Mertens satser

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 24 april 2021; verifiering kräver 1 redigering .

Mertens satser är tre 1874 resultat relaterade till tätheten av primtal , bevisade av Franz Mertens [1] . Namnet "Mertens sats" kan också syfta på hans sats i analys .

I talteorin

Nedan betyder alla primtal som inte överstiger n . $p\leqslant n$

Mertens första teorem :

\sum _{p\leqslant n}{\frac {\ln p}{p}}-\ln n

inte överstiger 2 i absolut värde för någon . (sekvens A083343 i OEIS ) $n \geqslant 2$

Mertens andra sats :

\lim _{n\to \infty }\left(\sum _{p\leqslant n}{\frac {1}{p}}-\ln \ln nM\right)=0,

där M är Meissel-Mertens konstant (sekvens A077761 i OEIS ). Mertens [1] bevisade närmare bestämt att uttrycket inom parentes inte överstiger det absoluta värdet

{\frac {4}{\ln(n+1)))+{\frac {2}{n\ln n))

för någon . $n \geqslant 2$

Mertens tredje sats :

\lim _{n\to \infty }\ln n\prod _{p\leqslant n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)=e^{-\gamma },

där y är Euler-Mascheroni-konstanten (sekvens A001620 i OEIS ).

Byt tecken

I Robins artikel [2] om graden av tillväxt av summan av divisorfunktionen , publicerad 1983, bevisade Guy Robin att i Mertens andra sats skillnaden

\sum _{p\leqslant n}{\frac {1}{p}}-\ln \ln nM

byter tecken oändligt många gånger, och i Mertens tredje sats skillnaden

\ln n\prod _{p\leqslant n}\left(1-{\frac {1}{p}}\right)-e^{-\gamma }

byter också tecken oändligt många gånger. Robins resultat liknar Littlewoods berömda teorem , att skillnaden byter tecken oändligt många gånger. Ingen analog till Skewes-talet (den övre gränsen för det första naturliga talet x för vilket ) är känd för 2:a och 3:e Mertens-satserna. $\pi(x)-li(x)$ $\pi (x)>li(x)$

Mertens andra sats och primtalssatsen

När det gäller den asymptotiska formeln påpekar Mertens i sin artikel "två nyfikna Legendre-formler" [1] , den första är prototypen av Mertens andra sats (och den andra är prototypen av Mertens tredje sats - se de första raderna i artikel). Han påpekar att formeln finns i den tredje upplagan av Legendres Théorie des nombres (1830; faktiskt nämnde han den i den andra upplagan, 1808), och att en mer utarbetad version bevisades av Chebyshev 1851 [3] . Notera att redan 1737 visste Euler det asymptotiska beteendet hos denna summa [4] .

Mertens beskriver diplomatiskt sitt bevis som mer precist och rigoröst. Faktum är att inget av de tidigare bevisen är acceptabla med moderna standarder – Eulers beräkningar involverar oändligheten (den hyperboliska logaritmen för oändligheten och logaritmen för oändlighetens logaritm!), Legendres argument är heuristiska, och Chebyshevs bevis, även om de är oklanderliga, förlitar sig på Legendre -Gauss gissningar, som bara har bevisats 1896 och därefter blev känd som primtalssatsen .

Mertens bevis hänvisar inte till någon obevisad gissning (år 1874) och använder elementär realanalys. Beviset publicerades 22 år före det första beviset för primtalssatsen, som till skillnad från Mertens bevis bygger på en noggrann analys av Riemanns zetafunktions beteende som funktion av en komplex variabel. Mertens bevis i detta avseende är anmärkningsvärt. Dessutom, i modern notation , ger det efter

\sum _{p\leqslant x}{\frac {1}{p}}=\log \log x+M+O(1/\log x)

med hänsyn till det faktum att det är möjligt att visa ekvivalensen av satsen om fördelningen av primtal (i dess enklaste form utan feluppskattning) till formeln [5]

\sum _{p\leqslant x}{\frac {1}{p}}=\log \log x+M+o(1/\log x).

År 1909 bevisade Landau , med hjälp av en mer perfekt version av satsen om fördelningen av primtal, [6] att

\sum _{p\leqslant x}{\frac {1}{p}}=\log \log x+M+O(e^{-(\log x)^{1/14)))

Speciellt är felet mindre än för något fast heltal k . Enkel summering av delar , med den starkaste formen av primtalssatsen, förbättrar formeln till ${\displaystyle 1/(\log x)^{k))$

\sum _{p\leqslant x}{\frac {1}{p}}=\log \log x+M+O(e^{-c(\log x)^{3/5}( \log \log x)^{-1/5}})

för vissa . $c>0$

I summerbarhetsteori

I summeringsteorin säger Mertens teorem att om en reell eller komplex oändlig serie

\sum _{{n=1}}^{\infty }a_{n}

konvergerar till A och den andra serien

\sum _{{n=1}}^{\infty }b_{n}

konvergerar absolut till B , sedan konvergerar deras Cauchy-produkt till AB .

Anteckningar

↑ 1 2 3 Mertens, 1874 , sid. 46–62.
↑ Robin, 1983 , sid. 233–244.
↑ Tchebychev, 1851 , sid. 141–157.
↑ Euler, 1737 , sid. 160–188.
↑ Även om denna motsvarighet till exempel inte uttryckligen nämns här, kan den lätt utläsas från materialet i kapitel I.3 i G. Tenenbaums bok ( Tenenbaum 1995 )
↑ Landau, 1909 .

Litteratur

Mertens F. Ein Beitrag zur analytischen Zahlentheorie // J. reine angew. Math.. - 1874. - T. 78 .
Robin G. Sur l'ordre maximum de la fonction somme des diviseurs // Séminaire Delange–Pisot–Poitou, Théorie des nombres (1981–1982). Framsteg i matematik. - 1983. - T. 38 .
Tchebychev P.L. - 1851. - T. VI .
Leonhard Euler. Variae observationes circa series infinitas // Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae. - 1737. - T. 9 .
Tenenbaum G. Introduktion till analytisk och probabilistisk talteori / CB Thomas (Översatt från den andra franska upplagan, 1995). - Cambridge: Cambridge University Press, 1995. - V. 46. - (Cambridge Studies in Advanced Mathematics).
Edmund Landau. Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen . - Leipzig: Teubner, 1909. Repr. Chelsea New York 1953, § 55, sid. 197-203.
V. I. Zenkin. Fördelning av primtal. Elementära metoder. Kaliningrad, 2008.

Läsning för vidare läsning

Prahar K. Fördelningen av primtal. — M.: Mir, 1967.

Yaglom A.M. , Yaglom I.M. Icke-elementära uppgifter i en elementär presentation. - M.: Gostekhizdat, 1954.Uppgifter 167, 169, 170

Länkar

Weisstein, Eric W. Mertens Constant (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
Sondow, Jonathan och Weisstein, Eric W. Mertens Teorem (engelska) på Wolfram MathWorlds webbplats .
Weisstein, Eric W. Mertens' Second Theorem (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .