gruppen R + in i enhetscirkeln och χ( r ) är homomorfismen för gruppen av enheter R × in enhetscirkeln förlängd med 0. Gauss-summor är analoga med gammafunktioner för fallet med ändliga fält .

Dessa summor förekommer ofta i talteorin , särskilt i de funktionella ekvationerna för Dirichlet L-funktioner .

Carl Friedrich Gauss använde egenskaperna hos summor för att lösa vissa problem inom talteorin, i synnerhet använde han dem i ett av bevisen för den kvadratiska lagen om ömsesidighet . Inledningsvis förstods Gauss-summor som kvadratiska Gauss-summor , för vilka R  är fältet av rester modulo p , och χ är Legendre-symbolen . För detta fall visade Gauss att G (χ) = p 1/2 eller ip 1/2 när p är kongruent med 1 respektive 3 modulo 4.

En alternativ form för att skriva Gausssumman:

Den allmänna teorin om Gauss summor utvecklades i början av 1800-talet med Jacobis summor och deras primtalsfaktoriseringar i cirkulära fält .

Betydelsen av Gauss summor för talteorin avslöjades först på 1920-talet. Vid denna tid tillämpade Hermann Weyl mer allmänna trigonometriska summor för att studera enhetliga fördelningar , senare kallade Weyl-summor. Samtidigt använde I. M. Vinogradov Gauss-summor för att erhålla en övre uppskattning för den minsta kvadratiska nonresidue modulo p. Gausssummor gör det möjligt att upprätta ett samband mellan två viktiga objekt för talteorin: multiplikativa och additiva tecken. Kvadratiska Gauss summor är nära besläktade med teorin om θ-funktioner .

Det absoluta värdet av Gauss summor brukar hittas med Plancherels sats för ändliga grupper . I fallet där R  är ett fält av p element och χ är icke-trivialt, är det absoluta värdet lika med p 1/2 . Att beräkna det exakta värdet av de totala Gausssummorna är inte en lätt uppgift.

Egenskaper för Gauss summor för Dirichlet-karaktären

Gauss summa för Dirichlet-karaktären modulo N

Om χ är primitiv då

och, i synnerhet, är inte lika med noll. Mer generellt, om N 0  är en ledare med tecknet χ och χ 0  är ett primitivt Dirichlet-tecken modulo N 0 som inducerar χ, då

där μ är Möbius-funktionen .

Det följer av detta att G (χ) är icke-noll om och endast om N / N 0 är kvadratfri och relativt primtal till N 0 .

Relationen

där χ  är den komplexa konjugationen av Dirichlet-tecken.

Om χ′ är ett Dirichlet-tecken modulo N ′ så att N och N ′ är coprime, då

Se även

Litteratur

Upplagor på ryska

Jigkaraktär