Point Farm

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 26 september 2021; verifiering kräver 1 redigering .

Fermatpunkten  är en punkt i planet, summan av avstånden från vilken till triangelns hörn är minimal . Fermats punkt kallas också ibland Torricellis punkt eller Fermat-Torricellis punkt . Fermat-spetsen ger en lösning på Steiners problem för triangelhörn. I engelsk litteratur kallas Fermats punkt även för det isogoniska centret X(13).

Historik

Fermats poäng  föreslogs först av Fermat : "Datis tribus punctis, quartum reperire, a quo si ducantur tres rectæ ad data puncta, summa trium harum rectarum sit minima quantitas". P. de Fermat, "Œuvres de Fermat", 1679, Livre I, Paris. (lat. "För tre givna punkter, hitta den fjärde, så att om du drar raka linjer från den till dessa punkter, summan av avstånden kommer att vara den minsta." P. Fermat).

Egenskaper

Lesters sats . I vilken skalentriangel som helst ligger två av Fermats punkter, mitten av de nio punkterna och mitten av den omskrivna cirkeln på samma cirkel ( cirkeln av Leicester ).

Byggnad

Teorem ( E. Torricelli , B. Cavalieri , T. Simpson , F. Heinen, J. Bertrand ). Konstruera på sidorna av en godtycklig triangel till utsidan liksidiga trianglar , , . Sedan sex kurvor - tre cirklar omskrivna runt dessa regelbundna trianglar, och linjer , , skär vid en punkt . Om alla vinklar i triangeln inte överstiger , ligger i triangeln och är en Fermat-punkt . I det här fallet är vinklarna mellan segmenten , och lika med varandra och är därför lika . Dessutom är längden på segmenten , och , kallade Simpson- linjer , också lika med varandra och är lika med . Om en av vinklarna i triangeln är större än , så ligger den utanför triangeln och Fermat-punkten sammanfaller med spetsen på den trubbiga vinkeln .

Satsen ger en algoritm för att konstruera Fermat-punkten med hjälp av en kompass och rätlina. I det icke-triviala fallet, när alla vinklar i triangeln är mindre än , hittas Fermatpunkten som skärningspunkten mellan två av de sex kurvorna som beskrivs i satsen.

Fysiskt kan denna punkt konstrueras enligt följande: vi markerar på en plan jämn horisontell yta punkterna , och och borrar genom hål på de markerade platserna; vi kommer att knyta tre trådar och föra deras fria ändar ovanifrån genom hålen; bind laster av samma massa till de fria ändarna; när systemet kommer i jämvikt, kommer noden att vara vid Fermat-punkten för triangeln .

Notera

Förresten, i den första figuren till höger är mitten av de tre liksidiga trianglarna själva hörnen på en ny liksidig triangel ( Napoleons sats ). Dessutom .

Att hitta Fermat-punkten. Lagrange multiplikatorer

Det finns ett tillvägagångssätt för att hitta en punkt inuti en triangel, för vilken summan av avstånden till triangelns hörn är minimal, är att använda en av optimeringsmetoderna i matematik. I synnerhet metoden för Lagrange multiplikatorer och cosinussatsen.

Vi ritar linjer från en punkt inuti triangeln till dess hörn och kallar dem X , Y och Z . Låt också längden på dessa linjer vara x, y respektive z. Låt vinkeln mellan X och Y vara α, Y och Z - β. Då är vinkeln mellan X och Z (2π - α - β). Med hjälp av Lagrange-multiplikatormetoden måste vi hitta minimum av Lagrangian L , som uttrycks som:

L = x + y + z + λ 1 ( x 2 + y 2 − 2 xy cos( α ) − a 2 ) + λ 2 ( y 2 + z 2 − 2 yz cos(β) − b 2 ) + λ 3 ( z 2 + x 2 − 2 zx cos( α + β ) − c 2 )

där a , b och c är längderna på triangelns sidor.

Genom att likställa var och en av de fem partiella derivatorna δ L / δx, δ L / δy, δ L / δz, δ L / δα, δ L / δβ till noll och exkluderar λ 1 , λ 2 , λ 3 , får vi slutligen sin (α ) = sin(β) och sin(α + β) = - sin(β) så α = β = 120°. Beräkningarna är dock långa och tråkiga, och slutresultatet täcker bara fall 2 när ingen av vinklarna är ≥ 120°.

Point Torricelli

Torricelli -  punkten är punkten i en triangel från vilken alla sidor är synliga i en vinkel på . Det finns bara i trianglar med vinklar mindre än , medan det är unikt och därför sammanfaller med Fermat-punkten.

Se även

Anteckningar

Litteratur

Länkar