Epsilon kvarter

$\varepsilon$ - grannskapet till en uppsättning i funktionsanalys och relaterade discipliner är en sådan uppsättning, vars varje punkt är mindre än . $\varepsilon$

Definitioner

Låt det finnas ett metriskt utrymme , och -grannskap är uppsättningen $(X,\varrho)$ $x_0 \i X,$ $\varepsilon > 0.$ $\varepsilon$ $x_{0}$

U_{\varepsilon}(x_0) = \{ x\in X \mid \varrho(x,x_0) < \varepsilon \}.

En punkts punkterade -grannskap är dess -grannskap utan sig själv: $\varepsilon$ $x_{0}$ $\varepsilon$

{\dot {U}}_{\varepsilon }(x_{0})=U_{\varepsilon }(x_{0})\backslash x_{0}

Låt en delmängd ges. Då är -grannskapet för denna uppsättning mängden $A\subsetX.$ $\varepsilon$

U_{\varepsilon}(A) = \bigcup\limits_{x \in A} U_{\varepsilon}(x).

Anteckningar

$\varepsilon$ -grannskap till en punkt kallas alltså en öppen boll med centrum vid och radie $x_{0}$ $x_{0}$ $\varepsilon.$
Det följer direkt av definitionen att

U_{\varepsilon}(A) = \{ x\in X \mid \exists y\in A\; \varrho(x,y) < \varepsilon\}.

$\varepsilon$ -kvarter är en stadsdel och i synnerhet en öppen uppsättning .

Exempel

Låt det finnas en riktig linje med standardmått . Då $\mathbb {R}$ $\varrho(x,y) = |xy|,\; x,y \in \mathbb{R}.$

$U_2(1) = (-1,3);$
$U_1([5,7]) = (4,8).$