Kepler triangel

Keplertriangeln  är en rätvinklig triangel vars sidolängder bildar en geometrisk progression . I det här fallet är förhållandet mellan längderna på sidorna i Keplertriangeln relaterat till det gyllene snittet

som kan skrivas som : , eller ungefär 1 : 1.272 : 1.618 [1] Kvadraterna på sidorna i denna triangel (se figur) bildar en geometrisk progression som motsvarar det gyllene snittet.

Trianglar med detta bildförhållande har fått sitt namn efter den tyske matematikern och astronomen Johannes Kepler (1571-1630), som var den förste som visade att i sådana trianglar är förhållandet mellan längden på det korta benet och hypotenusan lika med det gyllene snittet [ 2] . Således kombinerar Keplertriangeln två matematiska nyckelbegrepp - Pythagoras sats och det gyllene snittet , om vilka Kepler noterade:

Det finns två skatter i geometrin: den ena är Pythagoras sats, den andra är uppdelningen av en linje i det gyllene snittet. Den första kan vi jämföra med en massa guld, den andra kan vi kalla en ädelsten. Johannes Kepler

Vissa källor hävdar att bildförhållandet för de berömda pyramiderna i Giza närmar sig Keplers triangel [4] [5] .

Konsekvens

Det faktum att en triangel med sidor och bildar en rätvinklig triangel följer direkt av omskrivningen av kvadrattrinomialet för det gyllene snittet :

i form av Pythagoras sats :

Relation till aritmetiskt medelvärde, geometriskt medelvärde och harmoniskt medelvärde

För positiva reella tal a och b är deras aritmetiska medelvärde , geometriska medelvärde och harmoniska medelvärde längderna på sidorna av en rätvinklig triangel om och endast om triangeln är en Keplertriangel [6] .

Konstruktion av Kepler-triangeln

Keplers triangel kan konstrueras med hjälp av en kompass och rätlina genom konstruktionen av det gyllene snittet enligt följande:

1. Konstruera en enkel fyrkant
2. Rita en linje från mitten av ena sidan av kvadraten till det motsatta hörnet
3. Använd denna linje som radien för den båge som definierar höjden på rektangeln
4. Komplement till det gyllene snittet
5. Använd långsidan av rektangeln med det gyllene snittet som radien för den båge som korsar rektangelns motsatta sida och definierar längden på hypotenusan i Keplertriangeln.

Kepler själv byggde denna triangel annorlunda. I ett brev till sin tidigare lärare, professor Michael Möstlin, skrev han: "Om en rätvinklig triangel är konstruerad på en linje som är uppdelad i extrem- och medelförhållandet på ett sådant sätt att den räta vinkeln blir vid delningspunkten, då den mindre sidan kommer att vara lika med det större segmentet av de delade linjerna." [2] .

Matematisk sammanträffande

Låt oss ta en Kepler-triangel med sidor och överväga:

• cirkeln som omger den, och
• en kvadrat med en sida lika med triangelns mittsida.

Då sammanfaller kvadratens ( ) omkrets och omkretsen ( ) med en noggrannhet på 0,1 %.

Detta är en matematisk matchning . Det är inte möjligt för dessa kvadrater och cirkel att ha samma omkretslängd, eftersom det klassiska olösliga cirkelkvadreringsproblemet då skulle kunna lösas . Med andra ord, eftersom  är ett transcendentalt tal .

Anteckningar

1. ↑ Roger Herz-Fischler. Den stora pyramidens  form (neopr.) . — Wilfrid Laurier University Press, 2000. - ISBN 0-88920-324-5 . Arkiverad 7 december 2013 på Wayback Machine
2. ↑ 1 2 Livio, Mario. Det gyllene snittet: Berättelsen om Phi, världens mest häpnadsväckande  nummer . — New York: Broadway Books, 2002. - S.  149 . — ISBN 0-7679-0815-5 .
3. ↑ Karl Fink, Wooster Woodruff Beman och David Eugene Smith. En kort historia om matematik: En auktoriserad översättning av Dr.  Karl Finks Geschichte der Elementar-Mathematik . - 2:a upplagan.. - Chicago: Open Court Publishing Co, 1903. Arkiverad 7 juli 2014 på Wayback Machine
4. ↑ Det bästa av Astraea: 17 artiklar om vetenskap, historia och  filosofi . - Astrea Web Radio, 2006. - ISBN 1-4259-7040-0 .
5. ↑ Squaring the circle, Paul Calter (länk inte tillgänglig) . Hämtad 7 maj 2014. Arkiverad från originalet 2 september 2011. (obestämd) 
6. ↑ Di Domenico, Angelo, "Det gyllene snittet - den räta triangeln - och de aritmetiska, geometriska och harmoniska medel," The Mathematical Gazette 89, 2005.