Kärnan i kategoriteorin är den kategoriska motsvarigheten till kärnan i en homomorfism från allmän algebra ; intuitivt är kärnan i en morfism den "mest allmänna" morfismen varefter applikationen ger nollmorfismen .
Låt vara en kategori med noll morfismer . Då är morfismens kärna utjämnaren av den och nollmorfismen . Mer uttryckligen gäller följande generiska egenskap :
Kärnan är en morfism sådan att:
I många kategorier sammanfaller denna definition av kärnan med den vanliga: om är en homomorfism av grupper eller moduler , så är kärnan i kategorisk mening en inbäddning av kärnan i algebraisk mening i förbilden.
Men i kategorin monoider liknar kärnor i kategorisk betydelse gruppers kärnor, så definitionen av en kärna i monoidteorin är något annorlunda. I kategorin ringar , tvärtom, finns det inga kärnor i kategorisk mening alls, eftersom det inte finns några nollmorfismer. Kärnorna av monoider och ringar kan tolkas i kategoriteori med begreppet par av kärnor .
Begreppet dubbel till kärnan är kokkärnan , det vill säga kärnan i en morfism är dess kokkärna i den dubbla kategorin , och vice versa.
Varje kärna, som alla andra utjämnare , är en monomorfism . Omvänt sägs en monomorfism vara normal om den är kärnan i en annan morfism. En kategori kallas normal om varje monomorfism i den är normal.
I synnerhet är abelska kategorier normala. I denna situation kallas kärnan i en morfisms kokkärna dess bild . Dessutom är varje monomorfism sin egen bild.