En flagga är en kedja av kapslade delrum i ett vektorrum (eller ett rum av en annan typ, för vilket dimensionsbegreppet är definierat ), med formen
var
Konceptet med en komplett (eller maximal ) flagga, i vilken , och därmed ett nummer, oftast påträffas . Vanligtvis, i definitionen av en fullständig flagga, ett ytterligare villkor för riktningen för varje par av angränsande delrum i kedjan läggs till (se definitionen nedan).
Begreppet flagga används främst inom algebra och geometri (kallas ibland även filtrering ).
En komplett flagga i ett vektorrum med ändlig dimension är en sekvens av delrum
där delrummet endast består av nollvektorn sammanfaller delrummet med allt , och varje par av angränsande delrum riktas , d.v.s. av de två halvrum i vilka delrummet delar sig väljs ett (med andra ord, paret av dessa halvrum är ordnat ).
Varje bas i ett vektorrum definierar någon komplett flagga i den. Vi sätter nämligen (här betyder de triangulära parenteserna den linjära enveloppen för vektorerna mellan dem), och för att ställa in riktningen för paret väljer vi halvrummet som innehåller vektorn .
Överensstämmelsen mellan baser och helflaggor konstruerade på detta sätt är inte en-till-en: olika baser av utrymmet kan definiera samma flagga i det (till exempel i figuren till höger definierar baserna och på planet samma fullständiga flagga). Men om vektorrymden är euklidisk , då vi inte arbetar med godtyckliga, utan endast med ortonormala baser av detta utrymme, erhåller vi en en-till-en-överensstämmelse mellan ortonormala baser och fullständiga flaggor.
Därför, för två kompletta flaggor i det euklidiska rymden , finns det en unik ortogonal transformation som mappar den första flaggan till den andra.
Kompletta flaggor definieras på liknande sätt i affint utrymme och Lobachevskii dimensionsutrymme :
där subrymden består av endast en punkt (affin space eller Lobachevsky space), kallad mitten av flaggan , sammanfaller subrymden med allt och varje par riktas .
För två kompletta flaggor i ett euklidiskt affint utrymme eller Lobachevsky-utrymme, finns det en rörelse i detta utrymme som tar den första flaggan till den andra, och en sådan rörelse är unik. Sophus Lie kallade denna egenskap för rymdens fria rörlighet . Helmholtz-Lie-satsen säger att endast tre typer av rum (tre "stora geometrier") har denna egenskap: Euclid , Lobachevsky och Riemann . [ett]
I ett oändligt dimensionellt utrymme V är idén om en flagga generaliserad till ett bo. En uppsättning delrum, välordnade efter inkluderandet av slutna delrum, kallas nämligen ett bo .