Hodge teori

Hodge teori handlar om studiet av differentialformer på släta grenrör . Mer specifikt studerar denna teori hur den generaliserade Laplacian associerad med en Riemannisk metrik på en mångfaldig M påverkar dess kohomologigrupper med verkliga koefficienter.

Denna teori utvecklades av William Hodge på 1930-talet som en generalisering av de Rham-kohomologin . Hodge-teorin har stora tillämpningar på tre nivåer:

I tidiga tidningar antogs grenröret M vara stängt (det vill säga kompakt och utan gräns). På alla tre nivåerna hade teorin ett stort inflytande på efterföljande arbete, som användes av Kunihiko Kodaira och, senare, av många andra.

Tillämpningar och exempel

De Rham cohomology

Hodge själv formulerade denna teori för de Rham-komplex . Om M är ett kompakt orienterbart grenrör försett med ett jämnt metriskt g , och Ωk ( M ) är en bunt av jämna differentialformer av graden k på M , så är de Rham-komplexet en sekvens av differentialoperatorer

0\högerpil {\mathbb R}{\xhögerpil {d_{{-1))))\Omega ^{0}(M){\xrightarrow {d_{0))}\Omega ^{1}(M){ \xrightarrow {d_{1}}}\cdots {\xrightarrow {d_{{n-1}}}}\Omega ^{n}(M){\xrightarrow {d_{n}}}0

där d k betecknar den yttre derivatan på Ω k ( M ). Sedan är de Rham-kohomologin helt enkelt en sekvens av vektorrum definierade som

H^{k}(M)={\frac {\ker d_{k}}{{\mathrm {im}}\,d_{{k-1}}}}.

Det är möjligt att definiera en operator som formellt konjugerar till den yttre derivatan (yttre differentialen) d , som kallas kodifferentialen och betecknas helt enkelt genom att kräva att för alla α ∈ Ω k ( M ) och β ∈ Ω k +1 ( M ) förhållandet $\delta :$

\int _{M}\langle d\alpha ,\beta \rangle _{{k+1}}\,dV=\int _{M}\langle \alpha ,\delta \beta \rangle _{k}\ ,dV

var är måtten inducerad på . Nu kan Laplacian definieras som . Detta tillåter oss att definiera rum med harmoniska former: $\langle \ ,\ \rangle _{k}$ $\Omega ^{k}(M)$ $\Delta =d\delta +\delta d$

{\mathcal H}_{\Delta }^{k}(M)=\{\alpha \in \Omega ^{k}(M)\mid \Delta \alpha =0\}.

Det kan visas , så det finns en kanonisk kartläggning . Den första delen av Hodges teorem säger att det är en isomorfism av vektorrum. $d{\mathcal H}_{\Delta }^{k}(M)=0$ $\varphi :{\mathcal H}_{\Delta }^{k}(M)\högerpil H^{k}(M)$ $\varphi$

En av de huvudsakliga konsekvenserna av detta är att de Rham-kohomologigrupperna på ett kompakt grenrör är ändliga dimensionella. Detta följer av det faktum att operatorerna är elliptiska och kärnan i en elliptisk operator på ett kompakt grenrör alltid är änddimensionell. $\Delta$

Hodge-teori för elliptiska komplex

Hodge-strukturer

Den abstrakta definitionen av (riktiga) Hodge-strukturer är följande: för ett verkligt vektorrum är Hodge-strukturen på nedbrytningen av dess komplexisering till en -graderad direkt summa $W$ $W$ $W^{{{\mathbb C}}}=W\otimes {\mathbb C}$

{\displaystyle W^{\mathbb {C} }=\bigoplus _{k=0}^{\infty }\bigoplus _{p=0}^{k}W^{p,kp))

dessutom omarrangerar inte komplex konjugation de graderade termerna och : $W^{\mathbb {C} }$ $W^{{p,q}}$ $W^{{q,p}}$

\overline {W^{{p,q}}}=W^{{q,p}}

Huvudpåståendet är att de singulära kohomologigrupperna med reella koefficienter för ett icke-singulart komplext projektivt grenrör har följande Hodge-struktur: $H^{k}(V,\mathbb{R})$ $V$

H^{k}=\oplus _{{p=0}}^{k}H^{{p,kp}}

var finns Dolbeault-kohomologigrupperna i mångfalden . Detta innebär förhållandet mellan Betti-talen och : $H^{{p,q}}$ $V$ $b_{k}=\dim H^{k}$ $h_{{p,q}}=\dim H^{{p,q}}$

b_{k}=\summa _{{p=0}}^{k}h_{{p,kp}}

Hodge-expansionen uppstod ursprungligen från teorin om harmoniska former (egenvektorer av Laplacian i utrymmet för differentialformer ) som generaliserade lokalt konstanta harmoniska funktioner. Det är bevisat att varje klass av singular kohomologi kan representeras av en unik harmonisk form, och att en sådan form nödvändigtvis har en väldefinierad dubbelgradering (med hänsyn till verkan av den komplexa strukturoperatorn). Detta innebär Hodge-expansionen. Därefter erhölls Hodge-nedbrytningen rent algebraiskt, med hjälp av teorin om spektralsekvenser och kohomologigrupper , i verk av Dolbeault. $(p,q)$ $H^{{q}}(V,\Omega ^{{p}})$

I fallet med icke-kompakta grenrör eller grenrör med singulariteter är det nödvändigt att ersätta Hodge-strukturen med en blandad Hodge-struktur , som skiljer sig genom att den singulära kohomologiuppdelningen till en direkt summa ersätts av ett par filtreringar . Detta fall används till exempel i monodromiteori .

Litteratur

F. Griffiths, J. Harris. Principer för algebraisk geometri. - IO NFMI, 2000. - T. 1. - 496 sid. - ISBN 5-80323-126-6 .
C. Voisin. Hodge-teori och komplex algebraisk geometri. - M. : MTSNMO , 2010. - T. 1. - 344 sid. - 1000 exemplar. - ISBN 978-5-94057-514-6 .