Ringteori är en gren av allmän algebra som studerar egenskaperna hos ringar - algebraiska strukturer med addition och multiplikation, liknande beteende som addition och multiplikation av tal. Det finns två grenar av ringteorin: studiet av kommutativa och icke-kommutativa ringar.
Kommutativa ringar är bättre undersökt i allmänhet, eftersom det är huvudämnet för studier i kommutativ algebra , som är en viktig del av modern matematik, vilket ger verktygen för utveckling av algebraisk geometri och algebraisk talteori . Dessa tre teorier är så nära besläktade att det inte alltid är möjligt att ange till vilket område ett visst resultat hör, till exempel spelar Hilberts nollsats en grundläggande roll i algebraisk geometri, men är formulerad och bevisad i termer av kommutativ algebra. Ett annat exempel är Fermat's Last Theorem , som anges i termer av elementär aritmetik (som är en del av kommutativ algebra), men dess bevis använder djupa resultat från både algebraisk geometri och algebraisk talteori.
Beteendet hos icke-kommutativa ringar är mer komplicerat, deras teori utvecklades oberoende av kommutativ algebra under ganska lång tid, men i slutet av 1900-talet fanns det en tendens att bygga denna teori på ett mer geometriskt sätt, med tanke på sådana ringar som ringar av funktioner på (icke-existerande) "icke-kommutativa rum". Denna trend har sitt ursprung på 1980-talet med tillkomsten av icke-kommutativ geometri och upptäckten av kvantgrupper , genom tillämpningen av metoderna för dessa teorier, har en bättre förståelse av icke-kommutativa ringar, särskilt icke-kommutativa Noetherian ringar , uppnåtts. [1] .
Gemensamt för alla ringar:
Strukturella satser för vissa klasser av ringar: