Ramanujan-Nagels ekvation

Ramanujan-Nagels ekvation i talteori är en ekvation av följande form:

Det kräver att hitta naturliga lösningar av det okända och .

Detta är ett exempel på en exponentiell diofantisk ekvation . Ekvationen är uppkallad efter den indiske matematikern Srinivasa Ramanujan och den norske matematikern Trygve Nagel .

Historik

Denna ekvation uppstår när man löser följande problem [1] : hitta alla Mersenne-tal , det vill säga tal av formen som samtidigt är triangulära tal (det vill säga har formen ). Enkla transformationer leder till följande resultat:

Efter att ha utfört ersättningen får vi Ramanujan-Nagel-ekvationen.

Ramanujan antog 1913 [2] att denna ekvation bara har fem heltalslösningar:

n 3 fyra 5 7 femton (sekvens A060728 i OEIS )
x ett 3 5 elva 181 (sekvens A038198 i OEIS )

Som vanligt gav Ramanujan inte bevis eller förklarade hur han kom fram till en sådan hypotes. Oberoende av Ramanujan lades 1943 en liknande hypotes fram av den norske matematikern Wilhelm Jungren [3] . År 1948 publicerade en annan norsk matematiker, Trygve Nagel , ett bevis [4] [5] .

De "triangulära Mersenne-talen" som motsvarar lösningarna kallas ofta för Ramanujan-Nagel-talen [1] :

Det finns också fem av dem: 0, 1, 3, 15, 4095 (sekvens A076046 i OEIS ).

Variationer och generaliseringar

Den tyske matematikern Karl Ludwig Siegel ansåg en något mer allmän ekvation av formen:

var är heltalskonstanter, och det är nödvändigt att hitta de naturliga värdena för variablerna . Siegel bevisade:

Exempel : Ekvationen har sex lösningar:

n 3 fyra 5 6 åtta femton
x ett elva 19 129 61 701

En annan generalisering är Lebesgue-Nagels ekvation :

var är heltalskonstanter, och det är nödvändigt att hitta de naturliga värdena för variablerna. Ekvationen är uppkallad efter den franske matematikern Victor-Amede Lebesgue , som 1850 undersökte ekvationen och bevisade att den bara har triviala lösningar [8] :

Det följer av resultaten av Schori och Teideman [9] att antalet lösningar till Lebesgue-Nagel-ekvationen alltid är ändligt [10] . Bugeaud, Mignotte och Sixek löste ekvationer av denna typ [11] med och . I synnerhet en generalisering av den ursprungliga Ramanujan-Nagel-ekvationen:

har positiva heltalslösningar när x = 1, 3, 5, 11 och 181.

Se även

Anteckningar

  1. 1 2 Deza E., Deza M. Lockiga siffror. - M. : MTSNMO, 2016. - S. 203-205. — 349 sid. — ISBN 978-5-4439-2400-7 .
  2. S. Ramanujan (1913). "Fråga 464". J. Indian Math. Soc . 5 :130.
  3. Ljunggren W. Oppgave nr 2 // Norsk Mat. Tidsskr. - 1943. - Vol. 25. - S. 29.
  4. Nagell T. Løsning till oppgave nr 2 // Norsk Mat. Tidsskr. - 1948. - Vol. 30. - S. 62-64.
  5. Skolem, T.; Chowla, S.; och Lewis, DJ Den diofantiska ekvationen och relaterade problem. Proc. amer. Matematik. soc. 10, 663-669, 1959.
  6. Saradha, Srinivasan, 2008 , sid. 207.
  7. Saradha, Srinivasan, 2008 , sid. 208.
  8. Lebesgue, Victor-Amédée (1850). "Sur l'impossibilité, en nombres entiers, de l'équation x m = y 2 + 1" . nouv. Ann. Matematik. Ser. 1 . 9 : 178-181. Arkiverad från originalet 2020-12-04 . Hämtad 2021-02-18 . Utfasad parameter används |deadlink=( hjälp )
  9. Shorey TN, Tijdeman R. Exponential Diophantine ekvationer. - Cambridge University Press , 1986. - Vol. 87. - S. 137-138. — (Cambridge Tracts in Mathematics). - ISBN 0-521-26826-5 . — .
  10. Saradha, Srinivasan, 2008 , sid. 211.
  11. Yann Bugeaud; Maurice Mignotte; Samir Siksek (2006). "Klassiska och modulära tillvägagångssätt för exponentiella diofantiska ekvationer II. Lebesgue–Nagell ekvationen”. komponera. Matematik . 142 :31-62. arXiv : math/0405220 . DOI : 10.1112/S0010437X05001739 .

Litteratur

Länkar