Effektiv ränta

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 2 augusti 2021; verifiering kräver 1 redigering .

Effektiv ränta ( EIR, EIR, Effective Interest Rate ) är den ränta (diskonteringsränta) vid vilken det diskonterade värdet av kassaflödet från ett finansiellt instrument (tillgång, skuld, investeringsprojekt, etc.) är lika med någon uppskattning av det aktuella värdet av detta instrument (investeringar). Den effektiva räntan kan bestämmas för vilken tidsperiod som helst, men den årliga effektiva räntan är vanligtvis underförstådd.

EIR är en sammansatt ränta som tar hänsyn till pengars tidsvärde, vilket gör att du kan jämföra olika kassaflöden, instrument, tillgångar, skulder, projekt med varandra.

Olika namn kan användas i olika situationer. För obligationer används begreppet avkastning till löptid (YTM), för investeringsprojekt - internräntan (INR, IRR, Internal Rate of Return).

EIR-metoden är den huvudsakliga metoden för att värdera finansiella tillgångar och skulder i IFRS (se IFRS 9) när de redovisas till upplupet anskaffningsvärde. Vid första redovisningen värderas ett instrument till verkligt värde och används för att fastställa EIR. Vidare bestäms instrumentets värde som det diskonterade värdet av kassaflödet från instrumentet som förväntas efter det aktuella ögonblicket vid denna initiala EIR.

Formaliserad beskrivning

Allmän definition

I enlighet med definitionen definieras EIR för ett finansiellt instrument med ett värde S (vid en given tidpunkt) generellt som en lösning med avseende på r i ekvationen

$S=\sum _{i=1}^{n}{\frac {CF_{t_{i}}}{(1+r)^{t_{i}}}}$

var är betalningen för instrumentet vid tidpunkten (tiden räknas från det aktuella ögonblicket i enheter av r). $CF_{t_{i))$ $t_{i}$

Om EPS bestäms för någon basperiod, då för att bestämma EPS för perioden T, innehållande m basperioder (m är inte nödvändigtvis ett heltal) i ovanstående ekvation i potenser av diskonteringsfaktorer, måste tiden också omvandlas till nya enheter , respektive istället för att använda . Detta motsvarar att använda istället för , därför har vi sammansatt ränta, det vill säga $t_{i}$ $t_{i}/m$ $1+r$ ${\displaystyle (1+R)^{1/m))$

$R=(1+r)^{m}-1$

EIR för ett räntebärande instrument med full återbetalning av det ursprungliga beloppet under (eller i slutet av) löptiden

Låt följande villkor vara uppfyllda samtidigt för instrumentet:

1) betalningar på ett finansiellt instrument är endast betalningar för att återbetala kapitalskulden och ränta på dess återstående del; 2) betalningar görs efter en bestämd tidsperiod (nedan kallad basperioden); 3) den nominella räntan enligt avtalet är oförändrad under hela avtalets löptid (vi betecknar den q för räntan för basperioden) och den används för att beräkna den procentuella komponenten av betalningar: räntan för denna basperiod är lika med produkten av q gånger saldot av huvudskulden i början av basperioden; 4) under kontraktets löptid är det ursprungliga skuldbeloppet fullt återbetalat (det specifika schemat för återbetalning av skulden spelar ingen roll, skulden kan återbetalas helt i slutet av löptiden och under löptiden).

Det kan visas att under dessa förhållanden är den effektiva räntan för basperioden lika med den nominella räntan för samma period: . Samtidigt är EIR för en annan period inte lika med den nominella räntan för samma period, utan måste räknas om med formeln för sammansatt ränta. Till exempel kommer EPS för m basperioder att vara lika med: , vilket inte sammanfaller med den nominella räntan för denna period: $r=q$ ${\displaystyle R_{m}=(1+q)^{m))$ $Q=qm$

Bevis

EPS för basperioden definieras som lösningen med avseende på r av lösningen till ekvationen:

S_{0}=\sum _{t=1}^{n}{\frac {CF_{t}}{(1+r)^{t}}}

Samtidigt består betalningar av betalningar för att återbetala kapitalskulden och ränta på dess återstående del:

CF_{t}=-\Delta {S_{t}}+I_{t}=S_{t-1}-S_{t}+qS_{t-1}=(1+q)S_{t -1}-S_{t}

Då kommer ekvationen för att hitta EPS se ut så här:

S_{0}=\summa _{t=1}^{n}{\frac {(1+q)S_{t-1}-S_{t}}{(1+r)^{t }}}=\summa _{t=1}^{n}{\frac {(1+q)S_{t-1}}{(1+r)^{t}}}-\summa _{t =1}^{n}{\frac {S_{t}}{(1+r)^{t}}}={\frac {1+q}{1+r}}\summa _{t=1 }^{n}{\frac {S_{t-1}}{(1+r)^{t-1}}}-\summa _{t=1}^{n}{\frac {S_{t }}{(1+r)^{t}}}

Låt oss ange för enkelhetens skull och med hänsyn till vad och vad (i slutet av löptiden måste instrumentet återbetalas), kommer ekvationen för EIR att ha formen: $k={\frac {1+q}{1+r))$ $\sum _{t=1}^{n}{\frac {S_{t-1}}{(1+r)^{t-1}}}=\summa _{t=1}^ {n}{\frac {S_{t}}{(1+r)^{t}}}-{\frac {S_{n}}{(1+r)^{n}}}+S_{0 }$ $S_{n}=0$

S_{0}=k(\summa _{t=1}^{n}{\frac {S_{t}}{(1+r)^{t}}}+S_{0})- \sum _{t=1}^{n}{\frac {S_{t}}{(1+r)^{t}}}

Därmed får vi jämställdheten

(1-k)S_{0}=-(1-k)\summa _{t=1}^{n}{\frac {S_{t}}{(1+r)^{t} }}

Om då detta uttryck leder till en omöjlig likhet: eftersom den vänstra sidan och den högra sidan av likheten är icke-noll och har motsatta tecken. Därför är den enda konsekvensen av detta att . Detta innebär att , det vill säga de nominella och effektiva räntorna för basperioden är lika med varandra, vilket skulle bevisas. $k<>1$ ${\displaystyle S_{0}=-\summa _{t=1}^{n}{\frac {S_{t}}{(1+r)^{t))))$ $k=1$ $q=r$

I fallet med sådana instrument kan EIR således inte bestämmas genom att lösa ekvationer, utan genom en formel direkt från den nominella räntan enligt kontraktet och betalningsfrekvensen. Om den nominella årsräntan är lika med Q, och betalningar görs i lika perioder om t dagar, är antalet basperioder per år lika med m=365/t och den årliga effektiva räntan blir lika med

$R=(1+Q/m)^{m}-1$

Exempel på sådana räntebärande instrument är alla standardlån och inlåning, såvida de inte har ytterligare intäkter eller kostnader som beaktas vid beräkning av EIR. Samtidigt spelar betalningsplanen ingen roll (livränta, differentierad, i slutet av löptiden etc.), det som spelar roll är bara samma perioder för att göra betalningar (eller ränteaktivering), frånvaron av andra kassaflöden andra än återbetalning av kapitalskulden och ränta på dess saldo.

Det bör dock noteras att om räntan beräknas, till exempel på månadsbasis, enligt det exakta antalet dagar i en månad, så har månaderna formellt sett inte samma varaktighet, så ovanstående villkor är inte helt korrekta och följaktligen är formeln ovan inte korrekt. Felet i samband med detta är dock vanligtvis inte betydande och i praktiken kan detta i många fall negligeras.

Det enklaste specialfallet: ett räntebärande instrument med återbetalning av skuld i slutet av löptiden

I det enklaste fallet, när det finns ett instrument (till exempel ett lån eller en obligation) med ett värde S (lånebelopp, nominellt värde), som återbetalas med exakt samma belopp i slutet av löptiden, på vilken ränta ackumuleras till en kurs q för en fast basperiod (kupongperiod ) under instrumentets livslängd, kan det direkt visas att EIR för basperioden är lika med den nominella räntan för den perioden. Faktum är att ekvationen för den årliga EPS för denna basperiod är

$S=\sum _{i=1}^{n}{\frac {q*S}{(1+r)^{i))}+{\frac {S}{(1+r) ^{n}}}=qS{\frac {1-(1+r)^{-n}}{r}}+S(1+r)^{-n}$

Härifrån

$S(1-(1+r)^{-n})=qS{\frac {1-(1+r)^{-n}}{r}}$

Om vi minskar de vänstra och högra delarna med att vi får att q=r , det vill säga EPS för basperioden och den nominella kursen för samma period är lika med varandra. $S(1-(1+r)^{-n})$

Observera att för samma obligation, köpt inte till nominellt värde, utan till något annat marknadspris, stämmer ovanstående uttalande om jämlikheten mellan EPS och den nominella räntan för basperioden inte längre, eftersom ett belopp som skiljer sig från det ursprungliga. återbetalas under perioden.

Effektiv ränta

Formaliserad beskrivning

Allmän definition

EIR för ett räntebärande instrument med full återbetalning av det ursprungliga beloppet under (eller i slutet av) löptiden

Se även