Bifurkationsteori

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 24 maj 2021; kontroller kräver 2 redigeringar .

Teorin om bifurkationer av dynamiska system är en teori som studerar förändringar i den kvalitativa bilden av uppdelningen av ett fasutrymme beroende på en förändring i en parameter (eller flera parametrar).

Översikt

En bifurkation är en kvalitativ förändring i beteendet hos ett dynamiskt system med en oändligt liten förändring i dess parametrar.

Det centrala begreppet i bifurkationsteorin är begreppet ett (icke)grovt system (se nedan). Vilket dynamiskt system som helst tas och en sådan (multi)parametrisk familj av dynamiska system anses att det ursprungliga systemet erhålls som ett specialfall - för vilket värde som helst av parametern/parametrarna. Om, med ett värde på parametrar som är tillräckligt nära den givna, en kvalitativ bild av uppdelningen av fasutrymmet i banor bevaras, kallas ett sådant system grov . Annars, om en sådan stadsdel inte existerar, kallas systemet icke- grovt .

Här menar vi först och främst den fruktbara fysiska och matematiska idén om A.A. Andronov om grova system, utvecklade av honom med deltagande av L.S. Pontryagin . Ett grovt system är ett vars kvalitativa karaktär av rörelse inte förändras med en tillräckligt liten förändring av parametrarna. Konservativa system är inte grova: svängningarna hos en idealisk friktionsfri pendel är periodiska (förfaller inte); men det finns ingen periodicitet i närvaro av godtyckligt liten friktion. Varje generator av odämpade svängningar har karakteristiska egenskaper som inte bevaras under konservativ idealisering, men som korrekt representeras av begreppet "grovt system".Gorelik, 1955 [1]

Således uppträder regioner av grova system i parameterutrymmet, som är åtskilda av ytor som består av icke-grova system. Teorin om bifurkationer studerar beroendet av en kvalitativ bild när en parameter ändras kontinuerligt längs en viss kurva. Schemat enligt vilket den kvalitativa bilden förändras kallas bifurkationsdiagram .

De huvudsakliga metoderna för bifurkationsteorin är metoderna för störningsteorin. Speciellt tillämpas småparametermetoden (Pontryagin) .

Bifurkation av jämvikter

I mekaniska system beror som regel rörelser i stabilt tillstånd ( jämviktspositioner eller relativ jämvikt ) på parametrarna . Värdena för parametrarna vid vilka en förändring i antalet jämvikter observeras kallas deras bifurkationsvärden . Kurvor eller ytor som visar uppsättningar av jämvikter i utrymmet av stater och parametrar kallas bifurkationskurvor eller bifurkationsytor . Passagen av en parameter genom ett bifurkationsvärde åtföljs som regel av en förändring av stabilitetsegenskaperna hos jämvikterna. Bifurkationer av jämvikter kan åtföljas av födelsen av periodiska och andra, mer komplexa rörelser.

Grundläggande begrepp

Parametern vars förändring leder till en bifurkation kallas den kritiska parametern (bifurkationsparameter) och värdet på denna parameter vid vilken bifurkationen inträffar kallas det kritiska värdet .

En punkt i parametriskt utrymme (ett utrymme där varje punkt motsvarar ett visst tillstånd i systemet, och positionen för denna punkt bestäms av värdena på parametrar och tillståndsvariabler) där en bifurkation inträffar kallas en bifurkationspunkt . Flera lösningar (stabila och instabila) kan komma från en bifurkationspunkt. När den kritiska parametern svänger (oscillerar) runt den kritiska punkten uppstår en hysteres (tvetydighet) av lösningens egenskaper.

Bifurkationspunkten från vilken alla utgående lösningar är stabila kallas attraktionspunkten (eller attraktionspunkten ).

Representationen av någon karakteristisk egenskap hos en lösning som en funktion av en kritisk parameter kallas ett bifurkationsdiagram .

Det minsta antalet parametrar under vilka en bifurkation uppstår kallas bifurkationens kodimension .

Superkritisk (normal, superkritisk) är en bifurkation där systemet förändras utan ett hopp.

En subkritisk (omvänd) bifurkation är en där förändringen i systemet sker abrupt.

En sekvens av bifurkationer som kvalitativt förändrar egenskaperna hos ett system kallas ett scenario .

Se referenser [2] [3] [4] [5] .

Sadel-nodal bifurkation

Ett exempel på en sadel-nod-bifurkation kan övervägas baserat på systemet som beskrivs av differentialekvationen:

${\frac {dx}{dt}}=\lambda -{x^{2}}$

var är en variabel parameter [6] . Jämviktslösningar av ekvationen definieras endast för ; vid jämviktstillstånd saknas. Värdet är bifurkationellt. Figuren visar motsvarande bifurkationsdiagram. Som framgår av figuren kommer två grenar av jämviktstillstånd fram från bifurkationspunkten, varav den ena är stabil och den andra är instabil. När parametern varieras i riktning mot ökande värden "ur ingenting", föds två jämviktstillstånd, varav ett är stabilt. Bifurkationer av detta slag kallas "sadel-nod". $\lambda$ $x_{\rm {{1}{\rm {,2}}}}^{\rm {}}=\pm {\sqrt {\lambda }}$ $\lambda \geq 0$ $\lambda < 0$ $\lambda=0$ $(x=0,\;\lambda =0)$

Se även

Litteratur

↑ Gorelik G S , Aizerman M A. Inledning ("Life and Works of A A Andronov" och) // Till minne av Alexander Alexandrovich Andronov / Ed. Leontovich, M.A. och andra ... - M . : Ed. USSR:s vetenskapsakademi, 1955. - S. 3-19. — 718 sid.
↑ Chetaev N. G. Rörelsestabilitet. — M .: Nauka, 1955.
↑ Andronov A. A. , Leontovich E. A. , Gordon I. M. , Mayer A. G. Teorin om bifurkationer av dynamiska system på ett plan. - M . : Nauka, 1967.
↑ Bautin N. N. , Leontovich E. A. Metoder och tekniker för en kvalitativ studie av dynamiska system på ett plan. - M . : Vetenskap. Ch. ed. Phys.-Matte. lit., 1990. - 488 sid. — (Referens matematiskt bibliotek).
↑ Berger P. , Pomo I. , Vidal K. Ordning i kaos. Om det deterministiska förhållningssättet till turbulens: Per. från franska. - M . : Mir, 1991. - 368 sid. — ISBN 5-03-001804-2 .
↑ Bifurkationer av dynamiska system - Digiratory . digiratory.ru. Tillträdesdatum: 11 januari 2017. (obestämd)

Länkar

Bifurkationer (video)