De Broglie-Bohm-teorin

De Broglie–Bohm-teorin , även känd som pilotvågteorin , Bohm-mekaniken, Bohms tolkning och kausaltolkningen , är en tolkning av kvantteorin . Förutom vågfunktionen på utrymmet för alla möjliga konfigurationer, postulerar den en verklig konfiguration som existerar utan att ens vara mätbar . Utvecklingen av en konfiguration över tiden (det vill säga positionerna för alla partiklar eller konfigurationen av alla fält) bestäms av vågfunktionen med hjälp av en masterekvation . Vågfunktionens utveckling i tid ges av Schrödinger-ekvationen . Teorin är uppkallad efter Louis de Broglie (1892–1987) och David Bohm (1917–1992).

Teorin är deterministisk [1] och helt klart icke-lokal : hastigheten för varje partikel beror på värdet av den styrande ekvationen, som beror på systemets konfiguration som ges av dess vågfunktion; det senare beror på gränsvillkoren för systemet, som i princip kan vara hela universum .

Från teorin kommer en formalism för mätningar, analog med termodynamik för klassisk mekanik, som ger den standardkvantformalism som vanligtvis förknippas med Köpenhamnstolkningen . Teorins explicita icke-lokalitet eliminerar "problemet med mätning", som vanligtvis är relaterat till ämnet att tolka kvantmekanik i Köpenhamnstolkningen. Borns regel i de Broglie-Bohms teori är inte en grundläggande lag. Det skulle vara mer korrekt att säga att i denna teori har förhållandet mellan sannolikhetstätheten och vågfunktionen status som en hypotes som kallas kvantjämviktshypotesen, som kompletterar de grundläggande lagarna som styr vågfunktionen.

Teorin utvecklades av de Broglie på 1920-talet, men 1927 tvingades han överge den till förmån för den dominerande Köpenhamnstolkningen. David Bohm, missnöjd med den rådande ortodoxa teorin, återupptäckte de Broglies pilotvågsteori 1952 . Bohms förslag var inte allmänt accepterade då, delvis för att Bohm var kommunist i sin ungdom [2] . De Broglie-Bohm-teorin har ansetts oacceptabel av mainstream-teoretiker, till stor del på grund av dess rena icke-lokalitet. Bells teorem (1964) inspirerades av Bells upptäckt av David Bohms arbete och det efterföljande sökandet efter ett sätt att eliminera teorins uppenbara icke-lokalitet. Sedan 1990-talet har det funnits ett återuppvaknande av intresse för att utveckla förlängningar av de Broglie-Bohm-teorin i ett försök att förena den med speciell relativitetsteori och kvantfältteori , bland andra funktioner som spinn eller krökt rumsgeometri [3] .

I " Stanford Philosophical Encyclopedia ", i en artikel om kvantdekoherens ( Guido Bacciagaluppi, 2012 ), är " ansatser till kvantmekanik " samlade i fem grupper, varav en är "pilotvågsteorin" (resten är Köpenhamnstolkningen , teorin om objektiv kollaps , mångvärldstolkning och modal tolkning).

Det finns flera likvärdiga matematiska formuleringar av teorin och flera av dess namn är kända . De Broglie-vågen har en makroskopisk motsvarighet som kallas Faraday- vågen . [fyra]

Översikt

De Broglie-Bohm-teorin bygger på följande postulat:

Det finns en konfiguration av universum som beskrivs av koordinater , som är en del av konfigurationsutrymmet . Konfigurationsutrymmena skiljer sig åt för olika versioner av pilotvågsteorin. Till exempel kan detta vara utrymmet för koordinater för partiklar, eller, i fallet med fältteori, utrymmet för fältkonfigurationer . Konfigurationen utvecklas (för snurr 0) i enlighet med den styrande ekvationen $q$ $q^k$ $F$ $\mathbf{Q}_k$ $N$ $\phi(x)$

m_{k}{\frac {dq^{k}}{dt}}(t)=\hbar \nabla _{k}\operatörsnamn {Im} \ln \psi (q,t)=\hbar \operatörsnamn {Im} \left({\frac {\nabla _{k}\psi }{\psi }}\right)(q,t)={\frac {m_{k}\mathbf {j} _{ k}}{\psi ^{*}\psi }}=\mathrm {Re} \left({\frac {\mathbf {\hat {P}} _{k}\Psi }{\Psi }}\right )

där är sannolikhetsströmmen , eller sannolikhetsflöde, och är momentumoperatorn . Här är standardvågfunktionen med komplext värde känd från kvantteorin, som utvecklas enligt Schrödinger-ekvationen $\mathbf {j}$ $\mathbf {\hat {P}}$ $\psi(q,t)$

i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\psi(q,t)=-\sum_{i=1}^{N}\frac{\hbar^2}{2m_i}\nabla_i^2\ psi(q,t) + V(q)\psi(q,t)

Dessa postulat kompletterar formuleringen av teorin för varje kvantteori med en Hamiltonian av typen . $H=\summa \frac{1}{2m_i}\hat{p}_i^2 + V(\hat{q})$

Konfigurationen är fördelad enligt vid tidpunkten , och därför gäller detta för alla tider. Detta tillstånd kallas kvantjämvikt. Vid kvantjämvikt överensstämmer denna teori med resultaten av standardkvantmekaniken. $|\psi(q,t)|^2$ $t$

Även om detta sista förhållande ofta presenteras som ett axiom för teorin, presenterades det i Bohms ursprungliga papper från 1952 som en härledning från statistiskt-mekaniska argument. Detta argument förstärks av Bohms arbete från 1953 och bekräftas av Bohm och Vigiers arbete från 1954, där de introducerade stokastiska vätskesvängningar som styr processen för asymptotisk relaxation från ett kvant-icke-jämviktstillstånd till ett kvantjämviktstillstånd (ρ 2 → |ψ| ). [5]

Dubbelslitsexperiment

Dubbelslitsexperimentet illustrerar våg-partikeldualitet . I den passerar en stråle av partiklar (till exempel elektroner) genom en barriär som har två slitsar. Om detektorskärmen är placerad bakom barriären visar mönstret av detekterade partiklar interferenskanter som är karakteristiska för vågor som anländer till skärmen från två källor (två slitsar). Interferensmönstret består dock av individuella prickar som motsvarar de partiklar som träffar skärmen. Systemet verkar uppvisa beteendet hos både vågor (interferensfransar) och partiklar (prickar på en skärm).

Om vi ändrar detta experiment så att en slits stängs, observeras inget interferensmönster. Sålunda påverkar båda slitsarnas tillstånd det slutliga resultatet. Vi kan också placera en minimalt invasiv detektor nära en av slitsarna för att ta reda på vilken slits partikeln har gått igenom. När vi gör detta kommer interferensmönstret att försvinna.

Köpenhamnstolkningen säger att partiklar inte är lokaliserade i rymden förrän de detekteras, så om det inte finns någon detektor vid slitsarna finns det ingen information om vilka slitsar partikeln har passerat. Om en av slitsarna är utrustad med en detektor, ändras vågfunktionen omedelbart på grund av detekteringen.

I de Broglie-Bohm-teorin är vågfunktionen definierad för båda slitsarna, men varje partikel har en väldefinierad bana som går genom exakt en slits. Den slutliga positionen för partikeln på detektorskärmen och slitsen genom vilken den passerar bestäms av partikelns initiala position. En sådan utgångsposition är omöjlig att veta eller okontrollerbar från försöksledarens sida, så det förekommer en slumpmässighet i detektionsmönstret. I Bohms papper från 1952 använde han vågfunktionen för att konstruera kvantpotentialen , som, när den ersattes i Newtons ekvationer, ger partiklarnas vägar som passerar genom två slitsar. Som ett resultat interfererar vågfunktionen med sig själv och leder partiklarna genom kvantpotentialen på ett sådant sätt att partiklarna undviker områden där interferensen är destruktiv och attraheras till regioner där interferensen är konstruktiv, vilket resulterar i ett interferensmönster på detektorskärm.

Teori

Ontologi

Ontologin för de Broglie-Bohm-teorin består av en konfiguration av universum och en pilotvåg . Konfigurationsutrymmet kan väljas på olika sätt, som i klassisk mekanik och standardkvantmekanik. $q(t)\in Q$ $\psi (q,t)\in \mathbb {C}$ $F$

Pilotvågteorins ontologi innehåller alltså som banor , som vi känner till från klassisk mekanik, som en vågfunktion från kvantteorin. Så vid varje tidpunkt finns det inte bara en vågfunktion, utan också en väldefinierad konfiguration av hela universum (det vill säga ett system som bestäms utifrån de randvillkor som används för att lösa Schrödinger-ekvationen). Motsvarigheten till vår erfarenhet görs genom att identifiera konfigurationen av vår hjärna med någon del av konfigurationen av hela universum , som i klassisk mekanik. $q(t)\in Q$ $\psi (q,t)\in \mathbb {C}$ $q(t)\in Q$

Medan den klassiska mekanikens ontologi är en del av de Broglie-Bohm-teorins ontologi, är dynamiken väldigt olika. Inom klassisk mekanik orsakas accelerationen av en partikel direkt av de krafter som finns i det fysiska tredimensionella rummet. I de Broglie-Bohm-teorin ges partikelhastigheter av en vågfunktion som finns i ett 3N-dimensionellt konfigurationsutrymme, där N motsvarar antalet partiklar i systemet [7] . Bohm föreslog att varje partikel har en "komplex och fin inre struktur" som ger förmågan att svara på informationen som vågfunktionen ger genom kvantpotentialen. [8] Också, till skillnad från klassisk mekanik, är fysikaliska egenskaper (t.ex. massa, laddning) fördelade enligt vågfunktionen i de Broglie-Bohm-teorin, och inte lokaliserade i partikelns position. [9] [10]

Vågfunktionen, inte partiklarna, bestämmer den dynamiska utvecklingen av systemet: partiklarna påverkar inte vågfunktionen. Enligt Bohm och Healys formulering har Schrödinger-ekvationen för ett kvantfält varken källor eller något annat sätt på vilket partiklarnas tillstånd direkt kan påverka fältet [...] Kvantteorin tillåter att kvantfältet är helt oberoende av partiklar” [11] P Holland anser att frånvaron av interaktion mellan partiklar och vågfunktionen är "en av de många icke-klassiska egenskaper som denna teori visar." [12] Holland kallade senare bristen på feedback uppenbar på grund av ofullständigheten i beskrivningen av teorin. [13]

Nedan kommer vi att ge den grundläggande teorin för en enskild partikel som flyttar in och sedan utöka den till fallet med partiklar som rör sig i 3 dimensioner. I det första fallet är konfigurationen och de verkliga utrymmena desamma, och i det andra är det verkliga utrymmet stilla , men konfigurationsutrymmet blir . Medan partiklarnas positioner är i det verkliga rymden, definieras hastighetsfälten och vågfunktionen i konfigurationsrymden, vilket visar hur partiklar intrasslar med varandra inom denna teori. $\mathbb {R} ^{3}$ $N$ $\mathbb {R} ^{3}$ ${\mathbb {R}}^{{3N}}$

Tillägg till denna teori inkluderar spin och mer komplexa konfigurationsutrymmen.

Vi använder variationer för partikelkoordinaterna, samtidigt som vi representeras av en komplext värderad vågfunktion som ges på konfigurationsutrymmet. ${\mathbf {Q}}$ $\psi$

Huvudekvation

För en spinnlös partikel som rör sig in ges hastigheten som $\mathbb {R} ^{3}$

{\frac {d\mathbf {Q} }{dt}}(t)={\frac {\hbar }{m}}\operatörsnamn {Im} \left({\frac {\nabla \psi } {\psi }}\right)(\mathbf {Q} ,t)

För många partiklar betecknar vi dem som den e partikeln, och deras hastigheter anges som $\mathbf{Q}_k$ $k$

{\frac {d\mathbf {Q} _{k}}{dt}}(t)={\frac {\hbar }{m_{k}}}\operatörsnamn {Im} \left({\ frac {\nabla _{k}\psi }{\psi }}\right)(\mathbf {Q} _{1},\mathbf {Q} _{2},\ldots ,\mathbf {Q} _{ N},t)

Huvudsaken här är att detta hastighetsfält beror på den faktiska positionen för alla partiklar i universum. Som förklaras nedan, i de flesta experimentella situationer kan effekterna av alla dessa partiklar inkapslas i en effektiv vågfunktion för ett delsystem av universum. $N$

Schrödingers ekvation

En-partikel Schrödinger-ekvationen bestämmer tidsutvecklingen för den komplext värderade vågfunktionen på . Ekvationen är en kvantifierad version av den totala energin i det klassiska systemet, som utvecklas under verkan av en verklig potentiell funktion given på : $\mathbb {R} ^{3}$ $V$ $\mathbb {R} ^{3}$

i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi +V\psi

För många partiklar är ekvationen densamma, förutom att och ges på konfigurationsutrymmet . $\psi$ $V$ ${\mathbb {R}}^{{3N}}$

i\hbar {\frac {\partial }{\partial t))\psi =-\sum _{k=1}^{N}{\frac {\hbar ^{2)){2m_{k }}}\nabla _{k}^{2}\psi +V\psi

Detta är samma vågfunktion från vanlig kvantmekanik.

Relation till Born-regeln

Bohm överväger i sina originalartiklar [Bohm 1952] hur resultaten av mätningar av vanlig kvantmekanik följer av de Broglie-Bohm-teorin. Grundtanken är att detta görs under förutsättning att partiklarnas positioner uppfyller den statistiska fördelning som ges av . En sådan fördelning är garanterat sann för alla tider tack vare masterekvationen, om den initiala partikelfördelningen uppfyller . $|\psi |^{2}$ $|\psi |^{2}$

För det här experimentet kan vi anta att påståendet är sant, och experimentell verifiering kommer att bekräfta detta. Detta ifrågasätts av Dur et al.: [14] en sådan fördelning är karakteristisk för delsystem. De hävdar att , på grund av dess ekvivarians under verkan av den dynamiska utvecklingen av systemet, är ett lämpligt mått vanligtvis för de initiala förhållandena för partikelkoordinater. De bevisar sedan att den stora majoriteten av möjliga initiala konfigurationer statistiskt följer Born-regeln (dvs ) för mätresultaten. Som ett resultat, i universum under kontroll av de Broglie-Bohm-dynamiken, är Born-regeln vanligtvis uppfylld. $|\psi |^{2}$ $|\psi |^{2}$

Situationen liknar alltså den i klassisk statistisk fysik. Ett initialt tillstånd av låg entropi utvecklas med en överväldigande hög sannolikhet till ett tillstånd av högre entropi: ett typiskt beteende som överensstämmer med termodynamikens andra lag. Det finns naturligtvis avvikande initiala förhållanden som kan leda till brott mot den andra lagen. Men i avsaknad av detaljerade bevis för att stödja den faktiska förekomsten av ett av dessa sällsynta initiala tillstånd, skulle det vara orimligt att förvänta sig något annat än den faktiskt observerade enhetliga ökningen av entropin. På liknande sätt, i de Broglie-Bohm-teorin, finns det anomala initiala förhållanden som kommer att leda till ett brott mot Born-regeln (dvs i motsats till förutsägelserna av standardkvantteorin). Men vanligtvis visar satsen att i avsaknad av särskilda skäl att tro att ett av dessa speciella initiala villkor är förverkligat, bör man förvänta sig uppfyllandet av Born-regeln.

Born-regeln i de Broglie–Bohm-teorin är ett teorem, inte ett ytterligare postulat (som i vanlig kvantteori).

Det kan visas att fördelningen av partiklar som inte är fördelade i enlighet med Born-regeln (det vill säga fördelningen "utanför kvantjämvikt") och som utvecklas i de Broglie-Bohm-dynamiken i de allra flesta fall kommer att utvecklas till ett tillstånd distribueras som . [15] En video av elektrondensitet i en 2D-box under denna process finns tillgänglig här . $|\psi |^{2}$

Villkorlig delsystems vågfunktion

I formuleringen av de Broglie-Bohm-teorin finns bara vågfunktionen för hela universum (som alltid utvecklas i enlighet med Schrödinger-ekvationen). "Universum" är ett system begränsat av samma randvillkor som används för att lösa Schrödinger-ekvationen. Men när teorin väl har formulerats är det bekvämt att introducera begreppet vågfunktion även för universums delsystem. Låt oss skriva universums vågfunktion som , där betecknar konfigurationen av variabler associerade med något delsystem (I) i universum och betecknar resten av konfigurationsvariablerna. Låt oss beteckna den faktiska konfigurationen av delsystemet (I) respektive resten av universum. För enkelhetens skull betraktar vi här endast fallet med spinnfria partiklar. Den villkorliga vågfunktionen för delsystemet (I) bestäms av formeln: $\psi (t,q^{\mathrm {I}},q^{\mathrm {II} })$ $q^{\mathrm {I} }$ $q^{\mathrm {II} }$ $Q^{\mathrm {I} }(t)$ $Q^{\mathrm {II} }(t)$

\psi ^{\mathrm {I} }(t,q^{\mathrm {I} })=\psi (t,q^{\mathrm {I} },Q^{\mathrm {II} }(t)).

Detta följer omedelbart av att den uppfyller den styrande ekvationen. Han är också nöjd med en konfiguration som är identisk med den som presenteras i teorins formulering, men med den universella vågfunktionen ersatt av den villkorliga vågfunktionen . Dessutom innebär det faktum att det är slumpmässigt med en sannolikhetstäthet som ges av kvadraten på modulen att den villkorade sannolikhetstätheten för en given given ges av kvadraten på modulen för vektorn för den (normaliserade) villkorliga vågfunktionen (i terminologin av Duras et al. [16] detta faktum kallas den fundamentala betingade sannolikhetsformeln ). $Q(t)=(Q^{\mathrm {I}}(t),Q^{\mathrm {II}}(t))$ $Q^{\mathrm {I} }(t)$ $\psi$ $\psi ^{\mathrm {I} }$ $Q(t)$ $\psi (t,\cdot )$ $Q^{\mathrm {I} }(t)$ $Q^{\mathrm {II} }(t)$ $\psi ^{\mathrm {I} }(t,\cdot )$

Till skillnad från den universella vågfunktionen, utvecklas inte alltid (men ofta) den villkorliga vågfunktionen för ett delsystem i enlighet med Schrödinger-ekvationen. Till exempel, om den universella vågfunktionen utökas till en produkt som:

\psi (t,q^{\mathrm {I}},q^{\mathrm {II} })=\psi ^{\mathrm {I} }(t,q^{\mathrm {I} })\psi ^{\mathrm {II} }(t,q^{\mathrm {II} })

då är den villkorliga vågfunktionen för delsystem (I), upp till en irrelevant skalär faktor (detta är vad standardkvantteori skulle betrakta som vågfunktionen för delsystem (I)). Om Hamiltonian dessutom inte innehåller interaktion mellan delsystemen (I) och (II), så uppfyller den Schrödinger-ekvationen. Mer generellt, anta att den universella vågfunktionen skrivs som: $\psi ^{\mathrm {I} }$ $\psi ^{\mathrm {I} }$ $\psi$

\psi (t,q^{\mathrm {I}},q^{\mathrm {II} })=\psi ^{\mathrm {I} }(t,q^{\mathrm {I} })\psi ^{\mathrm {II} }(t,q^{\mathrm {II} })+\phi (t,q^{\mathrm {I} },q^{\mathrm {II} } ),

där löser Schrödinger-ekvationen och för alla och . Vidare, återigen, den villkorliga vågfunktionen för subsystem (I) upp till en irrelevant skalär faktor är lika med och, om Hamiltonian inte innehåller interaktion mellan subsystem (I) och (II) , uppfyller Schrödinger-ekvationen. $\phi$ $\phi (t,q^{\mathrm {I}},Q^{\mathrm {II}}(t))=0$ $t$ $q^{\mathrm {I} }$ $\psi ^{\mathrm {I} }$ $\psi ^{\mathrm {I} }$

Det faktum att den villkorliga vågfunktionen för ett delsystem inte alltid utvecklas enligt Schrödinger-ekvationen beror på att den vanliga reduktionsregeln i standardkvantteorin härrör från den böhmiska formalismen när man betraktar de villkorliga vågfunktionerna hos subsystem.

Anteckningar

↑ Bohm, David (1952).
↑ F. David Peat, Oändlig potential: David Bohms liv och tider (1997), sid. 133
↑ David Bohm och Basil J. Hiley, The Undivided Universe – An Ontological Interpretation of Quantum Theory uppenbarad efter Bohms död, 1993; granskad Arkiverad 5 mars 2016 på Wayback Machine av Sheldon Goldstein i Physics Today (1994)
↑ John W. W. Bush . "Quantum mechanics writ large" Arkiverad 15 december 2017 på Wayback Machine .
↑ Publikationer av D. Bohm 1952 och 1953 och av J.-P. Vigier 1954 som citeras i Antony Valentini; Hans Westman (8 januari 2005).
^ "Observera de genomsnittliga banorna för enstaka fotoner i en två-slitsinterferometer" . Datum för åtkomst: 1 december 2015. Arkiverad från originalet den 24 september 2015. (obestämd)
↑ David Bohm (1957).
↑ D. Bohm och B. Hiley: Det odelade universum: En ontologisk tolkning av kvantteorin , sid. 37.
↑ HR Brown, C. Dewdney och G. Horton: "Bohm-partiklar och deras detektion i ljuset av neutroninterferometri", Foundations of Physics , 1995, volym 25, nummer 2, pp. 329–347.
↑ J. Anandan, "The Quantum Measurement Problem and the Possible Role of the Gravitational Field", Foundations of Physics , mars 1999, volym 29, nummer 3, pp. 333–348.
↑ D. Bohm och B. Hiley: Det odelade universum: En ontologisk tolkning av kvantteorin , sid. 24 Arkiverad 5 november 2012 på Wayback Machine
↑ Peter R. Holland: The Quantum Theory of Motion: An Account of the De Broglie-Bohm Causal Interpretation of Quantum Mechanics , Cambridge University Press, Cambridge (publicerad först 25 juni 1993), ISBN 0-521-35404-8 inbunden, ISBN 0-521-48543-6 pocketbok, överförd till digitaltryck 2004, kapitel I. avsnitt (7) "Det finns ingen ömsesidig verkan av partikeln på vågen", sid. 26 Arkiverad 24 december 2016 på Wayback Machine
↑ P. Holland: "Hamiltonsk teori om våg och partikel i kvantmekanik II: Hamilton-Jacobi teori och partikelbakreaktion", Nuovo Cimento B 116, 2001, pp. 1143–1172, fulltext förtryck sid. 31 Arkiverad 10 november 2011 på Wayback Machine )
↑ Dürr, D., Goldstein, S. och Zanghì, N., "Quantum Equilibrium and the Origin of Absolute Uncertainty" , Journal of Statistical Physics 67: 843–907, 1992.
↑ Towler, M.D.; Russell, NJ; Valentini A., pbs., "Tidsskalor för dynamisk avkoppling till Born-regeln" quant-ph/11031589
↑ "Quantum Equilibrium and the Origin of Absolute Uncertainty" , D. Dürr, S. Goldstein och N. Zanghì, Journal of Statistical Physics 67, 843–907 (1992).