Interaktion med många kroppar

Komplexet av problem i samverkan mellan många kroppar är ganska omfattande och är en av de grundläggande, långt ifrån helt lösta, delarna av mekaniken . Inom ramen för det Newtonska konceptet förgrenar sig problemet till:

ett komplex av problem med kollision mellan två eller flera materiella kroppar, när kropparnas inflytande på varandra begränsas av tiden för deras direkta kontakt;
koherenta vibrationer av materiella kroppar med en begränsad påverkan av kroppar på varandra av angränsande kroppar;
en uppsättning problem på den ömsesidiga rörelsen av kroppar under påverkan av gravitationella, elektriska fält av alla kroppar på varandra.

Med andra ord är komplexet av uppgifter uppdelat efter tillståndet för kropparnas interaktion med varandra, när vissa nyanser av interaktioner kan försummas. I det första fallet försummas samspelet utanför den direkta kontakten mellan kropparna. I det andra fallet försummas interaktioner med icke-angränsande delar av systemet. I det tredje fallet beaktas som regel inte problemen med direktkontakt mellan organ. Dessa begränsningar beror på komplexiteten i den allmänna lösningen av problemet, som i teorin bör omfatta alla tre uppsättningarna av problem.

Spridning av två eller flera materialkroppar

Denna uppsättning problem lösta inom ramen för effektteorin är i sin tur uppdelad i

absolut elastiska kollisioner ;
absolut oelastiska kollisioner;
delvis elastiska kollisioner.

Denna uppsättning uppgifter är också uppdelad i uppgifter med centrala och icke-centrala kollisioner.

För två kroppar kallas en kollision direkt eller central, där den gemensamma normalen till kropparnas yta i kontaktpunkten passerar genom deras masscentrum och när masscentrumens hastigheter i början av sammanstötningen är riktad efter det vanliga normala. För många kroppar kan en kollision betraktas som central, där för var och en av systemets två kroppar normalen till kropparnas yta vid kontaktpunkten passerar genom deras masscentrum och när de geometriska dimensionerna av massorna själva kan försummas.

Absolut elastiska kollisioner

För en central kollision av två kroppar har lösningen av problemet formen [1] , [2]

u_{1}={\frac {{v_{1}\left({m_{1}-m_{2}}\right)+2m_{2}v_{2}}}{{m_{1}+m_ {2}}}}\,\,;

u_{2}={\frac {{v_{2}\left({m_{2}-m_{1}}\right)+2m_{1}v_{1}}}{{m_{1}+m_ {2}}}}\,\,\,.

var är kropparnas hastigheter före kollisionen; är massorna av två kroppar, är kropparnas hastigheter efter kollisionen. $v_{1},\,v_{2}$ $m_{1},\,m_{2}$ $u_{1},\,u_{2}$

För 'n' kroppar ser lösningen ut som [3]

{\vec u}_{i}={\frac {{\left({m_{i}-M_{i}}\right){\vec v}_{i}+2{\vec v}_{ {mi}}M_{i}}}{{\sum \limits _{j}{m_{j}}}}}

var är numret på den studerade kroppen av systemet; $i$

${\vec v}_{{mi}}={\frac {1}{{M_{i}}}}\sum \limits _{{j\neq i}}^{n}{m_{j}{ \vec v}_{j}=}{\frac {1}{{M_{i))))\left({m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}+... +m_{{i-1}}v_{{i-1}}+m_{{i+1}}v_{{i+1}}+...+m_{{n-1}}v_{{ n-1}}+m_{n}v_{n}}\höger)$ ;

$M_{i}=\summa \limits _{{j\neq i}}^{n}{m_{j}=}\,\,m_{1}+m_{2}+...+m_{{ i-1}}+m_{{i+1}}+...+m_{{n-1}}+m_{n}$ .

http://selftrans.narod.ru/v5_1/many_body/many_body65/agfig9.gif

Vid en off-center-kollision bör man ta hänsyn till det vridmoment som uppstår på grund av off-center-påverkan, till vilken en del av de kolliderande kropparnas energi och momentum fördelas.

Absolut oelastiska kollisioner

För en central absolut oelastisk påverkan av två kroppar har lösningen formen [4] , [5]

u={\frac {{m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}}{{m_{1}+m_{2}}}}

Energiförlusten vid sammanstötning bestäms av Carnots sats : Den kinetiska energin som ett system av kroppar förlorar under en absolut oelastisk sammanstötning är lika med den kinetiska energi som systemet skulle ha om det rörde sig med förlorade hastigheter [6] .

Den energi som omvandlas till uppvärmning av de kolliderande kropparna på grund av en absolut oelastisk påverkan bestäms av uttrycket [4]

\Delta W=-{\frac {{m_{1}m_{2}}}{{2\left({m_{1}+m_{2}}\right)}}}\left({v_{1 }-v_{2}}\höger)^{2}<0

Med en stöt utanför centrum, som i fallet med en perfekt elastisk stöt, är det nödvändigt att ta hänsyn till det vridmoment som genereras på grund av den icke-centrala stöten. Det leder till ledrotation av de fastnade kropparna efter sammanstötningen.

Icke-absolut elastisk effekt

Med en icke-absolut elastisk (eller helt enkelt oelastisk) påverkan används konceptet med stötåtervinningskoefficienten för att hitta en lösning.

Återhämtningsfaktorn i slagteorin är ett värde som beror på de kolliderande kropparnas elastiska egenskaper och bestämmer hur stor andel av den relativa initialhastigheten för dessa kroppar som återställs vid slutet av sammanstötningen . återhämtningsfaktor. kännetecknar förlusten av mekanisk energi hos kolliderande kroppar på grund av uppkomsten av kvarvarande deformationer i dem och deras uppvärmning [7] . Vanligtvis bestäms återhämtningsfaktorn av kroppens återhämtning från den massiva plattan. I detta fall är särskilt koefficienten lika med [8]

träd på träd 1/2;
stål på stål 5/9;
elfenben på elfenben 8/9;
glas på glas 15/16.

Med en oelastisk central påverkan av två kroppar, givet att påverkan beror på skillnaden i hastigheter, bestäms återhämtningskoefficienten av relationen [5]

k=-{\frac {{u_{1}-u_{2}}}{{v_{1}-v_{2}}}}

Energiförlusten under oelastisk påverkan bestäms av uttrycket [9] :

\Delta W={\frac {{1-k}}{{2\left({1+k}\right)}}}\left[{M_{1}\left({v_{1}-u_{ 1}}\right)^{2}+M_{2}\left({v_{2}-u_{2}}\right)^{2}}\right]

Med en off-center-påverkan, utan att friktion försummas, bestäms återhämtningskoefficienten endast för projektioner av hastigheter vinkelräta mot kropparnas kontaktyta [10] .

Koherenta vibrationer av materiella kroppar

Koherenta vibrationer av materiella kroppar beskrivs av ett system av andra ordningens ekvationer. Till exempel, för en ändlig, homogen elastisk linje, vars mittelement påverkas av en yttre harmonisk kraft , har detta ekvationssystem formen $Med)$

$m{\frac {{d^{2}\Delta _{1}}}{{dt^{2}}}}=s(\Delta _{2}-\Delta _{1})\,\, ;$

$m{\frac {{d^{2}\Delta _{2}}}{{dt^{2}}}}=s(\Delta _{3}+\Delta _{1}-2\Delta _ {2})\,\,;$

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ;

$m{\frac {{d^{2}\Delta _{k}}}{{dt^{2}}}}=F(t)+s(\Delta _{{k+1}}+\Delta _{{k-1}}-2\Delta _{k})\,\,;$

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ;

${m{\frac {{d^{2}\Delta _{n}}}{{dt^{2}}}}=s(\Delta _{{n-1}}-\Delta _{n} )\,}$ .

I ett givet ekvationssystem skiljer sig de första, sista och de andra ekvationerna och definierar respektive gräns- och initialvillkor för svängningar som uppstår i ett givet dynamiskt system . Således, för ett dynamiskt system med klumpade parametrar, behövs inga ytterligare villkor förutom själva systemet med differentialekvationer. När man hittar exakta analytiska lösningar leder dessa egenskaper i modelleringssystemet av ekvationer till en skillnad i lösningarna på problemet. I synnerhet beskriver de villkoren för förekomsten av svängningar i en av grenarna, såväl som den samtidiga förekomsten av en progressiv och stående våg i ett dynamiskt system. $k$

Ekvationssystem som beskriver diskreta dynamiska system har som regel tre lösningar: periodisk, kritisk och aperiodisk [11] . Ett undantag är dynamiska system med resonansdelsystem. I dessa system finns det ett "negativt mått på tröghet" [12] .

Det är viktigt att notera att när man går till gränsen för dynamiska system med distribuerade parametrar på nivån för modellering av differentialekvationer, försvinner initial- och randvillkoren och systemet reduceras till en vågekvation . I detta fall blir införandet av ytterligare initiala och randvillkor ett akut behov. Samtidigt uppstår problemet med att skriva dessa villkor, särskilt i icke-triviala fall av övergångar mellan linjesegment med olika parametrar, med icke-stationära gränser, etc. Å andra sidan, om vi använder passagen till gränsen inte för modellering ekvationer, men för deras lösningar, så lagras singulariteterna inbäddade i modelleringssystemet av ekvationer i lösningarna och, när de passerar till gränsen, visas i lösningarna för ett distribuerat dynamiskt system. Detta tar bort gränsproblemet när man ska hitta lösningar för dynamiska system med komplexa gränser och initiala villkor.

Flerdimensionella dynamiska system betraktas främst av numeriska metoder och metoder för diskret matematik. Speciellt utvecklas anvisningar för att utvidga Krylov-Bogolyubov-metoden till dimensionella system [13] ; numerisk modellering med metoder för diskret matematik [14] ; metoder baserade på den kvalitativa teorin om differentialekvationer och grafanalytiska metoder för abstrakt algebra [15] osv. $n$

Ett antal forskare behandlar problemen med att matcha effektproblem med problem för smidiga system [16] .

Bristen på exakta lösningar för grundläggande flerdimensionella modeller tvingar oss att leta efter några speciella approximationer, och ofta att begränsas endast till avlägsna externa uppskattningar av beteendet hos dynamiska diskreta system. Idag, ”i en vidare mening är problemet att hitta en uppsättning villkor som skulle vara uppfyllda för ett typiskt dynamiskt system och samtidigt i hög grad bestämma dess möjliga egenskaper, vilket gör situationen mer eller mindre synlig. Ett sådant generellt uttalande är inte så tydligt. Det råder dock ingen tvekan om att detta problem har lösts när det gäller en liten dimension av fasutrymmet och inte har lösts i det allmänna fallet” [17] .

N - kroppsproblemet

Problemet med kroppar är uppdelat i: $N$

problemet med spridning av kroppar (ostadig rörelse) på grund av interaktion i ömsesidiga fält av varandra;
problemet med ömsesidig stationär rörelse av kroppar på varandras fält.

I sin tur är problemet med stationär rörelse traditionellt uppdelat i tvåkroppsproblemet, trekroppsproblemet och kroppsproblemet. Dessutom, även traditionellt, används problem med icke-stationära rörelser av kroppar för att studera rörelse i elementarpartikelfysik, det vill säga i elektriska fält, och problem med stationär rörelse används inom astrofysik, det vill säga i gravitationsfält. $N$

Tvåkroppsproblem

För närvarande tror man att tvåkroppsproblemet har lösts exakt, "eftersom det kan reduceras till Keplerproblemet, det vill säga till ett system av partiella differentialekvationer som beskriver rörelsen hos en partikel som rör sig under gravitationsattraktionen av en andra partikel fixerad vid ursprunget. Lösningen på Keplerproblemet är koniska sektioner — cirklar, ellipser, paraboler och hyperboler” [18] . Mer exakt, "tvåkroppsproblemet reduceras till det ekvivalenta problemet med en punkts rörelse - en imaginär punkt med massa och radievektor r - i ett centralt symmetriskt fält med ett fast centrum" [19] . Modelleringskonstruktionen har den form som visas i figuren [1] $\mu$ $\mu$

Ekvationen kommer ner till:

\mu {{\mathbf {{\ddot r}}}}={{\mathbf {F}}}_{{12}}\left({\left|({\mathbf {r}}}\right| }\höger)

var är den reducerade massan; är en vektor som karakteriserar punkternas relativa placering. $\mu =m_{1}m_{2}/\left({m_{1}+m_{2}}\right)$ ${{\mathbf {r}}}={\frac {{m_{2}}}{{m_{1}+m_{2}}}}{{\mathbf {r'}}}_{2}= -{\frac {{m_{1}}}{{m_{1}+m_{2}}}}{{\mathbf {r'}}}_{1}$

Lösningen av denna ekvation har formen: ; ${{\mathbf {M'}}}_{0}{{\mathbf {r}}}=\mu \left[{({\mathbf {rv}}}}\right]{{\mathbf {r} }}=0$

$t=\pm \int {{\frac {{dr}}{({\sqrt {{\frac {2}{\mu }}\left({E'_{0}-U_{{eff}}} \right)}}}}}}+konst$ ;

$\varphi =\pm \int {{\frac {({\frac {{M'_{0))}({\mu r^{2))))dr)){({\sqrt {{\frac {2}{\mu }}\left({E'_{0}-U_{{eff}}}\right)}}}}}}+konst$ ;

$U_{{eff}}=U\left(r\right)+{\frac {{\left({M'_{0}}\right)^{2}}}{{2\mu r^{2 }}}}$ ; ; , $U\left(r\right)=-{\frac {\alpha }{r))$ $E'_{0}={\frac {{\mu v^{2}}}{2}}-U\left(r\right)$

där är lika för gravitationsinteraktion och för elektrostatisk interaktion [20] . $\alfa$ $\gamma m_{1}m_{2}$ $-q_{1}q_{2}$

Beroende på tecknet kommer banan att vara hyperbolisk ( ), parabolisk ( ), elliptisk ( ) eller cirkel ( ). $E'_{0}$ $E'_{0}>0$ $E'_{0}=0$ $0>E'_{0}>U_{{eff}}$ $E'_{0}=U_{{eff}}$

Trekroppsproblemet

Man tror att alla lösningar på trekroppsproblemet inte kan beskrivas. Därför avser nästan alla studier i problemet med tre kroppar lösningen av särskilda problem med frigöring av små kroppar under antagandet att kroppen som studeras är liten inom området för två andra kroppar och i studiet av stabiliteten hos periodiska lösningar [ 21] [22] . I det här fallet reduceras ofta problemet till ett tvåkroppsproblem. Newton var en av de första som försökte lösa den här typen av speciella problem i studiet av månen inom jordens och solens område, med hjälp av den universella gravitationslagen han hade hittat. Han visade att den årliga ekvationen för månens medelrörelse kommer från den olika sträckningen av månens bana av solens kraft. Han fann också att i jordens perihelion, på grund av solens större kraft, rör sig månens apogeum och noder snabbare än i dess aphelion, och dessutom i det omvända förhållandet mellan kuberna och avstånden till Jorden till solen; från detta kommer de årliga ekvationerna för dessa rörelser, som är proportionella mot ekvationen för solens centrum. Samtidigt beräknade han avvikelserna för Månens omloppsbana vid jordens apogeum och perihelium i förhållande till solen, etc. [23] .

De enklaste periodiska lösningarna för trekroppsproblemet upptäcktes av Euler [1765] och Lagrange [1772]. Konstruerade från Keplerian ellipser är de de enda implicita lösningarna [22] .

Poincaré hittade invarianter av periodiska lösningar, byggde en lösning i form av en serie och övervägde stabilitetsförhållanden [24] .

Som ett resultat finns det idag sex huvudsakliga metoder för att lösa problemet:

Laplace-Newcomb-metoden;
Hills planetariska metod;
Metod för variation av godtyckliga konstanter;
Hills månmetod;
Metod för periodiska banor;
Cowells metod.

Den lösning som K. Zundman hittade 1912 presenteras i form av långsamt konvergerande serier. Enligt Riemann-satsen kan detta område avbildas på en cirkel med enhetsradie , det vill säga lösningen på trekroppsproblemet kan representeras som funktioner av parametern ½, holomorf i cirkeln . Sådana funktioner kan representeras som serier i positiva styrkor som konvergerar genom cirkeln . Således kan lösningen av trekroppsproblemet också representeras i formen $\left|\tau \right|<1$ $\left|\tau \right|<1$ $\tau$

q_{j}={{\rm {B}}}_{j}\left(\tau \right),\,\,\,t={{\rm {B}}}_{0}\left (\tau \höger),\,\,\,\vänster|\tau \höger|<1

Med ganska svåra uppskattningar visade Sundman (1912) att man kan ta remsan $G$

\left|{\operatörsnamn {Im}v}\right|<\delta

och angav ett uttryck för . Som Beloritsky visade, för behoven av beräkningsastronomi i den "konvergerande" Sundman-serien, måste man ta åtminstone termer och därför är de olämpliga för att beräkna koordinater. $\delta$ $10^{{8\cdot 10^{6}}}$

Periodiska lösningar, som små störningar i den stadiga rörelsen av en liten kropp i fältet av två stora kroppar, hittas genom Jacobi-integralen [25] .

Klassen av periodiska lösningar kan utökas genom att använda exakta analytiska lösningar för kopplade vibrationer av materialkroppar. I detta fall reduceras problemet i det allmänna fallet till ett system av tre algebraiska ekvationer.

Allmänt N -kroppsproblem

Det är nu en allmän uppfattning att problemet med kroppar för inte kan lösas i samma mening som problemet med två kroppar. Det finns faktiskt mycket goda bevis för att det allmänna N-kroppsproblemet är olösligt. Men sedan Newtons tid har tusentals artiklar skrivits om N-kroppsproblemet. Dessa artiklar innehåller särskilda lösningar, asymptotiska uppskattningar, information om kollisioner, existens och icke-existens av integraler, serier av lösningar, kollisionsfria singulariteter, etc. [18] . $N$ $N\geqslant 3$

Följaktligen, genom att använda tekniken för att konstruera en lösning för kopplade svängningar av tre kroppar, kan ett antal kroppsproblem reduceras till ett system av algebraiska ekvationer med efterföljande lösning med matrismetoder. I framtiden kommer detta tillvägagångssätt att tillåta analytiska metoder för att lösa klassen av problem med icke-periodisk ändlig rörelse hos kroppar. $N$ $N$

Anteckningar

↑ Yavorsky B. M. Course of General Physics, vol. 1, M., Higher School, 1963, sid. 61
↑ Targ S. M. En kort kurs i teoretisk mekanik. M., Nauka, 1970, sid. 419
↑ Exakt lösning av problemet med elastisk växelverkan mellan tre eller flera punktmassor i anslagsteorin . Hämtad 26 september 2011. Arkiverad från originalet 4 mars 2016. (obestämd)
↑ 1 2 Yavorsky B. M. Course of General Physics, vol. 1, M., Higher School, 1963, sid. 62
↑ 1 2 Targ S. M. En kort kurs i teoretisk mekanik. M., Nauka, 1970, sid. 418
↑ Targ S. M. En kort kurs i teoretisk mekanik. M., Nauka, 1970, sid. 420
↑ Återhämtningskoefficient - artikel från Great Soviet Encyclopedia .
↑ Targ S. M. En kort kurs i teoretisk mekanik. M., Nauka, 1970, sid. 416
↑ Targ S. M. En kort kurs i teoretisk mekanik. M., Nauka, 1970, sid. 421
↑ Targ S. M. En kort kurs i teoretisk mekanik. M., Nauka, 1970, sid. 417
↑ Några funktioner i simuleringen av forcerade svängningar . Datum för åtkomst: 26 september 2011. Arkiverad från originalet den 13 juli 2006. (obestämd)
↑ Till beräkning av oscillerande system med komplex resonans . Hämtad 26 september 2011. Arkiverad från originalet 13 februari 2012. (obestämd)
↑ "En Krylov underrumsalgoritm för multikvadrisk interpolation i många dimensioner". A. Briginshaw, G. Goodsell och MJD Powell, IMA Journal of Numerical Analysis (2005)
↑ Yu. B. Kolesov, Yu. B. Senichenkov Simulering av komplexa dynamiska system Arkivexemplar av 13 februari 2011 på Wayback Machine
↑ Anosov D.V. Släta dynamiska system. Ch. 2. Elementär teori . Datum för åtkomst: 26 september 2011. Arkiverad från originalet den 19 februari 2013. (obestämd)
↑ LOKALA FUNKTIONER HOS DYNAMISKA SYSTEM MED PÅVERKANDE INTERAKTIONER
↑ D.V. Släta dynamiska system. Ch. 2. Elementär teori, sid. 181-182
↑ 1 2 Meyer Kenneth R. Föreläsningsanteckningar i matematik. Periodiska lösningar av N-kroppsproblemet. Springer. 1999, ISBN 3-540-66630-3
↑ Olkhovsky I. I. Kurs i teoretisk fysik för fysiker. M., Nauka, 1970, sid. 106-107
↑ Olkhovsky I. I. Kurs i teoretisk fysik för fysiker. M., Nauka, 1970, sid. 107-108
↑ A.V., Popov Yu. P. Konstruktion av periodiska lösningar för det begränsade trekroppsproblemet (otillgänglig länk)
↑ 1 2 Montgomery R. En ny lösning på trekroppsproblemet? Meddelanden från AMS, maj 2001, 5 , v. 48
↑ Newton I. Matematiska principer för naturfilosofi. M., Nauka, 1989, del III . Datum för åtkomst: 26 september 2011. Arkiverad från originalet den 28 november 2009. (obestämd)
↑ Poincare A. Om problemet med tre kroppar och om dynamikens ekvationer, Sobr. cit., vol 1, sid. 357
↑ Brower D., Clemens J. Methods of Celestial Mechanics. M., Mir, c. 223 . Hämtad 26 september 2011. Arkiverad från originalet 12 oktober 2011. (obestämd)