Fritt fall tid

Tiden för fritt fall är den karakteristiska tid som det tar för en kropp att kollapsa under påverkan av gravitationen , om inga andra krafter motsätter sig kollapsen. Det spelar en viktig roll för att bestämma tidsskalorna för ett antal astrofysiska processer, såsom stjärnbildning , supernovaexplosioner .

Härledning av formler

Faller på en punktkälla för gravitation

Det är lätt att härleda en formel för tiden för fritt fall genom att tillämpa Keplers tredje lag på ett objekts rörelse i en degenererad elliptisk bana . Betrakta en masspunkt på ett avstånd från en punktkälla för massa , på vilken punkten faller längs radien. Keplers tredje lagformel beror på halvstoraxeln och är oberoende av excentricitet . Den radiella banan är ett exempel på en degenererad ellips med excentricitet 1 och semi-storaxel lika med . Därför är tiden det tar för kroppen att falla, vända och återgå till sitt ursprungliga läge lika med rotationsperioden i en cirkulär bana med radie : $m$ $R$ $M$ $m$ $R/2$ $R/2$

t_{\text{orbit}}={\frac {2\pi }{\sqrt {G(M+m)}}}\left({\frac {R}{2}}\right)^ {3/2}={\frac {\pi R^{3/2}}{\sqrt {2G(M+m)))}.

För att förklara varför halvstoraxeln är , undersöker vi banornas egenskaper när ellipticiteten ökar. Keplers första lag säger att en planets omloppsbana är en ellips med ett fokus placerat i massans centrum. I fallet med en mycket liten massa som faller på en mycket stor massa, är systemets masscentrum beläget inuti massakroppen . Med ökande ellipticitet förskjuts ellipsens fokus längre och längre från systemets mitt. I begränsningsfallet med en degenererad ellips med en excentricitet lika med ett, förvandlas omloppsbanan till ett segment från objektets initiala positionspunkt ( ) till masspositionspunkten . Med andra ord förvandlas ellipsen till ett längdsegment . Halvhuvudaxeln är halva ellipsens längd längs långaxeln; i det här fallet är den halvstora axeln . $R/2$ $M$ $M$ $R$ $M$ $R$ $R/2$

Om den fallande kroppen gjorde en fullständig bana, skulle rörelsen börja på ett avstånd från kroppen , sedan skulle kroppen falla mot kroppen , gå runt den och återgå till sin ursprungliga position. I verkliga system är en punktkälla inte en punkt och den fallande kroppen kommer att uppleva en kollision med ytan. Följaktligen kommer den fallande kroppen bara att göra ett halvt varv i sin bana. Eftersom den del av omloppsbanan som motsvarar fallet är symmetrisk med den del av omloppsbanan längs vilken den hypotetiska återgången till utgångspunkten sker, måste man för att få tidpunkten för fritt fall dela upp rotationsperioden längs hela bana på mitten: $R$ $M$ $M$ $M$ $m$

t_{\text{ff}}=t_{\text{orbit}}/2={\frac {\pi }{2}}{\frac {R^{3/2}}{\sqrt { 2G(M+m)}}}

Observera att i formeln är tiden för massan som faller längs en bana med stor excentricitet, inom vilken en snabb sväng runt det attraherande centrumet görs nästan på noll avstånd från det, och sedan återgår det till sin ursprungliga position på ett avstånd , där en snabb sväng sker igen. En sådan omloppsbana motsvarar en nästan rätlinjig rörelse från en punkt på avstånd från attraherande centrum till platsen för attraherande centrum. Som nämnts ovan är banans halvstora axel lika med halva radien av den cirkulära banan som motsvarar avståndet . Banans period motsvarar passagen av en bana lika med två gånger värdet av . Sedan, enligt Keplers tredje lag, med hänsyn till att halvstoraxeln är halva radien av en cirkulär bana, visar det sig att rotationsperioden i en långsträckt bana är (1/2) 3/2 = (1 /8) 1/2 av rotationsperioden i en cirkulär bana, där radien för den cirkulära banan är lika med längden av den maximala radievektorn för prolatbanan. $t_{\text{orbit}}$ $R$ $R$ $R$ $R$

Faller på en sfäriskt symmetrisk massfördelning

Tänk på fallet när det inte är en punkt, utan en förlängd sfäriskt symmetrisk kropp med en genomsnittlig densitet , $M$ $\rho$

{\displaystyle \rho ={\frac {3M}{4\pi R^{3))))

där sfärens volym är ${(4/3)\pi R^{3)).$

Antag att den enda verkande kraften är gravitationen. Sedan, som visades av Newton och kan erhållas genom att tillämpa Ostrogradsky-Gauss-formeln , beror accelerationen vid en punkt på ett avstånd från centrum av den attraherande massan endast på den totala massan som finns inuti sfären med radie . Konsekvensen är följande faktum: om en kropp med en sfäriskt symmetrisk massfördelning bryts upp i sfäriska skal, kommer de under skalens kollaps att falla på ett sådant sätt att varje efterföljande inte kommer att korsa de föregående när de rör sig. Falltiden för en nollmasspunkt från ett avstånd kan också uttryckas i termer av den totala massan inuti ett skal med radie : [1] $R$ $R$ $R$ $R$

t_{\text{ff}}={\sqrt {\frac {3\pi }{32G\rho }}}\simeq 0.5427{\frac {1}{\sqrt {G\rho }}}\ simeq 66430{\frac {1}{\sqrt {\rho ))}\,{\rm {\text{s))},

i den sista formeln uttrycks kvantiteterna i SI- systemet .

Anteckningar

↑ Stjärnstruktur och evolution Kippenhahn, Rudolf; Weigert, Alfred. Springer-Verlag, 1994, 3:e upplagan. s.257 ISBN 3-540-58013-1

Galaktisk dynamik Binney, James; Tremaine, Scott. Princeton University Press, 1987.