Von Neumanns hypotes

von Neumanns gissningar är en vederlagd gissning om strukturen hos mottagliga grupper .

Formulering

1929, under sitt arbete med dubbleringsbollens paradox , introducerade John von Neumann begreppet en mottaglig grupp . Han bevisade att någon grupp som innehåller en fri undergrupp av rang 2 inte är mottaglig. Gissningen att det omvända också är sant gjordes av flera matematiker på 1950- och 1960-talen.
- Även om denna gissning bär namnet von Neumann, gavs den första publikationen med dess formulering av Mahlon Marsh Day 1957.

Tits alternativ , bevisat 1972, ger ett positivt svar om gruppen är linjär, det vill säga den är en undergrupp av en matrisgrupp över något fält.

Hypotesen tillbakavisades av Olshansky 1980. Han visade att Tarski-monstret , som, som det är lätt att se, inte har några fria undergrupper av rang 2, inte är aminerbart.

Ett möjligt motexempel är Thompson-gruppen F , men det är fortfarande inte känt om den är aminerbar.

Ingen av grupperna som listas ovan är slutgiltigt given . I flera år har man trott att gissningen kanske stämmer för ändligt presenterade grupper. Men 2003, Olshansky och Sapirkonstruerade ändligt presenterade motexempel.

2013 hittade Lodha och Moore ändligt presenterade undergrupper i Monods exempel som också ger ett motexempel.
- Det sista exemplet är det första exemplet utan vridning, det medger en specifikation med tre generatorer och nio relationer.
- Lodha visade senare att denna grupp uppfyller egenskapen , det vill säga dess K(G,n) rymd har ett ändligt antal celler av varje dimension. $G$ ${\displaystyle F_{\infty ))$

Adyan S.I. Slumpmässiga promenader på fria periodiska grupper // Izv. USSR:s vetenskapsakademi. Matematisk serie. - T. 46 , nej. 6 . — S. 1139–1149 . (ryska)
Day, Mahlon M. (1957), Amenable semigroups, Ill. J Math. T. 1: 509–544
A. Yu. Olshansky. På frågan om existensen av ett invariant medelvärde på en grupp // Uspekhi Mat . - 1980. - T. 35 , nr 4 (214) . - S. 199-200 . (ryska)
Ol'shanskii, A. & Sapir, M. (2003), Non-amenable finitely presentation torsion-by-cyclic groups , Publications Mathématiques de l'IHÉS vol 96 (1): 43–169 , DOI 10.1007/s10240-002 -0006-7
Monod, N. (2013), Groups of piecewise projective homeomorphisms , Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America vol. 110 (12): 4524–4527 , doi 10.1073/pnas.1218426110
Lodha, Y. & Moore, JT, En icke mottaglig ändligt presenterad grupp av bitvis projektiva homeomorfismer
Lodha, Y., En typgrupp av bitvis projektiva homeomorfismer ${\displaystyle F_{\infty ))$