Sannolikhetsfunktion

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 22 mars 2021; kontroller kräver 8 redigeringar .

En sannolikhetsfunktion i sannolikhetsteorin är en funktion som returnerar sannolikheten att en diskret slumpmässig variabel kommer att få ett visst värde. Till exempel, let är en sannolikhetsfunktion, då beräknas sannolikheten att den tar ett värde lika med 13 genom att ersätta värdet med en funktion som redan returnerar en sannolikhet, till exempel 0,5 - det betyder att sannolikheten att få talet 13 är 0,5. $X$ $p:\mathbb {R} ^{n}\to [0,1]$ $X$ $X=13$ $p(X)=p(13)$

Om är en skalär slumpvariabel, ges sannolikhetsfunktionen av en tabell med möjliga värden med motsvarande sannolikheter ( ); en sådan tabell kallas en " distributionsserie " [1] . $X$ ${\displaystyle x_{i},\,p_{i))$

Sannolikhetsfunktionen är det vanligaste sättet att karakterisera en diskret fördelning . Den spelar samma roll som sannolikhetstätheten för en kontinuerlig stokastisk variabel (dock i den senare situationen talar vi inte om sannolikheten att realisera ett specifikt värde , utan om sannolikheten att värdet av en stokastisk variabel faller in i en given intervall, som hittas genom att integrera sannolikhetstätheten över detta intervall). $X$

Definitioner

Godtycklig sannolikhetsfunktion

Låta vara ett sannolikhetsmått på , Det vill säga ett sannolikhetsutrymme definieras , där betecknar Borel σ-algebra på . Ett sannolikhetsmått kallas diskret om dess stöd inte är mer än countable , det vill säga det finns inte mer än en räknebar delmängd så att . $\mathbb {P}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\left(\mathbb{R}^n,\mathcal{B}(\mathbb{R}^n),\mathbb{P}\right)$ $\mathcal{B}(\mathbb{R}^n)$ $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {P}$ $X\subset \mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {P} (X)=1$

Funktionen definierad enligt följande: $p:\mathbb {R} ^{n}\to [0,1]$

p(x)=\left\{{\begin{matrix}\mathbb {P} (\{x\}),&x\in X\\0,&x\in \mathbb {R} ^{n }\setminus X,\end{matrix}}\right.

där är ett diskret sannolikhetsmått , kallas sannolikhetsfunktionen . Det är viktigt att förstå här att en funktion definierad på mängder , inte siffror, medan den definieras genom , redan är en funktion definierad över siffror. $\mathbb {P}$ $\mathbb {P}$ $\mathbb {P}$ $p(x)$ $\mathbb {P}$

Sannolikhetsfunktion för en diskret slumpvariabel

Låt ( ) vara en slumpvariabel (slumpvektor). Sedan inducerar (inducerar) det ett sannolikhetsmått på (på ), som kallas fördelningen. En slumpvariabel kallas diskret om dess fördelning är diskret. Sannolikhetsfunktionen för en diskret slumpvariabel har formen: $X:\Omega \to \mathbb {R}$ $X:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {P} ^{X}$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {R} ^{n}$ $p_{X}$ $X$

p_{X}(x)=\mathbb {P} ^{X}(\{x\})\equiv \mathbb {P} (X=x)

eller

p_{X}(x_{i})=\mathbb {P} (X=x_{i})=p_{i},\;i\in \mathbb {N} ,

var är uppsättningen värden som . ${\displaystyle \{x_{1},x_{2},x_{3},\ldots \))$ $X$

Egenskaper för sannolikhetsfunktionen

Från sannolikhetens egenskaper är det uppenbart[ till vem? ] följer:

$p_{X}(x_{i})\geqslant 0,\;\forall i\in \mathbb {N}$ .
$\sum \limits _{i=1}^{\infty }p_{X}(x_{i})=1$ .
Fördelningsfunktionen för en slumpvariabel kan uttryckas i termer av dess sannolikhetsfunktion:

F_{X}(x)=\summa \limits _{x'\leqslant x}p_{X}(x')

Om , då $X=(X_{1},X_{2})$

\sum \limits _{x_{2}}p_{X_{1},X_{2}}(x_{1},x_{2})=p_{X_{1}}(x_{1} )

\sum \limits _{x_{1}}p_{X_{1},X_{2}}(x_{1},x_{2})=p_{X_{2}}(x_{2} )

där är sannolikhetsfunktionen för vektorn , och är sannolikhetsfunktionen för storheten . Denna egenskap generaliserar uppenbarligen till slumpmässiga vektorer av dimension . $p_{X_{1},X_{2))$ $(X_{1},X_{2})$ $p_{X_{i))$ $X_{i},\;i=1,2$ $n>2$

Den matematiska förväntan av en funktion från en diskret storhet, när den existerar, är:

{\displaystyle \mathbb {E} [g(X)]=\summa \limits _{i=1}^{n}g(x_{i})\,p_{i))

förutsatt att serien på höger sida konvergerar absolut .

Exempel på diskreta distributioner

Se även

Sannolikhetstäthet

Anteckningar

↑ E. S. Wentzel , A. A. Ovcharov Theory of Probability. M.: Nauka (1973), se sid. 88.