Newton-Cotes formler

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 18 oktober 2022; verifiering kräver 1 redigering .

Newton-Cotes (Cotes) formler , även kallade Newton-Cotes kvadraturregler eller helt enkelt Newton-Cotes regler, är en grupp formler för numerisk integration (även kallade kvadraturer ) baserade på beräkningen av en integrerbar funktion vid punkter med lika mellanrum. Formlerna är uppkallade efter Isaac Newton och Roger Cotes .

Newton-Kots-formlerna är användbara när värdena för den integrerbara funktionen ges på punkter på samma avstånd från varandra. Om det är möjligt att ändra punkternas position kan andra metoder, såsom Gauss-metoden och Clenshaw-Curtis-kvadraturmetoden , vara mer lämpliga

Beskrivning

Det antas att värdena för funktionen f är definierade på segmentet och är kända vid den punkt som ligger på lika avstånd från varandra. Om och , det vill säga funktionens värden används vid intervallets gränser, kallas funktionen en kvadratur av typen "stängd", och om och , det vill säga funktionens värden vid de yttersta punkterna av intervallet inte används, då den "öppna" typen [1] . Newton-Cotes formler som använder punkter kan definieras (för båda fallen) som [2] $[a,b]$ $n+1$ $a\leqslant x_{0}<x_{1}<\dots <x_{n}\leqslant b$ $x_{0}=a$ $x_{n}=b$ $x_{0}>a$ $x_{n}<b$ $n+1$

\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \sum _{i=0}^{n}A_{i}\,f(x_{i})

var

för en formel av stängd typ , där , $x_{i}=a+ih$ $h={\frac {ba}{n}}$
för en formel med öppen typ , där . $x_{i}=a+(i+1)h$ $h={\frac {ba}{n+2))$

Talet h kallas stegstorleken och kallas kvadraturkoefficienten [3] . $A_{i}$

$A_{i}$ kan beräknas som integraler av lagrangebaspolynomen , som endast beror på och inte beror på funktionen f . Låta vara ett interpolationspolynom i Lagrange-formen för givna poäng , då $x_{i}$ $L(x)$ $(x_{0},f(x_{0})),\dots ,(x_{n},f(x_{n}))$

\int _{a}^{b}f(x)\,dx\approx \int _{a}^{b}L(x)\,dx=\int _{a}^{b} \left(\summa _{i=0}^{n}f(x_{i})\,l_{i}(x)\höger)\,dx=\summa _{i=0}^{n} f(x_{i})\underbrace {\int _{a}^{b}l_{i}(x)\,dx} _{A_{i}}.

Instabilitet för höga effekter

Man kan konstruera Newton-Cotes formler av vilken grad n som helst . Men för stort n kan Newton-Cotes-regeln ibland drabbas av Runge-fenomenet [4] , där felet växer exponentiellt för stort n . Metoder som Gauss quadrature eller Clenshaw-Curtis quadrature - med ojämna avstånd mellan punkter (har en större täthet i ändarna av integrationsintervallet) - är stabila och mer exakta, och därför vanligtvis mer att föredra än Newton-Cotes kvadratur. Om dessa metoder inte kan användas, d.v.s. om värdena för uttrycket som ska integreras endast ges i ett fast rutnät med lika avstånd, kan Runge-fenomenet undvikas genom att använda intervallpartitionering, som förklaras nedan.

Dessutom kan stabila Newton-Cotes-formler konstrueras om interpolation ersätts med minsta kvadratmetoden. Detta gör det möjligt att skriva numeriskt stabila formler även för höga styrkor [5] [6] .

Newton-Cotes formler av sluten typ

Följande tabell listar några av Newton-Cotes formler av sluten typ. För låt , och beteckningen är en förkortning för . $0\leqslant i\leqslant n$ $x_{i}=a+i{\tfrac {ba}{n}}=a+ih$ $f_{i}$ $f(x_{i})$

Slutna Newton-Cotes formler

n	Stegstorlek h	Vanligt namn	Formel	Fel
ett	$ba$	Trapetsformad metod	${\frac {h}{2}}(f_{0}+f_{1})$	$-{\frac {1}{12}}h^{3}f^{(2)}(\xi)$
2	${\frac {ba}{2))$	Simpson formel	${\frac {h}{3}}(f_{0}+4f_{1}+f_{2})$	$-{\frac {1}{90}}h^{5}f^{(4)}(\xi)$
3	${\frac {ba}{3))$	Simpson formel 3/8	${\frac {3h}{8}}(f_{0}+3f_{1}+3f_{2}+f_{3})$	$-{\frac {3}{80}}h^{5}f^{(4)}(\xi)$
fyra	${\frac {ba}{4))$	Booles regel	${\frac {2h}{45}}(7f_{0}+32f_{1}+12f_{2}+32f_{3}+7f_{4})$	$-{\frac {8}{945}}h^{7}f^{(6)}(\xi)$

Booles regel kallas ibland felaktigt för Bodes regel, som ett resultat av ett typografiskt fel i boken av Abramovitz och Steegan [7] [8] .

Graden av segmentstorlek h i felet visar den hastighet med vilken approximationsfelet minskar . Ordningen för derivatan av f i fel ger den minsta graden av ett polynom som inte kan beräknas exakt (det vill säga med noll fel) med denna regel. Numret måste tas från intervallet (a, b). $\xi$

Newton-Cotes formler av öppen typ

Tabellen visar några Newton-Cotes-formler av öppen typ. Återigen, stenografi för , där . $f_{i}$ $f(x_{i})$ $x_{i}=a+i{\frac {ba}{n+2))$

Newton-Cotes öppna formler

n	Stegstorlek h	Vanligt namn	Formel	Fel
0	${\frac {ba}{2))$	Riemann summa eller Riemann medelsumma	$2hf_{1}\,$	${\frac {1}{3}}h^{3}f^{(2)}(\xi)$
ett	${\frac {ba}{3))$		${\frac {3}{2}}h(f_{1}+f_{2})$	${\frac {3}{4}}h^{3}f^{(2)}(\xi)$
2	${\frac {ba}{4))$	Milne formel	${\frac {4}{3}}h(2f_{1}-f_{2}+2f_{3})$	${\frac {14}{45}}h^{5}f^{(4)}(\xi)$
3	${\frac {ba}{5}}$		${\frac {5}{24}}h(11f_{1}+f_{2}+f_{3}+11f_{4})$	${\frac {95}{144}}h^{5}f^{(4)}(\xi)$

Dela ett intervall

För att Newton-Cotes formel ska vara mer exakt måste längden h vara liten. Det betyder att själva integrationsintervallet måste vara litet, vilket inte är fallet i de flesta fall. Av denna anledning utförs vanligen numerisk integration genom att dela upp intervallet i mindre delintervall, på vilka Newton-Cotes formeln tillämpas, varefter resultaten läggs ihop. Se artikeln Numerisk integration . $[a,b]$ $[a,b]$

Se även

Anteckningar

↑ Berezin, Zhidkov, 1962 , sid. 240.
↑ Quarteroni, Sacco, Saleri, 2006 , sid. 386-387.
↑ Kalashnikov, Fedotkin, Fokina, 2016 , sid. 5.8.
↑ Quarteroni, Sacco, Saleri, 2006 , sid. 390-391.
↑ Pavel Holoborodko. Stabila Newton-Cotes formler (24 mars 2011). Hämtad 17 augusti 2015. Arkiverad från originalet 31 december 2017. (obestämd)
↑ Pavel Holoborodko. Stabila Newton-Cotes formler (öppen typ) (20 maj 2012). Hämtad 18 augusti 2015. Arkiverad från originalet 20 december 2017. (obestämd)
↑ Abramowitz, Stegun, 1972 .
↑ Booles Rule på Wolfram Mathworld-webbplatsen felstavade året "1960" (istället för "1860") . Hämtad 13 januari 2022. Arkiverad från originalet 24 januari 2018. (obestämd)

Litteratur

Riktlinjer för att lösa problem i numerisk integration / komp. A.L. Kalashnikov, A.M. Fedotkin, V.N. Fokina. - Nizhny Novgorod, 2016.
Quarteroni. Numerisk matematik. — 2:a. - Springer, 2006. - ISBN 978-3-540-34658-6 .
Avsnitt 25.4 // Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs and Mathematical Tables / M. Abramowitz, I.A. Stegun, eds.. - New York: Dover, 1972.
Abramovitz M., Stigan I. Handbok i specialfunktioner, Med formler, grafer och matematiska tabeller. - Moskva: "Nauka", 1979.
George E. Forsythe, Michael A. Malcolm, Cleve B. Moler. Avsnitt 5.1. // Datormetoder för matematiska beräkningar . — Englewood Cliffs, NJ: Prentice–Hall, 1977.
Press WH, Teukolsky SA, Vetterling WT, Flannery BP Avsnitt 4.1. Klassiska formler för Equally Spaced Abscissas // Numeriska recept: The Art of Scientific Computing. — 3:a. - New York: Cambridge University Press, 2007. - ISBN 978-0-521-88068-8 .
Josef Stoer, Roland Bulirsch. Avsnitt 3.1 // Introduktion till numerisk analys . — New York: Springer-Verlag, 1980.
Berezin, I. S. , Zhidkov N. P. Computational methods. - 2:a uppl. -M .:Fizmatlit, 1962. - T. I. (ryska)

Länkar

Hazewinkel, Michiel, red. (2001), Newton–Cotes kvadraturformel , Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
Newton-Cotes formler på www.math-linux.com
Weisstein, Eric W. Newton–Cotes Formulas (engelska) på Wolfram MathWorlds webbplats .
Newton-Cotes Integration , numericalmathematics.com