Trigonometriska funktioner från en matris

Trigonometriska funktioner i en matris är generaliseringar av trigonometriska funktioner för kvadratiska matriser .

Trigonometriska funktioner (särskilt ofta sinus och cosinus) av kvadratmatriser uppstår i lösningarna av system av andra ordningens differentialekvationer . [1] De definieras genom samma Taylor-serie , genom vilken trigonometriska funktioner för ett reellt eller komplext argument definieras: [2]

{\begin{aligned}\sin X&=X-{\frac {X^{3}}{3!}}+{\frac {X^{5}}{5!)}}-{\ frac {X^{7}}{7!}}+\cdots &=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1) ! }}X^{2n+1}\\\cos X&=I-{\frac {X^{2}}{2!)}}+{\frac {X^{4}}{4!}} -{ \frac {X^{6}}{6!}}+\cdots &=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n )! }}X^{2n}\end{aligned}}

där Xn betyder matrisen X i potensen av n och I är identitetsmatrisen med samma dimension.

De trigonometriska funktionerna för matrisargumentet kan också definieras i termer av matrisexponenten , med hänsyn tagen till matrisanalogen till Eulerformeln e iX = cos X + i sin X :

{\begin{aligned}\sin X&={e^{iX}-e^{-iX} \over 2i}\\\cos X&={e^{iX}+e^{-iX} \ över 2}.\end{aligned}}

Låt till exempel X vara Pauli- standardmatrisen :

\sigma _{1}=\sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}~,

Sedan

\sin(\theta \sigma _{1})=\sin(\theta )~\sigma _{1},\qquad \cos(\theta \sigma _{1})=\cos(\theta )~I~,

Du kan också beräkna kardinalsinus :

\operatörsnamn {sinc} (\theta \sigma _{1})=\operatörsnamn {sinc} (\theta )~I.

Egenskaper

Matrisanalogen för den trigonometriska huvudidentiteten är giltig : [2]

\sin ^{2}X+\cos ^{2}X=I

Om X är en diagonal matris är sin X och cos X också diagonala matriser, med (sin X ) nn = sin( X nn ) och (cos X ) nn = cos( X nn ) , det vill säga sinus och cosinus för diagonalmatrisen kan beräknas genom att beräkna sinus respektive cosinus för elementen i argumentet på huvuddiagonalen.

Matrisanalogerna för sinus- och cosinussummaformlerna är giltiga om och endast om matriserna pendlar, dvs. XY = YX : [2]

{\begin{aligned}\sin(X\pm Y)=\sin X\cos Y\pm \cos X\sin Y\\\cos(X\pm Y)=\cos X\cos Y\ mp \sin X\sin Y\end{aligned}}

Andra funktioner

Tangenta, inversa trigonometriska funktioner , hyperboliska funktioner och inversa hyperboliska funktioner kan också definieras för matriser: [3]

\arcsin X=-i\ln \left(iX+{\sqrt {IX^{2))}\right)

(Se Inversa trigonometriska funktioner#Förhållande till naturlig logaritm , Matrislogaritmkvadratroten ur matris

{\begin{aligned}\sinh X&={e^{X}-e^{-X} \over 2}\\\cosh X&={e^{X}+e^{-X} \ över 2}\end{aligned}}

och så vidare.

Anteckningar

↑ Gareth I. Hargreaves, Nicholas J. Higham. Effektiva algoritmer för matrisen cosinus och sinus (engelska) // Numerical Analysis Report : journal. - Manchester Center for Computational Mathematics, 2005. - Nej . 461 .
↑ 1 2 3 Nicholas J. Higham. Funktioner av matriser: teori och beräkning (engelska) . - 2008. - S. 287f. — ISBN 9780898717778 .
↑ Scilab trigonometri Arkiverad 9 juli 2017 på Wayback Machine .