Formler för förkortad multiplikation av polynom

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 20 februari 2022; kontroller kräver 2 redigeringar .

Förkortade polynommultiplikationsformler är vanliga fall av polynommultiplikation . Många av dessa är specialfall av Newtons binomial . Studeras på gymnasiet i kursen algebra .

Formler för rutor

$(a\pm b)^{2}=a^{2}\pm 2ab+b^{2}$
$\left(a+b+c\right)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2ac+2bc$

Skillnaden mellan två rutor

Varje skillnad på två kvadrater kan representeras som en produkt med formeln

a^{2}-b^{2}=(ab)(a+b)

Bevis

Det matematiska beviset för lagen är komplext. Genom att tillämpa distributionslagen till höger sida av formeln får vi:

{\displaystyle (a+b)(ab)=a^{2}+ba-ab-b^{2))

På grund av multiplikationens kommutativitet förstörs mellantermerna:

ba-ab=0

och finns kvar

{\displaystyle (a+b)(ab)=a^{2}-b^{2))

Den resulterande identiteten är en av de mest använda inom matematik. Bland många applikationer ger det ett enkelt bevis på det aritmetiska medelvärdet, det geometriska medelvärdet och det harmoniska medelvärdesolikheten för två variabler.

Beviset är giltigt i vilken kommutativ ring som helst .

Omvänt, om denna identitet håller i ringen R för alla par av element a och b , så är R kommutativ. För att verifiera detta tillämpar vi distributionslagen till höger sida av ekvationen och får:

{\displaystyle a^{2}+ba-ab-b^{2))

För att detta ska vara lika måste vi ha $a^{2}-b^{2}$

ba-ab=0

för alla par a , b , så R är kommutativ.

Kubformler

$(a\pm b)^{3}=a^{3}\pm 3a^{2}b+3ab^{2}\pm b^{3}$
$a^3\pm b^3=(a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)$
$\left(a+b+c\right)^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3a^{2}b+3a^{2}c+3ab^ {2}+3ac^{2}+3b^{2}c+3bc^{2}+6abc$

Formler för fjärde graden

$(a\pm b)^{4}=a^{4}\pm 4a^{3}b+6a^{2}b^{2}\pm 4ab^{3}+b^{4}$
$a^{4}-b^{4}=(ab)(a+b)(a^{2}+b^{2})$ (härstammar från ) $a^{2}-b^{2}$
$a^{4}+b^{4}=(a^{2}-{\sqrt {2}}ab+b^{2})(a^{2}+{\sqrt {2} }ab+b^{2})$

Formler för n :e graden

$a^{n}-b^{n}=(ab)(a^{n-1}+a^{n-2}b+a^{n-3}b^{2}+. ..+a^{2}b^{n-3}+ab^{n-2}+b^{n-1})$
$a^{2n}-b^{2n}=(a+b)(a^{2n-1}-a^{2n-2}b+a^{2n-3}b^{2} -...-a^{2}b^{2n-3}+ab^{2n-2}-b^{2n-1})$ , var $n\i N$
$a^{2n}-b^{2n}=(a^{n}+b^{n})(a^{n}-b^{n})$
$a^{2n+1}+b^{2n+1}=(a+b)(a^{2n}-a^{2n-1}b+a^{2n-2}b^{ 2}-...+a^{2}b^{2n-2}-ab^{2n-1}+b^{2n})$ , var $n\i N$

I komplexa tal

$a^{2}+b^{2}=(a+bi)(a-bi)$
$a^{3}\pm b^{3}=\left(a\pm b\right)\left(a+{\frac {\mp 1+{\sqrt {3}}i}{2} }b\right)\left(a+{\frac {\mp 1-{\sqrt {3}}i}{2}}b\right)$
$a^{4}-b^{4}=(a+b)(a+ib)(ab)(a-ib)$
$a^{4}+b^{4}=\left(a+{\frac {1+i}{\sqrt {2}}}b\right)\left(a+{\frac {-1+ i}{\sqrt {2}}}b\right)\left(a+{\frac {-1-i}{\sqrt {2}}}b\right)\left(a+{\frac {1-i }{\sqrt {2}}}b\right)$