Flagga (matematik)

En flagga är en kedja av kapslade delrum i ett vektorrum (eller ett rum av en annan typ, för vilket dimensionsbegreppet är definierat ), med formen $L$

L_{0}\subset L_{1}\subset L_{2}\subset \dots \subset L_{k}=L,

var

0=\dim L_{0}<\dim L_{1}<\dim L_{2}<\cdots <\dim L_{k}=\dim L.

Konceptet med en komplett (eller maximal ) flagga, i vilken , och därmed ett nummer, oftast påträffas . Vanligtvis, i definitionen av en fullständig flagga, ett ytterligare villkor för riktningen för varje par av angränsande delrum i kedjan läggs till (se definitionen nedan). $\dim L_{i}=i$ $k=\dim L.$

Begreppet flagga används främst inom algebra och geometri (kallas ibland även filtrering ).

Full flagga

En komplett flagga i ett vektorrum med ändlig dimension är en sekvens av delrum $L$ $n$

L_{0}\subset L_{1}\subset L_{2}\subset \dots \subset L_{n},\quad \dim L_{i}=i,

där delrummet endast består av nollvektorn sammanfaller delrummet med allt , och varje par av angränsande delrum riktas , d.v.s. av de två halvrum i vilka delrummet delar sig väljs ett (med andra ord, paret av dessa halvrum är ordnat ). $L_0$ $L_{n}$ $L$ $(L_{n}=L)$ $(L_{i},L_{i-1})$ $L_{i-1}$ $L_{i}$

Varje bas i ett vektorrum definierar någon komplett flagga i den. Vi sätter nämligen (här betyder de triangulära parenteserna den linjära enveloppen för vektorerna mellan dem), och för att ställa in riktningen för paret väljer vi halvrummet som innehåller vektorn . $e_{1},\ldots ,e_{n}$ $L$ $L_{i}=\langle e_{1},\ldots ,e_{i}\rangle$ $(L_{i},L_{i-1})$ $e_{i}$

Överensstämmelsen mellan baser och helflaggor konstruerade på detta sätt är inte en-till-en: olika baser av utrymmet kan definiera samma flagga i det (till exempel i figuren till höger definierar baserna och på planet samma fullständiga flagga). Men om vektorrymden är euklidisk , då vi inte arbetar med godtyckliga, utan endast med ortonormala baser av detta utrymme, erhåller vi en en-till-en-överensstämmelse mellan ortonormala baser och fullständiga flaggor. ${\displaystyle e_{1},e_{2))$ ${\displaystyle e_{1},e'_{2))$ $L$

Därför, för två kompletta flaggor i det euklidiska rymden , finns det en unik ortogonal transformation som mappar den första flaggan till den andra. $L$ $A:L till L$

Flaggor i affina utrymmen och Lobachevsky-geometri

Kompletta flaggor definieras på liknande sätt i affint utrymme och Lobachevskii dimensionsutrymme : $n$

L_{0}\subset L_{1}\subset L_{2}\subset \dots \subset L_{n},\quad \dim L_{i}=i,

där subrymden består av endast en punkt (affin space eller Lobachevsky space), kallad mitten av flaggan , sammanfaller subrymden med allt och varje par riktas . $L_0$ $L_{n}$ $L$ $(L_{n}=L)$ $(L_{i},L_{i-1})$

För två kompletta flaggor i ett euklidiskt affint utrymme eller Lobachevsky-utrymme, finns det en rörelse i detta utrymme som tar den första flaggan till den andra, och en sådan rörelse är unik. Sophus Lie kallade denna egenskap för rymdens fria rörlighet . Helmholtz-Lie-satsen säger att endast tre typer av rum (tre "stora geometrier") har denna egenskap: Euclid , Lobachevsky och Riemann . [ett]

Nest

I ett oändligt dimensionellt utrymme V är idén om en flagga generaliserad till ett bo. En uppsättning delrum, välordnade efter inkluderandet av slutna delrum, kallas nämligen ett bo .

Litteratur

Kostrikin A. I., Manin Yu. I. Linjär algebra och geometri, - M .: Nauka, 1986.
Shafarevich I. R. , Remizov A. O. Linjär algebra och geometri, Fizmatlit, Moskva, 2009.

Anteckningar

↑ Shafarevich I. R., Remizov A. O. Linjär algebra och geometri. - kap. XII, § 1. - M .: Fizmatlit, 2009.