Asymptotiskt parallella linjer

I neutral eller absolut geometri och i Lobachevsky-geometri kan det finnas många linjer parallella med en given linje och som går genom en punkt utanför denna linje. Två parallella kan dock vara närmare än de andra (en på varje sida). $R$ $P$ $R$

Det är vettigt i detta fall att ge en annan definition av parallellitet för neutral geometri. Om det finns mycket nära paralleller till en given linje, kallas de asymptotiskt parallella eller parallella i gränsen .

För strålar är den asymptotiska parallellismrelationen en ekvivalensrelation som inkluderar en terminal ekvivalensrelation.

Asymptotiska paralleller kan bilda två eller tre sidor av en asymptotisk triangel.

Definition

En stråle är asymptotiskt parallell med en stråle om de är koterminala, eller om de ligger på olika linjer som inte är lika med , inte skär varandra, och någon stråle inuti vinkeln skär strålen [1] . $Aa$ $Bb$ $AB$ $BAa$ $Bb$

Egenskaper

Olika linjer som innehåller asymptotiska parallella strålar skär inte varandra.

Bevis

Antag att linjer som innehåller olika parallella strålar skär varandra. Per definition kan de inte skära varandra på den sida som strålen är på . Sedan måste de skära varandra på den sida som är motsatt strålen , låt oss beteckna denna punkt som . Då (här P = rät vinkel) . Motsägelse. $AB$ $a$ $AB$ $a$ $C$ $\angle CAB+\angle CBA<2P\Rightarrow \angle aAB+\angle bBA>2P$

Se även

En horocykel , i Lobachevsky-geometri, en kurva vars normaler är asymptotiskt parallella
Parallell vinkel

Anteckningar

↑ Hartshorne, 2000 .

Litteratur

Robin Hartshorne . Geometri: Euklid och därefter. — Korr. 2:a trycket.. - New York, NY [ua]: Springer, 2000. - ISBN 978-0-387-98650-0 .