Fredholms teori

Fredholms teori är en gren av teorin om integralekvationer ; i snäv bemärkelse - studera Fredholms integralekvationer , i en bred tolkning - representerande en uppsättning metoder och resultat i Fredholms operatorers spektralteori och använda begreppet Fredholms kärnor i ett Hilbertrum .

Uppkallad efter huvudutvecklaren - svenske matematikern Erik Ivar Fredholm .

Homogena ekvationer

Mycket av Fredholms teori handlar om att hitta lösningar på integralekvationen :

g(x)=\int _{a}^{b}K(x,y)f(y)\,dy

Denna ekvation uppstår naturligtvis i många problem inom fysik och matematik, som en inversion av en differentialekvation . Det vill säga uppgiften är att lösa differentialekvationen:

lg(x)=f(x)

var funktionen är given och är okänd. Här är en linjär differentialoperator . Till exempel kan du ta för den elliptiska operatorn : $f$ $g$ $L$ $L$

L={\frac {d^{2}}{dx^{2}}}

i ett sådant fall blir ekvationen som löses Poisson-ekvationen . Den allmänna metoden för att lösa sådana ekvationer är att använda den grönas funktioner , det vill säga utan att agera direkt, för att försöka lösa ekvationen:

LK(x,y)=\delta (xy)

var är Dirac delta-funktionen . Ytterligare: $\delta(x)$

g(x)=\int K(x,y)f(y)\,dy

Denna integral är skriven i form av Fredholms integralekvation . Funktionen är känd som den gröna funktionen , eller kärnan i integralen . $K(x,y)$

I allmän teori, och kan tillhöra vilken mångfald som helst ; verklig linje eller -dimensionellt euklidiskt rum i de enklaste fallen. Den allmänna teorin kräver också ofta att funktioner tillhör ett givet funktionsrum : ofta rummet av kvadratintegrerbara funktioner eller Sobolev-rummet . $x$ $y$ $m$

Funktionsutrymmet som faktiskt används bestäms ofta för att lösa egenvärdesproblemet för en differentialoperator; det vill säga enligt lösningarna:

L\psi _{n}(x)=\omega _{n}\psi _{n}(x)

var är egenvärden och är egenvektorer. Mängden egenvektorer bildar ett Banach-rum , och där den naturliga inre produkten finns , sedan ett Hilbert-rum , som Riesz sats gäller . Exempel på sådana utrymmen är ortogonala polynom , som förekommer som lösningar till en klass av andra ordningens vanliga differentialekvationer . $\omega_{n}$ $\psi _{n}(x)$

Med ett Hilbert-utrymme kan kärnan skrivas i formen:

K(x,y)=\summa _{n}{\frac {\psi _{n}^{*}(x)\psi _{n}(y)}{\omega _{n))}

var är dubbel till . I denna form kallas objektet ofta för Fredholm-operatören eller Fredholmskärnan . Att detta är samma kärna följer av fullständigheten av Hilberts rymdbas, nämligen: $\psi _{n}^{*}$ $\psi_{n}$ $K(x,y)$

\delta (xy)=\summa _{n}\psi _{n}^{*}(x)\psi _{n}(y)

Eftersom det vanligtvis ökar, minskar de resulterande egenvärdena för operatören mot noll. $\omega_{n}$ $K(x,y)$

Inhomogena ekvationer

Inhomogen Fredholm integralekvation:

f(x)=-\omega \phi (x)+\int K(x,y)\phi (y)\,dy

kan skrivas formellt som:

f=(K-\omega )\phi

Då är den formella lösningen:

\phi ={\frac {1}{K-\omega }}f

En lösning i denna form är känd som den resolventa formalismen , där resolventet definieras som operatören

R(\omega )={\frac {1}{K-\omega I}}

En given uppsättning egenvektorer och egenvärden kan associeras med en upplösning av en specifik form: $K$

R(\omega ;x,y)=\summa _{n}{\frac {\psi _{n}^{*}(y)\psi _{n}(x)}{\omega _{n} -\omega }}

med lösning:

\phi (x)=\int R(\omega ;x,y)f(y)\,dy

En nödvändig och tillräcklig förutsättning för att det ska finnas en sådan lösning är en av Fredholms satser . Resolventet utökas vanligtvis till en kraftserie , i vilket fall det är känt som Liouville-Neumann-serien . Då skrivs integralekvationen som: $\lambda=1/\omega$

g(x)=\phi (x)-\lambda \int K(x,y)\phi (y)\,dy

Resolventet skrivs i en alternativ form:

R(\lambda )={\frac {1}{I-\lambda K}}

Fredholms determinant

Fredholm- determinanten definieras vanligtvis som:

\det(I-\lambda K)=\exp \left[-\sum _{n}{\frac {\lambda ^{n}}{n}}\operatörsnamn {Tr}\,K^{n}\ höger]

var och så vidare. Motsvarande zeta-funktion är : $\operatörsnamn {Tr}\,K=\int K(x,x)\,dx$ $\operatörsnamn {Tr}\,K^{2}=\iint K(x,y)K(y,x)\,dx\,dy$

\zeta (s)={\frac {1}{\det(I-sK))).

Zeta-funktionen kan ses som determinanten för resolventet . Zeta-funktionen spelar en viktig roll i studiet av dynamiska system ; detta är samma allmänna typ av zeta-funktion som Riemann-zeta-funktionen , men i fallet med Fredholm-teorin är motsvarande kärna okänd. Förekomsten av denna kärna är känd som Hilbert-Poya-förmodan .

Huvudresultat

De klassiska resultaten av denna teori är Fredholmssatserna , varav ett är Fredholmsalternativet .

Ett av de viktiga resultaten av den allmänna teorin är att den angivna kärnan är en kompakt operator , där utrymmet för funktioner är utrymmet för ekvikontinuerliga funktioner.

Ett enastående relaterat resultat är indexsatsen , som hänvisar till indexet för elliptiska operatorer på kompakta grenrör .

Historik

Fredholms artikel från 1903 i Acta mathematica är en av de viktigaste milstolparna i skapandet av operatorteori . David Hilbert utvecklade konceptet med ett Hilbertrum , bland annat i samband med studiet av Fredholms integralekvationer.

Länkar

E. E. Fredholm, "Sur une classe d'equations fonctionnelles", Acta Mathematica , 27 (1903) s. 365-390.
DE Edmunds och WD Evans (1987), Spectral theory and differential operators, Oxford University Press . ISBN 0-19-853542-2 .
BV Khvedelidze, GL Litvinov (2001), "Fredholm kernel", i Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4
Bruce K. Driver, " Compact and Fredholm Operators and the Spectral Theorem ", Analysis Tools with Applications , Kapitel 35, pp. 579-600.
Robert C. McOwen, " Fredholms teori om partiella differentialekvationer på kompletta Riemannska grenrör ", Pacific J. Math. 87 , nr. 1 (1980), 169-185.

Litteratur

Shilov G.E. Matematisk analys. Specialkurs. — M .: Nauka, 1961. — 436 sid.