Formel Santalo

Santalo-formeln är en konsekvens av Liouville-satsen om bevarande av fasvolym , som används för att integrera funktioner som ges på bunten av enhetssfärer i ett Riemann-grenrör . Det gör det nämligen möjligt att först integrera över varje geodetisk separat, och sedan över utrymmet för alla geodesiker.

Detta verktyg används för att bevisa isoperimetriska ojämlikheter, [1] såväl som stelhetsresultat. [2]

Formeln är uppkallad efter Luis Santalo , som bevisade den 1952. [3] [4]

Formulering

Låt vara en kompakt, orienterad Riemann-grenrör med gräns . Vi antar att längderna av geodetik i är begränsade, det vill säga att alla geodetiska ämnen når gränsen på en viss tid. Låt beteckna det geodetiska flödet på bunten av enhetssfärer . Sedan $(M,g)$ $\partiell M$ $M$ $\varphi _{t}\colon SM\to SM$ $SM$

\ \int \limits _{v\in SM}f(v)\cdot \mu =\int \limits _{w\in S_{+}\partial M}\left[\int \limits _{ 0}^{\tau (w)}f(\varphi _{t}(w))\cdot dt\right]\cdot \cos \theta (w)\cdot \sigma

för alla integrerbara funktioner på . Samtidigt utgår vi från det $f$ $SM$

$\theta (w)$ är vinkeln mellan och den inåtriktade normalen till vid baspunkten för vektorn , det vill säga vektorn med baspunkten på gränsen för den inåtriktade . $w$ $\partiell M$ $w\in S_{+}\partial M$ $\partiell M$ $M$
$\mu$ och är också riemannska volymformer med avseende på Sasaki-metriken på och . $\sigma$ $SM$ $S_{+}\partial M$
$\tau (w)$ betecknar utgångstiden för geodetiken med initiala förhållanden ; det är $w\in S_{+}\partial M$ ${\displaystyle \tau (w)=\sup\{t\geq 0:\forall s\in [0,t]:~\varphi _{s}(x,v)\in SM\))$

Se även

Anteckningar

↑ Croke, Christopher B. "En skarp fyrdimensionell isoperimetrisk ojämlikhet." Commentarii Mathematici Helvetici 59.1 (1984): 187–192.
↑ Ilmavirta, Joonas och Francois Monard. "4 Integral geometri på grenrör med gränser och tillämpningar." The Radon Transform: The First 100 Years and Beyond 22 (2019): 43.
↑ Santalo, Luis Antonio. Mått på uppsättningar av geodetik i ett Riemannskt utrymme och tillämpningar på integralformler i elliptiska och hyperboliska utrymmen. 1952
↑ Santaló, Luis A. Integralgeometri och geometrisk sannolikhet. Cambridge University Press, 2004

Länkar

Sergey Ivanov , Some geometric inequalities and rigidity theorems, Föreläsning 9 på YouTube , med start 1:01:52