Landau funktion

Landau-funktionen i talteorin , uppkallad efter den tyske matematikern Edmund Landau , definieras för varje naturligt tal n som den största ordningen av ett element i den symmetriska gruppen . $g(n)$ $S_{n}$

Definitioner

Ekvivalenta definitioner: lika med den största av de minsta gemensamma multipeln (LCM) över alla partitioner av numret n , eller det maximala antalet gånger som en permutation av n element kan tillämpas successivt före den första förekomsten av den ursprungliga sekvensen. Så formellt: $g(n)$

g(n)=\max \limits _{k_{1}+\ldots +k_{m}=n}HOK(k_{1},\ldots ,k_{m})

Till exempel, 5 = 2 + 3 och LCM(2,3) = 6. Ingen annan partition ger en större minsta gemensamma multipel, därför . Ett element av ordning 6 i en grupp kan skrivas som en produkt av två cykler: (1 2) (3 4 5). $g(5)=6$ $S_5$

Egenskaper

Heltalssekvens g (0)=1, g (1)=1, g (2)=2, g (3)=3, g (4)=4, g (5)=6, g (6)=6 , g (7) = 12, g (8) = 15, … är OEIS-sekvensen A000793 , uppkallad efter Edmund Landau , som bevisade 1902 [1] att

\lim _{n\to \infty }{\frac {\ln(g(n))}{\sqrt {n\ln(n)))}=1

(där ln står för den naturliga logaritmen ).

I detta fall förekommer de lokala maxima för uttrycket under gränstecknet vid n = 2, 3, 5, 7, 9, 10, 12, 17, 19, 30, 36, 40, … (sekvens A103635 i OEIS ).

Påståendet att

\ln g(n)<{\sqrt {\operatörsnamn {Li} ^{-1}(n)))

för alla n , där betecknar inversen av integrallogaritmen , är ekvivalent med Riemanns hypotes . ${\displaystyle \operatörsnamn {Li} ^{-1))$

Andra förhållanden:

I LCM (1, 2, …, n) . Den första ojämlikheten följer av det faktum att det är en av partitionerna, den andra asymptotiken från Landaus påstående. $\leqslant \ln g\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)\sim n{\sqrt {\ln n}}$ $1+2+\dots +n={\frac {n(n+1)}{2))$
Låt gpf( g(n) ) vara den största primtalsfaktorn för g(n) . Värdena för denna funktion för n=2, 3, ... kommer att vara 2, 3, 2, 3, 3, 3, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 7, 7, 7, 7 , 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 11, … (sekvens A129759 i OEIS ). J.L. Nicolas 1969 visade att . J.P. Massias et al. (1988, 1989) visade att för alla , och J. Grantham (1995) visade att konstanten 2,86 kan förbättras till 1,328. $\operatörsnamn {gpf} (g(n))\sim {\sqrt {n\ln n))$ $n\geqslant 2$ $\operatorname {gpf} (g(n))\leqslant 2{,}86{\sqrt {n\ln n))$ $n\geqslant 5$

Anteckningar

↑ Landau, s. 92-103

Litteratur

E. Landau , "Über die Maximalordnung der Permutationen gegebenen Grades [Om den maximala permutationsordningen för en given ordning]", Arch. Matematik. Phys. Ser. 3, vol. 5, 1903.
W. Miller, "The maximum order of an element of a finite symmetric group", American Mathematical Monthly , vol. 94, 1987, sid. 497-506.
J.L. Nicolas, "Om Landaus funktion g ( n )", i The Mathematics of Paul Erdős , vol. 1, Springer-Verlag , 1997, sid. 228-240.

Länkar

Weisstein, Eric W. Landau Function (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
sekvensen A000793 i OEIS är Landau-funktionen för naturliga tal.