Chern-Simons teori

Chern-Simons-teorin är en tredimensionell topologisk kvantfältteori av Schwartz-typ föreslagen av Edward Witten . Uppkallad efter geometrarna Zhen Xingshen (Chern) och James Simons . Teorin heter så eftersom dess effekt är proportionell mot Chern-Simons-formen.

I den kondenserade materiens fysik beskriver Chern-Simons-teorin den topologiska ordningen i tillstånden för den fraktionerade kvanthalleffekten . Ur en matematisk synvinkel är Chern-Simons-teorin intressant eftersom den låter dig beräkna knutinvarianter , som Jones-polynomet .

Chern-Simons-teorin bestäms av valet av en enkel Lie-grupp G, kallad teorins mätgrupp, och ett tal k, som går in i handlingen som en faktor och kallas teorins nivå . Teorins verkan beror på valet av mätare, men kvantfältteorins genererande funktion bestäms unikt för ett heltalsvärde på nivån.

Klassisk teori

Chern-Simons-teorin kan definieras på ett godtyckligt topologiskt 3-manifold M med eller utan en gräns. Eftersom denna teori är av Schwartz-typ, finns det inget behov av att införa ett mått på M .

Chern-Simons-teorin är en gauge-teori, det vill säga de klassiska fältkonfigurationerna i en teori på M med en gauge-grupp G beskrivs av en principiell G - bunt över M . Den sammankopplade formen av det huvudsakliga G -knippet över M betecknas med ; det tar värden i Lie-algebra g . I det allmänna fallet bestäms anslutningen A på separata kartor, värdena för A på olika kartor är relaterade till mättransformationer. Gauge-transformationer kännetecknas av det faktum att den kovarianta derivatan transformeras i den adjoint representationen av G . $A:M\to g$ $D=d+A$

Sedan skrivs handlingen som:

S={\frac {k}{4\pi }}\int _{M}\mathrm {tr} (A\wedge dA+{\frac {2}{3}}A\wedge A\wedge A )

Låt oss introducera anslutningens krökning

F=DA=dA+A\wedge A\in \Omega ^{2}(M,g)

Sedan tar rörelseekvationen formen

{\frac {\delta S}{\delta A))=0={\frac {k}{2\pi }}F

Lösningarna är platta anslutningar, som definieras av holonomi kring icke-kontrakterbara cykler på M . Platta anslutningar är i en-till-en-överensstämmelse med ekvivalensklasserna av homomorfismer från den fundamentala gruppen M till gauge-gruppen G .

Även om åtgärden beror på mätaren, är den genererande funktionen i kvantteorin väldefinierad för heltal k .

Om M har en gräns , så finns det ytterligare data som beskriver valet att trivialisera det huvudsakliga G - paketet på N. Ett sådant val definierar en mappning från N till G. Dynamiken i denna kartläggning beskrivs av WZW-modellen på N med nivå k . $N=\partial M$

Tänk på spåromvandlingen av Chern-Simons-aktionen. Under spårviddstransformationen g transformeras kopplingsformen A som

A_{\mu }\to g^{*}A=g^{-1}A_{\mu }g+g^{-1}\partial _{\mu }g

För Chern-Simons-aktionen har vi

S(g^{*}A)=S(A)+{\frac {k}{4\pi }}\int _{\partial M}\mathrm {Tr} (A\wedge dg\; g^{-1})-2\pi k\int _{M}g^{*}\sigma

Här

\sigma ={\frac {1}{24\pi ^{2}}}\mathrm {Tr} (\mu \wedge \mu \wedge \mu )

var är Maurer-Cartan-formen. $\mu =X^{-1}dX,X\in G$

Vi får tillägget till handlingen definierad på gränsen. Hon ser ut som en medlem av Vess-Zumino . Från kravet på mätinvarians för kvantkorrelatorer får vi kvantiseringen k , eftersom den funktionella integralen måste bestämmas unikt.

Kvantisering

I den kanoniska kvantiseringen av Chern-Simons-teorin definieras ett tillstånd på varje tvådimensionell yta . Som i vilken kvantfältteori som helst, motsvarar tillstånd strålar i Hilberts rymd. Eftersom vi har att göra med en topologisk fältteori av Schwartz-typ, har vi inte en förutbestämd tilldelad tid, därför en godtycklig Cauchy-yta. $\Sigma \subset M$ $\Sigma$

Kodimensionen är lika med 1, så vi kan skära längs och få ett grenrör med en gräns, på vilken den klassiska dynamiken beskrivs av Wess-Zumino-Novikov-Witten-modellen. Witten visade att denna korrespondens också finns bevarad inom kvantmekaniken. Det vill säga, Hilbert-tillståndsrymden är alltid finitdimensionell och kan identifieras med utrymmet av konforma block av -WZW-modellen med nivå . Konforma block är lokalt holomorfa och antiholomorfa faktorer vars produkter summerar till korrelationsfunktionerna hos en tvådimensionell konform fältteori. $\Sigma$ $M$ $\Sigma$ $G$ $k$

Till exempel, om , då är Hilbert-utrymmet endimensionellt och det finns bara ett tillstånd. När tillstånden motsvarar integrerbara representationer av nivån på en affin förlängning av Lie-algebra . Hänsyn till ytor av högre slag krävs inte för att lösa Chern-Simons teori. $\Sigma =S^{2}$ $\Sigma =T^{2}$ $k$ $g$

Observerbara

Observerbara i Chern-Simons teorin är punktfunktioner hos mätinvarianta operatorer, oftast betraktade som Wilson -loopar . Wilson-slingan är holonomi runt ringen i , beräknad i någon representation av gruppen . Eftersom vi kommer att överväga produkterna från Wilson-slingor, kan vi betrakta representationerna som irreducerbara. $n$ $M$ $R$ $G$

{\displaystyle \langle W_{R}(K)\rangle ={\text{Tr))_{R}\,P\,\exp {i\oint _{K}A))

Här är 1-formen av anslutningen, vi tar det huvudsakliga värdet av Cauchy-integralen, är exponenten ordnad längs vägen. $A$ $P\exp$

Tänk på en länk i , som är en uppsättning frånkopplade cykler. Av särskilt intresse är -punktkorrelationsfunktionen, som är produkten av Wilsons loopar i den fundamentala representationen kring dessa cykler. Denna korrelationsfunktion kan normaliseras genom att dividera den med en 0-punktsfunktion (statistisk summa ). $L$ $M$ $l$ $l$ $G$ $Z$

Om är en sfär, då är sådana normaliserade funktioner proportionella mot de kända polynomen (invarianter) av knutarna. Till exempel, vid , ger Chern-Simons teorin med nivå $M$ $G=U(N)$ $k$

{\frac {\sin(\pi /(k+N))}{\sin(\pi N/(k+N))))\ gånger \;{\mbox{HOMFLY polynom))

Vid blir HOMFLY-polynomet Jones-polynomet . I fallet erhålls Kauffman-polynomet . $N=2$ $SO(N)$

Litteratur

S.-S. Chern och J. Simons, Karakteristiska former och geometriska invarianter , Annals Math. 99 , 48-69 (1974). (Prenumeration krävs för tillgång online)
Edward Witten , Quantum Field Theory and the Jones Polynomial , Commun.Math.Phys.121:351,1989.
Edward Witten , Chern-Simons Theory as a String Theory , Prog.Math.133:637-678,1995.
Marcos Marino, Chern-Simons Theory and Topological Strings , Rev.Mod.Phys.77:675-720,2005.
Marcos Marino, Chern-Simons teori, matrismodeller och topologiska strängar (International Series of Monographs on Physics), OUP, 2005.
Anton Nazarov, WZW Models och Chern-Simons Theory (otillgänglig länk)